INFO SULL`ESAME DI ANALISI MATEMATICA 1

INFO SULL’ESAME DI ANALISI MATEMATICA 1
(AGGIORNATE AL 20 settembre 2016)
(1) Come è strutturata la prova d’esame
• La prova d’esame è composta da una prova scritta e una orale. La prova scritta serve
per ottenere l’ammissione all’orale;
• l’ammissione all’orale si ottiene con una votazione v ≥ 18 oppure con riserva, cioè con
una votazione v tale che 12 < v < 18. In quest’ultimo caso la prova orale inizierà con la
risoluzione di un esercizio;
• chi è ammesso alla prova orale, potrà, se lo desidera, sostenere la stessa entro e non oltre
l’ultimo appello di Febbraio. Se nel frattempo, però, si decide di sostenere di nuovo
la prova scritta, consegnando l’elaborato, l’ammissione precedentemente ottenuta non
sarà più utile per sostenere l’orale.
• se la prova orale non dovesse essere superata, la si potrà sostenere nuovamente (sempre
entro e non oltre l’ultimo appello di Febbraio) senza bisogno di sostenere anche la prova
scritta.
(2) Le prove intermedie
• Durante lo svolgimento del corso sono previste 2 prove intermedie scritte per ottenere
l’esonero dallo scritto, una al termine del primo periodo di lezione, una al termine del
secondo;
• saranno valutati solo coloro che hanno svolto entrambe le prove, riportando in ciascuna
di esse una valutazione di almeno 5 (cinque)/30;
• il voto complessivo v delle prove intermedie sarà dato dalla media aritmetica dei due
voti, eventualmente arrotondata all’intero superiore;
• una volta ottenuto il voto v, le regole per lo svolgimento della prova orale sono le stesse
delle prove d’appello ”totali” (vedi punto (1) sopra)
(3) Iscriversi agli esami
• le date di tutte le prove, scritte – sia intermedie che totali – ed orali, fino a Febbraio
2018, sono state pubblicate nel sito ufficiale di supporto alla didattica di Unicam, ed è
possibile iscriversi on line agli appelli entro i 60 giorni precedenti la prova, fino a due
giorni prima. (Attenzione: le prove scritte – sia intermedie che totali – vanno cercate
dal proprio profilo studente attraverso il link Esami → Prove parziali);
• ci potranno essere (piccole) variazioni delle date, ma non del numero degli appelli fissati; inoltre, si tenga conto che gli appelli fissati a novembre sono riservati esclusivamente
agli studenti fuoricorso (cfr. Regolamento Didattico d’Ateneo);
• gli studenti sono tenuti ad iscriversi (o, nel caso in cui ci fossero inconvenienti tecnici,
a comunicarmi via email la volontà di sostenere la prova) entro la data stabilita nel sito
ufficiale di supporto alla didattica, pena l’impossibilità di svolgere la prova. L’iscrizione
è necessaria per qualunque appello, scritto o orale, al quale si vuol partecipare, anche
nel caso in cui il sito ufficiale di supporto alla didattica denoti tale appello come
”prova parziale”. Ad esempio, se si programma di sostenere, nella stessa sessione, sia
la prova scritta che quella orale, si raccomanda di iscriversi ad entrambe, anche se
ancora non si è in possesso dell’ammissione all’orale.
• Se si decide di non presentarsi più all’appello al quale ci si è iscritti, si prega di ritirare
l’iscrizione dal portale della didattica.
• Per qualsiasi malfunzionamento del sito di supporto alla didattica che riguardi gli appelli di Analisi Matematica 1, per favore contattatemi via email, entro i termini di iscrizione all’appello, segnalandomi i dettagli del problema riscontrato.
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ANALISI MATEMATICA 1
Programma completo
Riferimenti
Precorso: richiami su insiemi, relazioni, funzioni; i nume- [2] cap. 1–7
ri naturali (definizione assiomatica); gli insiemi numerici:
Z, Q, R. Intervalli di R. Polinomi, radici n–me, valore
assoluto. Equazioni e disequazioni algebriche. Funzioni esponenziali e logaritmiche. Elementi di trigonometria.
Binomio di Newton.
Minimo, massimo, estremo superiore e inferiore di
sottoinsiemi di R. Riflessioni sull’assioma di continuità.
Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Successioni monotone. Calcolo dei limiti e teoremi di confronto. Il numero e. Confronti e stime asintotiche. Successioni
ricorsive.
Limiti di funzioni, continuità, asintoti. Discontinuità ed
estensione per continuità di una funzione. Calcolo dei
limiti. Alcuni limiti notevoli.
Sottosuccessione di una successione.
Il teorema di
Bolzano–Weierstrass. Teoremi sulle funzioni continue: il
teorema di Weierstrass, il teorema degli zeri, il teorema
dei valori intermedi. Funzioni monotone in un intervallo,
continuità e invertibilità.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile. Derivata di una funzione. Derivate di funzioni elementari. Continuità e derivabilità. Regole di calcolo delle derivate, regola della catena, derivata della funzione inversa, derivate
di funzioni elementari. Teoremi sulle funzioni derivabili:
teoremi di Fermat, Lagrange, Rolle, Cauchy, de L’Hospital.
Test di monotonia, caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla. Problemi di massimo e minimo (legge della
rifrazione). Limite della derivata e derivabilità.
Derivata seconda. Funzioni convesse. Definizioni e proprietà. Convessità e continuità. Caratterizzazione delle
funzioni convesse sotto ipotesi di derivabilità. Punti di
flesso. Studio del grafico di una funzione.
Infinitesimi. La notazione ”o piccolo”. Polinomi di Taylor. Formula di Taylor col resto in forma di Peano e di
Lagrange.
Partizioni. Integrale secondo Riemann. Somme integrali. Equivalenza tra l’integrale di Riemann e quello di Darboux. Continuità uniforme: il teorema di Heine–Cantor.
Classi di funzioni integrabili. Complementi: successioni
di Cauchy.
Proprietà dell’integrale. Teorema della media. Primitive e funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi per la ricerca di una primitiva: per
scomposizione, per sostituzione, per parti.
Integrali generalizzati.
(continua alla pagina seguente)
[1] cap. 1, par. 4.2
[1] cap. 3, par. 1.1–1.5 (no dim.
Teor. 3.3, Prop. 3.1, Teor. 3.11);
[3], 4.2 (esempi (1)–(6)), 4.3–4.4
[1] cap. 3, par. 2 e 3 (no dim.
Teor. 3.20, 3.21)
[3], paragr. 3, 5.2.1, 8–10; [1] cap.
3, par. 4.3–4.4 (no dim Teor. 3.31)
[1] cap 4, par. 1–4 (no dim. teor.
4.8).
[4] par. 1–2; [1] cap. 4, par. 5–6
[1] cap 4, par. 7.1–7.4 (no dim
Teor. 4.19)
[5] (no dim Teor. 3.1); [1] cap 6,
par. 1–2, par. 11.1–11.2
[1] cap 6, par. 3 (no dim. Teor.
6.4), 4, 5 e 91
[1] cap 6, par. 8 (no dim.)
1La dimostrazione del Teorema 6.6 può esser svolta, alternativamente a quella mostrata in [1], facendola seguire come
corollario del Teorema 6.10
R x e delle osservazioni fatte dopo questo teorema. Infatti,
R x se G ( x ) è una primitiva di f ( x ), allora
∃k ∈ R tale che G ( x ) = a f (t) dt + k. Dunque G ( a) = k e quindi G ( x ) − G ( a) = a f (t) dt, da cui segue la tesi del Teorema
6.6 ponendo x = b.
ANALISI MATEMATICA 1
Programma (continua)
Riferimenti
Serie numeriche, definizioni ed esempi. Serie a termini [1] cap. 5, par. 1–2, [6]
non negativi: criterio del confronto, del confronto asintotico, del rapporto, della radice. Criterio integrale. Serie
a termini di segno variabile. Criterio di Leibnitz per serie a segni alterni. Convergenza assoluta. Serie di Taylor.
Esponenziale complesso e formula di Eulero. Logaritmo
ed elevamento a potenza nel campo complesso.
R IFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
M Bramanti, C D Pagani, S Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli (2008)
F Giannoni, Precorso di Matematica (v.1.2) (dispense integrative)
R Giambò, F Giannoni e P Piccione, Complementi di Analisi: limiti e continuità (dispense integrative)
R Giambò, Note sulle funzioni convesse (dispense integrative)
R Giambò, Note sull’integrale di Riemann (dispense integrative)
R Giambò, Note sulle serie di Taylor (dispense integrative)
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