Vettori supplemento

Vettori II
(M.S. Bernabei, H. Thaler)
Prodotto scalare
Siano 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 ,𝑎3 ) e 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 ,𝑏3 ) due vettori
dello spazio. Il prodotto scalare fra 𝐴 e 𝐵 (denotato con
𝐴 ∙ 𝐵) è definito come
𝐴 ∙ 𝐵 = (𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 ).
In due dimensioni si pone
𝐴 ∙ 𝐵 = (𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 ).
Esempio.
Siano 𝐴 = (3, 4, −1) e 𝐵 = (2, 1, 5), allora
𝐴 ∙ 𝐵 = 6 + 4 − 5 = 5.
Proprietà del prodotto scalare
𝑃𝑆1 ) 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴
𝑃𝑆2 )
𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 ∙ 𝐵 +𝐴 ∙ 𝐶
𝑃𝑆3 )
(𝛼𝐴) ∙ 𝐵 = 𝐴 ∙ (𝛼𝐵) = α(𝐴 ∙ 𝐵), con α ∈ R
𝑃𝑆4 )
𝐴 ∙ 𝐴 ≥ 0, per ogni 𝐴 ∈ R3
𝑃𝑆5 )
𝐴 ∙ 𝐴 = 0 se e solo se 𝐴 = 0 = (0,0,0).
Dimostrazione. Per esempio 𝑃𝑆2 ):
𝐴 ∙ (𝐵 + 𝐶) = 𝑎1 (𝑏1 + 𝑐1 ) + 𝑎2 (𝑏2 + 𝑐2 ) + 𝑎3 (𝑏3 + 𝑐3 )
= (𝑎1 𝑏1 + 𝑎1 𝑐1 ) + (𝑎2 𝑏2 + 𝑎2 𝑐2 ) + (𝑎3 𝑏3 + 𝑎3 𝑐3 )
= (𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 ) + (𝑎1 𝑐1 + 𝑎2 𝑐2 + 𝑎3 𝑐3 )
= 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 q.e.d.
La norma (o modulo, lunghezza) del vettore A è il
numero reale
𝐴 := 𝐴 ∙ 𝐴
(talvolta si usa la notazione |𝐴| invece di 𝐴 e anche
𝐴2 per 𝐴 ∙ 𝐴)
Se 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 ,𝑎3 ), si ha
𝐴 = 𝑎1 2 + 𝑎2 2 + 𝑎3 2
La norma del vettore 𝐴 = 𝑂𝐴 è semplicemente la
lunghezza del vettore in R3 (risp. in R2 )
Visto che la lunghezza non cambia sotto traslazioni
parallele poniamo
𝐴𝐵 := 𝐵 − 𝐴
= (𝑏1 −𝑎1 )2 + (𝑏2 −𝑎2 )2 + (𝑏3 −𝑎3 )2
che è proprio la distanza fra 𝐴 e 𝐵.
Infine vale
k𝐴 = 𝑘
𝐴 per ogni k ∈ R.
Esempio. Trovare la distanza fra i punti 𝐴 = (3, 1, 5) e
𝐵 = (2, −1, 4).
𝐵 − 𝐴 = (−1)2 + (−2)2 + (−1)2 = 6
Chiamiamo versore del vettore 𝐴 ≠ 𝟎 il vettore di modulo
1 che ha la stessa direzione e lo stesso verso di 𝐴.
𝐴
vers(𝐴) :=
𝐴
Esempio. Dato il vettore 𝐴 = 1, 2, −4 . Trovare il suo
versore.
(1, 2, −4)
vers(𝐴) =
21
=(
1
2
−4
, ,
).
21 21 21
Le seguenti uguaglianze seguono dalle proprietà
𝑃𝑆1 ) e 𝑃𝑆2 ) :
(𝐴 + 𝐵)2 = 𝐴2 + 2 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵2 (*)
(𝐴 − 𝐵)2 = 𝐴2 − 2 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵2 = (𝐵 − 𝐴)2 (**)
Il prodotto scalare permette a decidere quando due
vettori sono ortogonali (perpendicolari).
Teorema. Due vettori non nulli 𝐴 e 𝐵 sono ortogonali
se e solo se 𝐴 ∙ 𝐵 = 0.
Diremo che due vettori 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 sono ortogonali se i
loro vettori equivalenti sono ortogonali.
Come si evidenzia dalle due figure sopra, i due vettori
𝐴 e 𝐵 sono ortogonali se e solo se
𝐴+𝐵
𝐴+𝐵
= 𝐵−𝐴
2
= 𝐵−𝐴
⟺
2
⟺
(𝐴 + 𝐵)2 = (𝐵 − 𝐴)2 .
Dalle identità (*), (**) segue
𝐴2 +2 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵2 = 𝐴2 − 2 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵2
e quindi
4 𝐴 ∙ 𝐵 = 0 ⟺ 𝐴 ∙ 𝐵 = 0.
q.e.d.
Esempio. Siano 𝐴 = (1, 3, 1), 𝐵 = 2, 5, 3 , 𝐶 = (3, 2, 1) tre
punti. Provare che il triangolo ABC è rettangolo in A.
Dobbiamo provare che i vettori 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 sono ortogonali
oppure (𝐵 − 𝐴) ∙ 𝐶 − 𝐴 = 0.
Abbiamo (𝐵 − 𝐴) ∙ 𝐶 − 𝐴 = 1, 2, 2 ∙ 2, −1, 0 = 0.
L’angolo fra due vettori 𝐴 e 𝐵 è l’angolo convesso
formato dai vettori 𝐴 e 𝐵. Lo indicheremo con 𝜗.
Teorema. Se 𝜗 è il vettore fra i vettori 𝐴 e 𝐵, allora
cos 𝜗 = 𝐴 ∙ 𝐵 /( 𝐴
𝐵 )
Dimostrazione. È sufficiente mostrare l’affermazione per
angoli 𝜗 acuti. Per angoli ottusi la dimostrazione si svolge in
maniera analoga.
Sia 𝑃 la proiezione ortogonale del vettore B sulla retta
individuata da 𝐴 e sia 𝑄 il vettore tale che
𝐵 =𝑄+𝑃
(*)
Moltiplicando scalarmente l’equazione (*) per 𝐴 si ha
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 ∙ (𝑄 + 𝑃)
(**)
A e Q sono ortogonali, cioè 𝐴 ∙ 𝑄 = 0, e quindi otteniamo
𝐴∙𝐵 =𝐴∙𝑃
(△)
D’altra parte vale 𝑃 = 𝑘𝐴, con 𝑘 > 0, perché 𝐴 e 𝑃
sono paralleli. Sostituendo P = 𝑘 𝐴 in (△) otteniamo
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑘𝐴2
𝑘=𝐴∙𝐵/ 𝐴
⟺
2
(△△)
La definizione del coseno ci da
cos 𝜗 = 𝑃 / 𝐵
⟺
𝑘 𝐴 = cos 𝜗
𝐵
𝑘 = 𝐵 / 𝐴 cos 𝜗
⟺
(⧠)
Dalle equazioni (△△) e (⧠) risulta
𝐴 ∙ 𝐵/ 𝐴
2
= 𝐵 / 𝐴 cos 𝜗
e quindi
cos 𝜗 = 𝐴 ∙ 𝐵 /( 𝐴
𝐵 ).
q.e.d.
Per vettori applicati 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 poniamo
𝐴𝐵 ⋅ 𝐶𝐷
𝐵−𝐴 ⋅ 𝐷−𝐶
cos 𝜗 =
=
.
𝐵 − 𝐴 ‖𝐷 − 𝐶‖
𝐴𝐵 ‖𝐶𝐷‖
Esempio
Siano dati i punti 𝐿 = (1, 1), 𝑀 = (5, 1) e 𝑁 =
3, 1 + 2 3 , trovare l’ ampiezza dell’ angolo 𝐿𝑀𝑁.
Svolgimento: Si ha:
𝑀𝐿 ≡ 𝐿 − 𝑀 = (−4, 0)
𝑀𝑁 ≡ 𝑁 − 𝑀 = (−2, +2 3).
≡ significa equivalente
60°
Inoltre
𝑀𝐿 = 16 = 4
𝑀𝑁 = 4 + 12 = 4
𝑀𝐿 ∙ 𝑀𝑁 = 8
Applicando la formula del coseno di un angolo tra due
vettori si ottiene
8
1
cos(𝐿𝑀𝑁) =
=
16 2
Quindi 𝐿𝑀𝑁 misura 60° (ovvero
𝜋
3
radianti).
Triangolo equilatero
Esempio
Siano dati i punti dello spazio 𝑃 = (−4, −2,0),
𝑄 = (−1, −2, 4) e 𝑅 = (3, −2, 1), trovare l’
ampiezza dell’ angolo 𝑅𝑃𝑄.
Svolgimento: Si ha:
𝐴 = 𝑄 − 𝑃 = (3, 0, 4)
𝐵 = 𝑅 − 𝑃 = (7, 0, 1).
Quindi cos(𝑅𝑃𝑄) =
1
2
∙
2
2
=
2
2
3,0,4 ∙ 7,0,1
9+16 49+1
=
25
5 50
=
25
25 2
𝜋
Perciò l’ angolo 𝑅𝑃𝑄 misura 45° ( radianti ).
4
=
2
cos( 45 ) =
2
∘
Esercizi
1. Date le seguenti coppie di vettori calcolare il loro
prodotto scalare
a) A=(1,2) e B=(-1,3)
[5]
b) A=(1,-1,3) e B=(0,2,4)
[10]
a) 𝐴 ⋅ 𝐵 = 1 ∗ −1 + 2 ∗ 3 = 5
b) 𝐴 ⋅ 𝐵 = 1 ∗ 0 + −1 ∗ 2 + 3 ∗ 4 = 10.
2. Dati i punti A=(1,2,1), B=(3,-1,7), C=(7,4,-2),
verificare che il triangolo ABC è un triangolo
isoscele.
[𝐴𝐵= 𝐴𝐶=7]
Soluzione 2. A=(1,2,1), B=(3,-1,7), C=(7,4,-2).
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 =
22 + −3
𝐴𝐶 = 𝐶 − 𝐴 =
Il triangolo è isoscele.
2
+ 62 = 49.
62 + 22 + (−3)2 = 49.
3. Dato il vettore v=i+2j+2k, trovare il vettore w che ha la
stessa direzione di v, verso opposto e modulo 6.
[w=-2i-4j-4k]
4. Dire se i seguenti punti sono allineati:
A=(2,3,4), B=(1,5,8), C=(2,7,12). [no]
5. Dire se i seguenti punti sono allineati:
A=(2,1,5), B=(3,0,7), C=(4,-1,9). [sì]
6. Dati i vettori v=-2i+4j-3k, w=3i+5j+2k e u=i+6j-4k
calcolare v∙w, v∙u, u∙w, u∙u usando le proprietà dei
versori.
[8,34,25,53]
3. Dato il vettore v=i+2j+2k, trovare il vettore w che ha la
stessa direzione di v, verso opposto e modulo 6.
[w = -2i-4j-4k]
Soluzione 3. Abbiamo 𝒘 = 𝑘𝒗 ⇒
𝑘
1,2,2
𝑤 = |𝑘| 𝒗 = 6.
= 𝑘 3 = 6 ⇒ |𝑘| = 2.
𝒘 ha verso opposto quindi 𝑘 = −2.
𝒘 = −2𝒊 − 4𝒋 − 4𝒌.
4. Dire se i seguenti punti sono allineati:
A=(2,3,4), B=(1,5,8), C=(2,7,12).
Soluzione: 𝐴𝐵 = 𝑘𝐴𝐶 ?
𝐵−𝐴=𝑘 𝐶−𝐴
⇒ −1,2,4 = 𝑘 0,4,8
Non esiste nessun 𝑘 che risolvi l’equazione di sopra.
Quindi i tre punti non sono allineati.
5. Dire se i seguenti punti sono allineati:
A = (2,1,5), B = (3,0,7), C = (4,-1,9).
𝐵−𝐴 =𝑘 𝐶−𝐴
1, −1,2 = 𝑘 2, −2,4 .
𝑘 = 1/2 risolve l’equazione e quindi i tre punti sono
Allineati.
6. Dati i vettori v = -2i+4j-3k, w = 3i+5j+2k e u = i+6j-4k.
Calcolare v∙w, v∙u, u∙w, u∙u usando le proprietà dei
versori.
Soluzione: 𝒗 ⋅ 𝒘 = −2𝒊 + 4𝒋 − 3𝒌 ⋅ 3𝒊 + 5𝒋 + 2𝒌 =(*)
𝒊⋅𝒊=𝒋⋅𝒋=𝒌⋅𝒌=1
𝒊⋅𝒋=𝒊⋅𝒌=𝒌⋅𝒋=0
(∗)
= −2𝒊 ⋅ 3𝒊 + 4𝒋 ⋅ 5𝒋 + −3 𝒌 ⋅ 2𝒌
= −6 + 20 − 6 = 8.
7. Verificare che si ha v∙(w+u)= v∙w+ v∙u nel caso particolare
dei vettori v=4i-4j+k, w=i-5j-3k e u=2i-6j+5k.
[v∙(w+u)= v∙w+ v∙ u =58]
8. Dati i vettori v=i+3j-2k, w=4i-2j+4k calcolare (2v+w)∙(v-2w)
e (3v+2w)∙(3v+2w). [-14,150]
9. Verificare che il triangolo che ha per vertici A=(1,3,2),
B=(3,4,-2), C=(4,5,4) è un triangolo rettangolo.
[il vettore 𝐴𝐵 è perpendicolare ad 𝐴𝐶]
10. Dato il triangolo che ha per vertici A=(-2,-4,8), B=(-8,-4,0),
C=(6,-4,2) trovare la misura dell’ angolo interno di vertice B.
[45° o π/4]
11. Dire per quali valori del parametro h i seguenti vettori
sono perpendicolari: v=4hi+4j+(h-1)k, w=i-5j-3k
[17]
11. Siano dati un vettore v di modulo 3 e un vettore w di
modulo 4. Sapendo che l’ angolo tra questi due vettori è
120°, trovare v∙w, v∙v.
[-6,-9/2]
11. Dati i punti A=(2,2), B=(7,-1), C=(10,4), D=(5,7), disegnarli e
dimostrare che il quadrilatero ABCD ha le diagonali
perpendicolari.
[il vettore 𝐴𝐶 è perpendicolare ad 𝐵𝐷]
14. Siano dati i punti L=(2,2), M=(6,2) e N=(4,2+2 3), trovare l’
ampiezza dell’ angolo 𝐿𝑁𝑀.
[60° o
π/3]
8. Dati i vettori v=i+3j-2k, w=4i-2j+4k calcolare (2v+w)∙(v2w) e (3v+2w)∙(3v+2w).
Soluzione: 𝒗 = 1,3, −2 , 𝒘 = 4, −2,4 .
2𝒗 + 𝒘 ⋅ 𝒗 − 2𝒘 =
2,6, −4 + 4, −2,4 ⋅ 1,3, −2 − 8, −4,8
6,4,0 ⋅ −7,7, −10 = −42 + 28 = −14.
=
9. Verificare che il triangolo che ha per vertici A=(1,3,2),
B=(3,4,-2), C=(4,5,4) è un triangolo rettangolo.
Soluzione: 𝐴𝐵 = B − A = 2,1, −4 ;
𝐴𝐶 = 3,2,2 ;
𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐶 = 6 + 2 − 8 = 0.
I vettori 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 sono perpendicolari e per questo il
triangolo è un triangolo rettangolo.
10. Dato il triangolo che ha per vertici A=(-2,-4,8),
B=(-8,-4,0), C=(6,-4,2) trovare la misura dell’ angolo
interno di vertice B. [45° o π/4]
Soluzione: 𝐵𝐴 = 6,0,8 ,
𝐵𝐶 = 14,0,2 ;
cos 𝜗 =
6,0,8 ⋅ 14,0,2
10∗ 2∗10
=
100
100∗ 2
L’angolo è 𝜗 = 𝜋/4.
𝐵𝐴⋅𝐵𝐶
𝐵𝐴 𝐵𝐶
= 1/√2 .
=
11. Dire per quali valori del parametro h i seguenti vettori
sono perpendicolari: v = 4hi+4j+(h-1)k,
w = i-5j-3k
Soluzione: 𝒗 = 4ℎ, 4, ℎ − 1 , 𝒘 = 1, −5, −3 .
Dobbiamo vedere quando sia verificata la condizione
𝒗 ⋅ 𝒘 = 0.
𝒗 ⋅ 𝒘 = 4ℎ, 4, ℎ − 1 ⋅ 1, −5, −3 = 0.
4ℎ − 20 − 3h + 3 = h − 17 = 0.
Per ℎ = 17 i vettori sono perpendicolari.
12. Siano dati un vettore v di modulo 3 e un vettore w di
modulo 4. Sapendo che l’ angolo tra questi due vettori è
120°, trovare v∙w, v∙v.
Soluzione: Possiamo usare la formula dell’angolo di due
vettori:
𝒗⋅𝒘
cos 𝜗 =
⇒
𝒗
𝒗 ⋅ 𝒘 = cos 𝜗
𝒗
𝒘
𝒘 = cos 2𝜋/3 ∗ 3 ∗ 4
1
= − ∗ 3 ∗ 4 = −6 .
2
13. Dati i punti A = (2,2), B = (7,-1), C = (10,4), D = (5,7),
disegnarli e dimostrare che il quadrilatero ABCD ha le
diagonali perpendicolari.
Soluzione: 𝐴𝐶 = (8,2), 𝐵𝐷 = −2,8 ;
𝐴𝐶 ⋅ 𝐵𝐷 = 0.
Le diagonali sono perpendicolari.
14. Siano dati i punti L=(2,2), M=(6,2) e N=(4,2+2 3),
trovare l’ ampiezza dell’ angolo 𝐿𝑁𝑀.
Soluzione: 𝑁𝐿 = (−2, −2√3) ,
cos 𝜗 =
𝑁𝐿⋅𝑁𝑀
𝑁𝐿 𝑁𝑀
=
−4+12
4∗4
𝑁𝑀 = (2, −2 3).
=
𝜗 = 𝜋/3.
1
.
2