Un esempio di costruzione di un modello probabilistico: la legge di sopravvivenza nel lancio dei dadi La ricerca dell'accordo con i dati sperimentali: l'approccio visivo e l'uso del Chi-quadro (χ2 )
Legge di sopravvivenza nel lancio dei dadi
Obiettivo
In questo esperimento
•
imparerai a costruire un modello probabilistico interpretativo dei dati sperimentali che hai
acquisito a seguito di lanci successivi di un insieme di un insieme di 100 dadi ed eliminazione,
ad ogni lancio, dei dadi che mostravano una faccia specificata (per es. 1);
•
ad effettuare un confronto visivo fra i dati sperimentali e quelli previsti dal modello;
•
ad utilizzare un approccio statistico appropriato (il test del Chi-quadro) per valutare la
compatibilità dei dati sperimentali con il modello teorico
Materiale: insieme di 100 dadi
Acquisizione dati
Inizialmente hai a disposizione 100 dadi.
Riporta questa informazione (e le altre richieste) nella Tabella che segue:
Numero di
lancio
A
B
C
D
E
F
Numero
dadi
sopravvissut
i
Numero
dadi
eliminati
Totale
dei dadi
eliminati
Modello
dadi
sopravvis
suti
Modello
dadi
eliminati
Modello
totale
dadi
eliminati
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Effettua il primo lancio e conta il numero di dadi che mostrano la faccia 1 e vanno pertanto eliminati.
Riporta, in Tabella, nella riga che corrisponde al primo lancio il numero di dadi sopravvissuti, il
numero di quelli eliminati e il totale dei dadi eliminati.
Ripeti per ognuno degli altri lanci, fino a 15, che effettuerai.
Costruisci a partire dalle informazioni nella tabella, due grafici:
1) numero di dadi sopravvissuti in funzione del numero di lanci
2) numero totale di dadi eliminati in funzione del numero di lanci
Il problema, tuo e dei tuoi compagni, è ora costruire un modello interpretativo delle due distribuzioni e
valutarne la compatibilità con le informazioni sperimentali acquisite.
Costruzione del modello interpretativo
Avendo a disposizione N dadi qual è la probabilità che uno di essi mostri la faccia 1?
Qual è il numero di dadi che a seguito del lancio ti aspetti di dover eliminare?
La probabilità che uno dei dadi mostri la faccia 1 è p = 1/6 (rapporto tra caso favorevole, la faccia 1
appunto, e casi possibili, il dado ha 6 facce).
Inoltre se il numero di dadi da lanciare è pari a N, il numero teorico atteso di quelli che dovrai
eliminare è pari a N*p.
Cioè ad ogni lancio dovrai eliminare
ΔN = N*p
essendo N il numero di dadi che stai lanciando p la probabilità per la faccia 1.
Naturalmente la relazione fra il lancio (n+1) e il lancio n può essere scritta nella forma
Nn+1 = Nn - ΔN = Nn - Nn *p
Questa è l’espressione matematica del modello teorico.
Implementa il modello appena discusso nella Tabella.
Se hai riportato nelle colonne A, B e C le informazioni sperimentali puoi sviluppare il tuo modello
teorico nelle colonne D, E e F.
Iterando fino alla riga che contieni il lancio numero 15 dovresti ottenere le previsioni teoriche per il
numero di dadi sopravvissuti.
Disponi adesso di tutte le previsioni del tuo modello.
Costruisci i due grafici teorici del Numero di dadi sopravvissuti e del Numero totale di dadi eliminati al
variare del numero di lanci.
Ricordati:
•
quando costruisci un grafico sperimentale è opportuno scegliere tra le opzioni disponibili per la
tipologia di grafico quella che rappresenta le informazioni con dei punti;
•
quando costruisci un grafico teorico è opportuno invece scegliere quella che rappresenta le
informazioni mediante una linea continua
Per valutare visivamente quanto bene la teoria descriva i dati sperimentali sovrapponi ognuno dei
grafici delle previsioni teoriche a quello sperimentale.
Dovresti ottenere due grafici ognuno con i dati sperimentali e con le curve toriche sovrapposte.
Calcoliamo ora il
χ2 = ∑115(Ok – Ak)2
dove O e' il valore osservato e A e' il valore atteso per il lancio k.
Determinazione del valore p a partire dai dati
Ovviamente nel nostro caso siamo partiti da un valore noto (perché conoscevamo la forma del dado e
quindi il numero di facce) di p =1/6.
Immaginiamo una situazione diversa in cui si sa la procedura mediante la quale sono stati acquisiti i
dati ma non si hanno informazioni sul tipo di dadi utilizzato e quindi sul valore di p.
E’ possibile effettuare un’analisi che permette, a partire dalle informazioni sperimentali, di ricavare il
valore di p?
La migliore descrizione dei dati si avrà per il valore di p che rende minimo il χ2.
Provate, ora a calcolare le vostre previsioni teoriche ed il valore del χ2 per almeno 2 valori p più piccoli
di 1/6 e almeno 2 valori di p più grandi di 1/6 (per esempio quelli di seguito riportati o altri da voi
scelti).
Raccogliete i dati in una tabella del tipo:
Analisi del χ2 al variare del parametro p
Valori di p
0,13
0,14
0,15
0,16
0,166
0,17
0,18
0,19
0,20
Costruite ora un grafico del χ2 al variare di p.
Cosa notate?
La funzione χ2 avrà un minimo.
Qual è il valore di p che corrisponde al minimo del χ2 ?
E’ prossimo a quello noto nel nostro caso 0,166?
Valore del χ2
