Sismologia: Teoria del raggio (2)

Sismologia: Teoria del raggio (2)
Gaetano Festa
Obiettivi
•Equazione del raggio
• Formulazioni in diversi riferimenti
• Formulazione Hamiltoniana
• Applicazioni
Equazione del raggio
Relazione tra tangente del raggio e normale al fronte
dx ∇ T
=
= c∇T
ds ∇T
Equazione del raggio
d  1 dx  d
dx
⋅∇ ( ∇T ) = c∇T ⋅∇ ( ∇T ) =

 = ∇T =
ds  c ds  ds
ds
c
∇ ∇T
2
(
2
)
c 1
1
= ∇ 2  = ∇ 
2 c 
c
Traveltime lungo il raggio
s = s ( xr )
T ( x) =
∫
0
ds '
c(x( s '))
Equazione in t
Passaggio alla variabile t
s = ∫ cdt ; ds = cdt
Equazione del raggio nella variabile t
2
d  1 dx 
1 c  1 
 2
 = c∇   = ∇  2 
dt  c dt 
c 2 c 
Lunghezza del raggio
t =t ( x )
L( x) =
∫
0
c(x(t '))dt '
Variabile tau
Introduzione della variabile τ
d 1 d
τ = ∫ cds; dτ = cds;
=
dτ c ds
Equazione corrispondente del raggio
d 2x
 1 
=
∇
 2
dτ 2
 2c 
Lunghezza del raggio
τ =τ ( x )
dτ '
L ( x) = ∫
c(x(τ '))
0
Tempo di percorso lungo il raggio
τ =τ ( x )
T ( x) =
∫
0
dτ '
c 2 (x(τ '))
Equazione di Hamilton
Potenziale e quantità di moto
1
dx
V =− 2
p=
2c
dτ
Equazione di p
dp
 1 
= ∇ 2 
dt
 2c 
Hamiltoniana del sistema
2
p
1
H (x, p) =
− 2
2 2c
Equazioni di Hamilton
dx ∂H
=
dτ ∂p
dp
∂H
=−
dτ
∂x
Mezzo in cui c = c(z)
Momento angolare
Q = x×p
Variazione del momento angolare
dQ dx
dp
dp
dp
=
×p + x×
= p×p + x×
= x×
dτ dτ
dτ
dτ
dτ
Momento angolare verticale
dQz
=0
dτ
Piano verticale
dy
= p0 y = 0; y = 0
dτ
Mezzo a gradiente
Velocità nel mezzo
c( z ) = c0 + K 0 z
Rappresentazione della normale
dt
dt
di dt
di
=c
=c
=c n
ds
dτ
dτ di
dτ
Sostituendo …
di
dz
cos i
= px K 0
= px K 0 pz
dτ
dτ
Il raggio di curvatura è
R=
1
K 0 px