Sismologia: Teoria del raggio (2)
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Sismologia: Teoria del raggio (2) Gaetano Festa Obiettivi •Equazione del raggio • Formulazioni in diversi riferimenti • Formulazione Hamiltoniana • Applicazioni Equazione del raggio Relazione tra tangente del raggio e normale al fronte dx ∇ T = = c∇T ds ∇T Equazione del raggio d 1 dx d dx ⋅∇ ( ∇T ) = c∇T ⋅∇ ( ∇T ) = = ∇T = ds c ds ds ds c ∇ ∇T 2 ( 2 ) c 1 1 = ∇ 2 = ∇ 2 c c Traveltime lungo il raggio s = s ( xr ) T ( x) = ∫ 0 ds ' c(x( s ')) Equazione in t Passaggio alla variabile t s = ∫ cdt ; ds = cdt Equazione del raggio nella variabile t 2 d 1 dx 1 c 1 2 = c∇ = ∇ 2 dt c dt c 2 c Lunghezza del raggio t =t ( x ) L( x) = ∫ 0 c(x(t '))dt ' Variabile tau Introduzione della variabile τ d 1 d τ = ∫ cds; dτ = cds; = dτ c ds Equazione corrispondente del raggio d 2x 1 = ∇ 2 dτ 2 2c Lunghezza del raggio τ =τ ( x ) dτ ' L ( x) = ∫ c(x(τ ')) 0 Tempo di percorso lungo il raggio τ =τ ( x ) T ( x) = ∫ 0 dτ ' c 2 (x(τ ')) Equazione di Hamilton Potenziale e quantità di moto 1 dx V =− 2 p= 2c dτ Equazione di p dp 1 = ∇ 2 dt 2c Hamiltoniana del sistema 2 p 1 H (x, p) = − 2 2 2c Equazioni di Hamilton dx ∂H = dτ ∂p dp ∂H =− dτ ∂x Mezzo in cui c = c(z) Momento angolare Q = x×p Variazione del momento angolare dQ dx dp dp dp = ×p + x× = p×p + x× = x× dτ dτ dτ dτ dτ Momento angolare verticale dQz =0 dτ Piano verticale dy = p0 y = 0; y = 0 dτ Mezzo a gradiente Velocità nel mezzo c( z ) = c0 + K 0 z Rappresentazione della normale dt dt di dt di =c =c =c n ds dτ dτ di dτ Sostituendo … di dz cos i = px K 0 = px K 0 pz dτ dτ Il raggio di curvatura è R= 1 K 0 px
