CONNESSIONE FIBONACCI E LE PARTI DI CERCHIO

POSSIBILE CONNESSIONE TRA
I NUMERI DI FIBONACCI E LE PARTI DI UN
CERCHIO OTTENUTE CON n PUNTI SULLA
CIRCONFERENZA
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we will show a connection between part of a
circle obtained with n points on the circumference
Riassunto
In questo lavoro mostreremo una connessione tra le parti di
un cerchio ottenute con n punti sulla circonferenza e i primi
numeri di Fibonacci
°°°°°°
Dal libro di Alex Bellos “ I numeri ci somigliano” (Einaudi)
1
riportiamo la pag. 275 :
2
3
dalla quale riportiamo i seguenti numeri naturali consecutivi :
n (numero di punti sul cerchio) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9,10, 11
parti in cui è diviso il cerchio con n punti sulla circonferenza:
1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386
Notiamo una certa “vicinanza” con diversi numeri di
Fibonacci, sebbene non consecutivi :
1, 2, 3, 5, 8, 13, (salta il 21), 34, 55, 89, 144, 233, 377
Per vedere l’andamento iniziale di questa sequenza (numero
di parti del cerchio), costruiamo una Tabella 1 che tiene conto
di differenze e rapporti successivi ecc. ecc. ed ottenere valori
per una stima approssimativa del numero delle parti di un
cerchio ottenute con più punti sul cerchio.
4
TABELLA 1
n punti
Numero
parti pn
1
2
1
2
3
4
4
8
5
16
6
31
7
57
8
99
9
163
10
256
11
386
Differenze Piccole
successive differenze
pn – pn-1 con
numeri di
con
Fibonacci
percentuale
inferiori o
decrescente
su pn
superiori
%
più vicini
0
1
0
50
2
1
50
4
3
50
8
3
50
15
10
48,38
26
2
45,61
42
10
42,42
64
39,26
93
36,32
130
Rapporti Stima per
successivi eventuali
previsioni
pn / pn-1
2
2
2
2
1,9375
1,8387
1,7368
19=11,6% 1,6464
di 163
23=8,9% 1,5705
di p =256
9
1,5078*
33,68 **
5
≈ 1,6180
12
552
13
14
15
16
…
751
969
1182
1359
…
166
30,07
199
218
213
177
…
-59
1,43
141
-18
1,36
1,29
1,22
1,15
…
..
* poiché le ultime quattro differenze successive sono di circa 7
centesimi, possiamo stimare i rapporti successivi sottraendo questa
differenza dalla precedente, ottenendo le stime approssimate in rosso,
dalle quali poi risalire a p nella seconda colonna moltiplicando la
stima per pn precedente, per esempio 386*1,43= 551,98 ≈ 552,ecc.
** si nota una riduzione di percentuale del 3% a partire da 48,38
per n = 6
Fino ad n = 16, con una stima di 1359 parti di cerchio
Con la relativa sequenza OEIS A000127 abbiamo i seguenti valori
reali
A000127
Maximal number of regions obtained by joining n points around a circle by straight lines. Also
number of regions in 4-space formed by n-1 hyperplanes.
(Formerly M1119 N0427)
1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562, 794, 1093, 1471, 1941,
2517, 3214, 4048, 5036, 6196, 7547, 9109, 10903, 12951, 15276, 17902,
20854, 24158, 27841, 31931, 36457, 41449, 46938, 52956, 59536, 66712,
74519, 82993, 92171, 102091, 112792, 124314, 136698 (list; graph; refs; listen; history; text;
(Fino ad n = 44)
6
47
Con relativi grafici:
Per chi non sapesse della sequenza OEIS o non volesse usarla, , la
nostra stima è abbastanza attendibile per valori di n da 12 a 14 , e cioè
7
562, 794, 1093 contro le nostre stime 552 751 969 con piccole
differenze:
562 -552 = 10 =1,77% di errore sul valore reale 562
794 – 751 = 43 = 5, 41% di errore sul valore reale 794
1093 – 969 = 124 = 11,34 % di errore sul valore reale1093
Le nostre stime sono approssimate per eccesso, avendo
stimato per difetto i rapporti consecutivi . Infatti, se vediamo
gli ultimi numeri di parti dalla sequenza OEIS, troviamo che i
loro rapporti consecutivi sono di circa 1,10. Possiamo fare
qualche stima (in rosso)
n
a (n)
Rapporti consecutivi
di a(n)
41
42
43
44
45 stima =
136698*1,0970
poichè il rapporto
decresce di 2 o tre
millesimi
46 idem con 1,0950
102091
112792
124314
136698
149958
1,1048
1,1021
1,0996
164204
1,0949
Questa però è un’esercitazione puramente accademica, non essendo
ancora tali stime di una qualche utilità pratica (ma, in matematica,
8
mai dire mai…)
Vediamo ora un confronto tra i valori di pn e i numeri di Fibonacci
più vicini con piccole differenze però sempre crescenti,
essendo il rapporto sempre minore e sempre più lontano da
1,618, per cui molti numeri di Fibonacci vengono saltati.
TABELLA 2
a(n)
1
2
4
8
16
31
57
99
163
256
386
562
794
1093
1471
1941
2517
3214
4048
Numeri f di
Fibonacci vicini
1
2
3, 5
8
13
21 saltato
34
55
89
144
233
377
610
Differenze
a(n) - f
0
0
1, -1
0
3
-3
2
10
19
23
9
-48
2584
-67
4181
-133
9
5036
6196
7547
9109
10903
12951
15276
17902
20854
24158
27841
31931
36457
41449
46938
52956
59536
66712
74519
82993
92171
102091
112792
124314
136698
10946
-43
17711
191
28657
31781
-816
150
46398
541
75025
-506
121393
2921
149958 stima
164204 stima
196418
-32214
…
…
…
10
Conclusione
Come prima accennato, al crescere di a(n) sempre più
numeri di Fibonacci vengono saltati, per cui la sospettata
connessione con essi vale bene fino a 610, poi si dirada
sempre più , per via dei rapporti successivi sempre più piccoli
e quindi minori di 1,618 il numero aureo che regola la
successione di Fibonacci.
Riferimenti
1) Wikipedia, voce “sequenza OEIS A000127”
2) I primi 500 numeri della serie di Fibonacci - Cipolab - ForumFree
cipolab.forumfree.it/?t=58190037
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