Corso di Laurea in Informatica
Algebra e geometria
Prof. Franco Ghione
17 Giugno 2015
Nome Cognome ........................................................................................................
Numero di matricola ......................................................................
Istruzioni
I primi 5 esercizi sono a risposta multipla. Delle 4 risposte solo una è esatta. Una risposta esatta vale 3 punti, una
risposta sbagliata vale 0 punti, una risposta non data vale 1 punto. La risposta va data indicando la lettera che precede
la soluzione scelta.
Le domande (a),(b),(c) del Tema valgono 5 punti ciascuna. La domanda (d) non da punteggio ma viene usata solo per
una eventuale lode nel caso cioè che il punteggio raggiunto dallo studente sia 30. Nel tema si valuterà anche la
procedura seguita, l’esattezza dei calcoli e la chiarezza e pulizia espositiva.
Esercizio 1
Siano v1,v2, ... , vn n vettori di uno spazio vettoriale V. Supponiamo che u ∈Span(v1,v2, ... , vn).
Allora
(A) i vettori u , v1, v2 , ... , vn sono linearmente indipendenti; (B) se v1, v2 , ... , vn sono linearmente indipendenti anche
u, v1, v2 , ... , vn sono linearmente indipendenti; (C) i vettori u, v1, v2 , ... , vn sono linearmente dipendenti;
(D) dim Span(u, v1, v2 , ... , vn ) > dim Span( v1, v2 , ... , vn ).
Risposta .................
Esercizio 2
Consideriamo il seguente sistema lineare di 4 equazioni nelle 3 incognite a, b, c.
!
##
"
#
#$
a + b + 2c = 1
a + 2b + c = 2
2a + b + c = 3
a + b + c = x
Per quali valori di x il sistema è compatibile?
(A) per x=2/3; (B) per x=4 ; (C) per x=1; (D) per x=3/2.
Risposta ..............
Esercizio 3
Consideriamo la matrice
!
#
A =#
#
#
"
a
b
c
d
1
1
1
c
2
2
2
b
3
3
3
a
$
&
&
&
&
%
(A) le righe di A sono linearmente indipendenti; (B) le colonne di A sono linearmente dipendenti; (C) det A ≠ 0; (D) il
determinante di A dipende dai 4 parametri a, b, c, d.
Risposta ..............
Esercizio 4
! 1 2 3 $
&
#
Sia A = # 2 4 6 & e LA : R3 → R3 l’applicazione lineare associata ad A.
# 3 6 9 &
%
"
(A) LA è iniettiva; (B) Il nucleo di LA ha dimensione uno; (C) l’immagine di LA ha dimensione uno.; (D) LA è
suriettiva.
Risposta ..............
Esercizio 5
Nello spazio cartesiano, consideriamo i punti di coordinate A=(1,1,2) B=(1,2,1), C=(0,0,1).
(A) Il triangolo A, B, C è rettangolo in A ; (B) Il triangolo A, B, C è rettangolo in B ; (C) Il triangolo A, B, C non è
rettangolo; (D) Il triangolo A, B, C è contenuto nel piano -2x-y+z=1.
Risposta ..............
Tema
Sia U il sottospazio di R4 generato dai vettori u1 = (1,1,0,1), u2 = (a,0,1,1), u3 = (0,2,-1,1), e sia
V ={(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x3 + x4 = 0, bx1+x2-x4 = 0, -x2+2x3+3x4 = 0} essendo a e b due parametri
reali.
a) Determinare, al variare del parametro a, la dimensione di U e una sua base;
b) determinare , al variare del parametro b, la dimensione di V e una sua base;
c) determinare i valori di a e b per i quali dim U ∩ V > 0 e, per quei valori dei parametri,
trovare una base di U ∩ V;
d) posto di a =2 e b = 0 scrivere le equazioni di una applicazione lineare F, di R4 in R4 tale
che Ker F = U e Im F= V.
Corso di Laurea in Informatica
Algebra e geometria
Prof. Franco Ghione
13 Luglio 2015
Nome Cognome ........................................................................................................
Numero di matricola ......................................................................
Istruzioni
I primi 5 esercizi sono a risposta multipla. Delle 4 risposte solo una è esatta. Una risposta esatta vale 3 punti, una
risposta sbagliata vale 0 punti, una risposta non data vale 1 punto. La risposta va data indicando la lettera che precede
la soluzione scelta.
Le domande (a),(b),(c) del Tema valgono 5 punti ciascuna. La domanda (d) non da punteggio ma viene usata solo per
una eventuale lode nel caso cioè che il punteggio raggiunto dallo studente sia 30. Nel tema si valuterà anche la
procedura seguita, l’esattezza dei calcoli e la chiarezza e pulizia espositiva.
Esercizio 1
Siano v1 = (1,1,0,-1), v2 = (0,0,1,1) , v3 = (2,2,3,a) tre vettori di R4 e sia V = Span(v1,v2,v3). Per
quale valore di a dim V=2 ?
(A) per nessun valore di a; (B) per a= 1; (C) per a= 0 ; (D) per a= -2
Risposta .................
Esercizio 2
Consideriamo il seguente sistema lineare omogeneo di 3 equazioni in 5 incognite.
! 2x + x + x = 0 1
4
5
##
" x 3 + 2x 5 = 0 #
#$ 2x1 + x 3 + x 4 + 4x 5 = 0
Posso scegliere come variabili libere
(A) x2 , x5; (B) x4 , x5; (C) x3 , x2; (D) x2 , x4.
Risposta ..............
Esercizio 3
Siano a, b, c, d quattro parametri reali e sia A la matrice ottenuta dal prodotto indicato
"
$
A = $
$
$
#
0
1
1
−1
1
0
1
1
%
' "
%
' •$ 1 1 1 1 '
' # a b c d &
'
&
Risulta det A = 0
(A) se e solo se a=b=c=d=0; (B) se e solo se a+b+c+d=0; (C) per ogni valore dei 4 parametri; (D) se e solo se
a=b=c=d.
Risposta ..............
Esercizio 4
Siano v0 , v1 , v2 , ... , vn , n+1 vettori di Rn. Allora
(A) v0 è combinazione lineare dei v1 , v2 , ... , vn ; (B) se v1 , v2 , ... , vn sono linearmente indipendenti allora v0 è loro
combinazione lineare; (C) v0 , v1 , v2 , ... , vn sono sempre linearmente indipendenti; (D) non si può dire nulla sulla
dipendenza lineare di v0 , v1 , v2 , ... , vn.
Risposta ..............
Esercizio 5
Nello spazio cartesiano, consideriamo il piano di equazione x=y+z e la retta
! x = 2 + at
#
" y = 1+ 2t
#
$ z = t Per quali valori del parametro a la retta è parallela al piano?
(A) Per a=3 ; (B) Per a=1 ; (C) per ogni valore di a; (D) Per a ≠ 3.
Risposta ..............
Tema
Consideriamo la matrice
e sia LA : R3 → R5
" 0 1 1 %
'
$
$ 1 0 1 '
A = $ 2 −2 0 '
$ 1 1 2 '
'
$
$ −1 1 0 '
&
#
l’applicazione lineare associata ad A.
a) Determinare le dimensioni del nucleo e dell’immagine di LA e una base del nucleo.
b) Siano v1 e v2 le prime due colonne della matrice A ed e1, e2, e3, e4, e5 la base canonica R5.
Consideriamo l’applicazione lineare F : R5 → R2 tale che F(v1) = 0, F(v2) = 0, F(e3) = 0,
! 3 $
! 1 $
F(e 4 ) = #
&.
& , F(e 5 ) = #
" 2 %
" 4 %
Scrivere le equazioni dell’applicazione lineare F, cioè trovare la matrice B con 2 righe e 5
colonne tale che F(x)=Bx per x ∈ R5.
c) Calcolare la matrice prodotto B.A.
d) Sia F : R3 → R5 una applicazione lineare iniettiva e G : R5 → R2 una applicazione
lineare suriettiva. Supponiamo che l’applicazione lineare composta G°F : R3 → R2 sia
suriettiva. In queste ipotesi calcolare dim (Im F ∩ Ker G).
Corso di Laurea in Informatica
Algebra e geometria
Prof. Franco Ghione
9 Settembre 2015
Nome Cognome ........................................................................................................
Numero di matricola ......................................................................
Istruzioni
I primi 5 esercizi sono a risposta multipla. Delle 4 risposte solo una è esatta. Una risposta esatta vale 3 punti, una
risposta sbagliata vale 0 punti, una risposta non data vale 1 punto. La risposta va data indicando la lettera che precede
la soluzione scelta.
Le domande (a),(b),(c) del Tema valgono 5 punti ciascuna. La domanda (d) non da punteggio ma viene usata solo per
una eventuale lode nel caso cioè che il punteggio raggiunto dallo studente sia 30. Nel tema si valuterà anche la
procedura seguita, l’esattezza dei calcoli e la chiarezza e pulizia espositiva.
Esercizio 1
Siano v1 = (1,1,1,1), v2 = (0,1,1,1) , v3 = (0,0,1,1) , v4 = (0,0,0,1) 4 vettori di R4 e sia
V = Span(v1,v2,v3,v4). La base canonica di R4 è una base per V?
(A) SI perché V è generato da 4 vettori; (B) NO perché la matrice che ha come coefficienti di riga le componenti dei 4
4
vettori non ha rango 4; (C) SI perché V= R ; (D) NO
Risposta .................
Esercizio 2
Siano u=(1,0,0,0) e v=(a,a,a,a) due vettori di R4 e sia α l’angolo tra i due vettori. Allora
(A) α =60° per ogni valore di a non nullo; (B) per nessun valore di a risulta α =60°; (C) i due vettori sono ortogonali;
(D) α è ottuso.
Risposta ..............
Esercizio 3
Consideriamo la seguente matrice
! a
# 1
A = # a2
##
" a3
a2
a3
a1
a3 $
&
a1 &
&
a 2 &%
Allora det A=0
(A) se e solo se a1+a2+a3=0; (B) se e solo se a1=a2=a3; (C) se a1a2a3=0 ; (D) se a13 + 9 = 6 a1.
Risposta ..............
Esercizio 4
Sia A una matrice quadrata nxn e LA : Rn → Rn la corrispondente applicazione lineare.
(A) dim ImF <n se e solo se det A≠ 0; (B) dim KerF =1 se e solo se det A= 0; (C) dim KerF =0 se e solo se det A≠ 0;
(D) dim ImF = n se e solo se det A= 0.
Risposta ..............
Esercizio 5
Nello spazio cartesiano, consideriamo le due rette seguenti
#! x + y = 1
#! x − y = 1
e "
"
#$ x + z = 1
#$ x − z = 1
(A) Le rette sono incidenti ; (B) le rette sono complanari ; (C) le rette sono sghembe; (D) le rette sono parallele.
Risposta ..............
Tema
Consideriamo il seguente sistema
! x + x + x = 1 ## 1 4 5
" x1 + x 2 + x 3 = a #
#$ 2x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 2
a) Per tale sistema:
• dire di che tipo di sistema si tratta;
• dire per quali valori di a il sistema è compatibile;
• nel caso il sistema sia compatibile scrivere l’insieme S delle soluzioni.
(Nella valutazione di questo esercizio si terrà anche conto della capacità dello studente di usare un linguaggio
scientifico appropriato)
b) Sia e1, e2, e3, e4, e5, la base canonica di R5 e V= Span(e1+ e5 , e1 + e3 + e5 , e3 + e5). Trovare
una base e la dimensione di V.
c) Calcolare V ∩ S.
d) Sia F : Rn → Rm una applicazione lineare, u un vettore non nullo di Rm e
S={x ∈ Rn |F(x)=u}. Dimostrare che se V ⊆ Ker F allora V ∩ S = ∅ .
Corso di Laurea in Informatica
Algebra e geometria
Prof. Franco Ghione
10 Febbraio 2016
Nome Cognome ........................................................................................................
Numero di matricola ......................................................................
Istruzioni
I primi 5 esercizi sono a risposta multipla. Delle 4 risposte solo una è esatta. Una risposta esatta vale 3 punti, una
risposta sbagliata vale 0 punti, una risposta non data vale 1 punto. La risposta va data indicando la lettera che precede
la soluzione scelta.
Le domande (a),(b),(c) del Tema valgono 5 punti ciascuna. La domanda (d) non da punteggio ma viene usata solo per
una eventuale lode nel caso cioè che il punteggio raggiunto dallo studente sia 30. Nel tema si valuterà anche la
procedura seguita, l’esattezza dei calcoli e la chiarezza e pulizia espositiva.
Esercizio 1
Consideriamo in R4 i seguenti sottospazi vettoriali:
U = Span((-1,-1,-1,-1),(1,1,1,1),(3,3,3,3),(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2))
V = Span((-2,3,3,3),(0,1,1,1),(1,0,0,0),(2,1,1,1))
W = Span((1,3,1,1),(1,1,1,4),(0,1,0,2),(0,-1,0,0))
Allora:
(A) dimU=2, dim V=2, dim W =3; (B) dim U=1, dim V=2, dim W=3; (C) dim U=1, dim V=3, dim W=2 ;
(D) dim U=1, dim V=2, dim W=2.
Risposta .................
Esercizio 2
Date le matrici A, e B seguenti, sia C =A.B la matrice prodotto di A per B
!
#
A=#
#
#
"
1
0
0
0
0
0
0
2
$
&
!
$
& , B = # 2 0 0 0 &
&
" 0 0 0 1 %
&
%
(A) C è una matrice 2x2 e il suo rango è 2; (B) C è una matrice 2x4 e il suo rango è 2; (C) C è una matrice 4x4 e il suo
rango è 4; (D) C è una matrice 4x4 e il suo rango è 2.
Risposta ..............
Esercizio 3
Consideriamo i vettori di R5 u=(1,1,a,-1,-1) e v=(-1,-1,a,1,1). Per quali valori di a i due vettori
sono ortogonali?
(A) se e solo se a=2; (B) per nessun valore di a; (C) per a=0; (D) per a=2 e a=-2.
Risposta ..............
Esercizio 4
Sia A una matrice quadrata nxn.
(A) detA=0 se e solo se il rango di A è n-1; (B) detA=0 se e solo se il rango di A minore di n; (C) detA = 0 se e solo se
le colonne della matrice A sono linearmente indipendenti; (D) detA ≠ 0 se e solo le righe della matrice A sono
linearmente dipendenti.
Risposta ..............
Esercizio 5
Nello spazio cartesiano, consideriamo il piano di equazione x-2y=1 e la retta di equazioni
parametriche x=t, y=-2t, z=1.
(A) La retta è contenuta nel piano ; (B) la retta non è perpendicolare al piano ; (C) la retta è parallela al piano; (D) la
retta è perpendicolare al piano.
Risposta ..............
Tema
Consideriamo la seguente matrice
"
$
$
A=$
$
$
$
#
1
1
2
0
1
0 −1
−1
0 k −1 −1
1 −1
0
1
1
k +1
1
k
1
%
'
'
'
'
'
'
&
a) Calcolare in funzione di k il rango della matrice A
b) Sia LA l’applicazione lineare definita dalla matrice A, dire qual è il dominio e quale il
codominio dell’applicazione LA.
c) Calcolare in funzione di k una base per l’immagine di LA.
d) Se A è una matrice i cui coefficienti dipendono con continuità da un parametro reale k e se
per ogni valore di k non nullo il rango della matrice è r, cosa possiamo dire sul rango della
matrice quando k=0?
