2012Tutti Compiti - E-learning del Polo di Ingegneria

Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti)
A.A. 2011/12
Appello del
11/01/2012.
• Tempo a disposizione: 2h30. Scrivere solamente sui fogli forniti
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate. 3 punti di bonus per
la chiarezza espositiva.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg · s) RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.97 × 1024 kg, R = 8.31 J/mol · K.
Problema 1:
Due blocchetti di uguale massa m = 0.35 kg sono collegati da una molla di costante elastica
k = 4.5 N/m e lunghezza a riposo L0 = 0.25 m e possono scivolare senza attrito su un
piano orizzontale. Inizialmente il blocchetto 1 è appoggiato ad una parete verticale ed il
blocchetto 2 è tenuto premuto contro il blocchetto 1 in modo che la molla sia completamente
compressa. All’istante t = 0 i blocchetti vengono lasciati liberi di muoversi. Si possono
considerare i blocchetti come punti materiali.
Quesito 1.1 Trovare la velocità del blocchetto 2 nel momento in cui il blocchetto 1 si
stacca dalla parete.
Quesito 1.2 Trovare la velocità del centro di massa del sistema dei due blocchetti in funzione del tempo dopo che i
blocchetti si sono staccati dalla parete. Calcolarla numericamente nell’istante in cui il blocchetto 1 si stacca dalla
parete.
Quesito 1.3 Calcolare la massima distanza tra i due blocchetti dopo che si sono staccati dalla parete.
Problema 2:
Un sistema per misurare la velocità angolare è costituito da un’asta verticale a cui sono
sospese due masse identiche m = 0.25 kg attraverso due astine rigide prive di massa di
lunghezza ` = 20 cm. Misurando l’angolo θ che le due astine formano rispetto alla verticale
si puó determinare la velocità angolare di rotazione dell’asta.
Quesito 2.1 Determinare la relazione tra la velocità angolare ω dell’asta e l’angolo formato dalle astine con la verticale trascurando tutte le forze di attrito. Si determini
numericamente la minima velocità angolare ω0 per cui le astine si sollevano.
Quesito 2.2 Si consideri adesso che le due masse m siano soggette ad una forza di attrito
viscoso proporzionale alla loro velocità: F~V = −β~v con β = 3.0 kg/s. Supponendo che
l’asta venga mantenuta in rotazione da un motore con una velocità angolare doppia
rispetto alla minima velocità calcolata al punto precedente (ω1 = 2ω0 ), calcolare la
potenza fornita dal motore per vincere l’attrito viscoso.
θ
m
m
ω
Quesito 2.3 Improvvisamente il motore si spegne ed il sistema comincia a rallentare a causa dell’attrito viscoso. Calcolare
la componente verticale Lz del momento angolare del sistema rispetto al punto di sospensione delle sbarrette
all’istante in cui il motore si spegne. Utilizzando la seconda equazione cardinale, calcolare dopo quanto tempo Lz
si è ridotto del 10%.
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3:
Un serbatoio cilindrico di altezza H = 10.0 m e raggio r = 50 cm è sigillato ed isolato termicamente dall’esterno. Sul fondo ha un piccolo forellino di sezione molto minore dell’area
della base del cilindro che si apre sull’atmosfera. Inizialmente il serbatoio è pieno fino ad
un altezza h0 = H/2 di acqua, mentre la parte superiore contiene aria ad una pressione
p0 = 2.0 atm. (Si consideri 1 atm = 105 Pa e g = 10 m/s2 )
p0
H
p0 h0
Quesito 3.1 Calcolare la velocità di uscita dell’acqua dal forellino nella situazione iniziale.
Quesito 3.2 Il recipiente si svuota lentamente. Calcolare la velocità di uscita quando il livello dell’acqua è la metà di
quello inziale, h1 = H/4. Poichè la capacità termica dell’acqua è molto maggiore di quella del gas, si può considerare
costante la temperatura, che non è nota esattamente, ma è dell’ordine della temperatura ambiente.
Quesito 3.3 Calcolare il calore assorbito dal gas tra il momento in cui l’acqua si trova ad altezza h0 a quando si trova
ad h1 , sempre assumendo temperatura costante.
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 4:
Una sbarretta conduttrice di resistenza R = 2.5 kΩ si muove con velocità costante v = 4.5 m/s scivolando senza attrito su due guide conduttrici poste a
distanza d = 25 cm, ai capi delle quali è collegato un condesatore di capacità
C = 30µF inizialmente scarico. Tra le due guide è presente un campo magnetico
costante ed uniforme B = 0.85 T diretto in verso entrante perpendicolarmente
al piano delle due guide.
Quesito 4.1 Calcolare la forza elettromotrice indotta nel circuito, indicando il segno + se il polo positivo è in alto ed il
segno − se è in basso.
Quesito 4.2 Esprimere la carica Q che si deposita sul condensatore in funzione del tempo ed in particolare calcolarla
dopo un tempo t = 150 ms.
Quesito 4.3 Esprimere in funzione del tempo la potenza esercitata dall’operatore per mantenere la sbarretta in movimento e calcolarla numericamente per t = 150 ms.
Soluzioni
Problema 1:
Quesito 1.1 Nel moto dei blocchetti l’energia si conserva, in quanto non vi sono forze non conservative. Il blocchetto 1
si stacca dalla parete nel momento in cui la forza esercitata dalla molla è nulla, cioè nel momento in cui la lunghezza
della molla supera la lunghezza di riposo. Utilizzando la conservazione dell’energia tra il momento iniziale ed il
momento del distacco si ottiene:
r
k
1
1
1
2
2
2
k(0 − L0 ) = k(L0 − L0 ) + mv2 =⇒ v2 = L0
= 0.90 m/s
(1)
2
2
2
m
Quesito 1.2 Successivamente al distacco dalla parete non vi sono forze esterne lungo la direzione orizzontale. Di conseguenza il centro di massa si muoverà di moto rettilineo uniforme con velocità costante. La velocità di ottiene
applicando la definizione all’istante del distacco dalla parete:
r
v2
L0 k
mv1 + mv2
=
=
= 0.45 m/s
(2)
vCM =
2m
2
2
m
Quesito 1.3 Nel moto successivo al distacco le due masse oscilleranno. Da notare che nell’istante iniziale la massa 1 è
ferma, mentre la massa 2 è in movimento, per cui le due masse avranno in generale velocità diverse. Questo significa
che la condizione di massimo allungamento non corrisponde alla condizione in cui entrambi le masse sono ferme nel
sistema del pavimento (che non si verifica mai). Se però ci mettiamo nel sistema del centro di massa, che è inerziale
in quanto si muove di moto rettilineo uniforme, le velocità delle due masse dovranno essere sempre uguali in modulo
ed opposte in verso, per cui la condizione di massima (e minima) lunghezza della molla corrisponde effettivamente
alla condizione di velocità nulla per entrambi i blocchetti. Mettendoci perciò nel sistema del centro di massa, le
velocità iniziali saranno:
v10 = 0 − vCM = −vCM = −0.45 m/s
;
v20 = v2 − vCM = vCM = +0.45 m/s
(3)
Applicando la conservazione dell’energia dall’istante del distacco a quello di massima lunghezza L della molla si
ottiene:
1
1
1
1
mv102 + mv202 + k(L0 − L0 )2 = 0 + 0 + k(L − L0 )2 .
(4)
2
2
2
2
Sostituendo le espressioni ricavate sopra si ottiene:
r
L0
1
2m
2
2
=⇒ L = L0 ± vCM
= L0 ± √
(5)
mvCM = k(L − L0 )
2
k
2
√
Il segno piú corrisponde alla massima lunghezza,
LM AX = (1+1/ 2)L0 = 0.43 m, mentre il segno meno corrisponde
√
alla lunghezza minima LM IN = (1 − 1/ 2)L0 = 0.073 m. Si noti che anche se la lunghezza iniziale della molla è
nulla, questa condizione non viene mai più raggiunta, perchè una parte dell’energia potenziale della molla è andata
nell’energia cinetica del moto traslazionale del sistema nel suo complesso, che rimane costante.
Problema 2:
Quesito 2.1 Detta F la forza esercitata dalla sbarretta su ciascuna massa m, e, proiettando l’equazione di Newton lungo
la direzione orizzontale e verticale, si ottiene:
F cos θ − mg = 0
=⇒
2
F sin θ = mω ` sin θ
=⇒
cos θ = mg/F
(6)
2
F = mω `
da cui cos θ = g/(`ω 2 ) = ω02 /ω 2 . Essendo cos θ ≤ 1 si ha che deve essere ω 2 ≥ g/` = ω02 , con ω0 =
(7)
p
g/` = 7.0 rad/s.
Quesito 2.2 Il modulo della forza di attrito su ciascuna massa è FV = βv = β`ω sin θ. La componente del momento
lungo l’asse di rotazione sarà, considerando una rotazione antioraria, e che la forza di attrito è sempre opposta alla
velocità,
ω04
2
2
2
τz = −2FV ` sin θ = −2β` ω1 sin θ = −2β` ω1 1 − 4
(8)
ω1
La potenza W erogata dal motore è quindi W = |τz |ω1
ω04
15 2 2
15
2 2
β` ω0 =
β`g = 44.1 W
W = 2β` ω1 1 − 4 =
ω1
2
2
(9)
Quesito 2.3 La componente z del momento angolare del sistema è Lz = 2mv` sin θ = 2m`2 sin2 θω. Al momento in cui
si spegne il motore si ha ω = ω1 = 2ω0 da cui
15 p 3
1
=
g` = 0.26 J · s
(10)
Lz = 2m`2 2ω0 1 −
16
4
β
Confrontando con la (8) si vede che τ = − m
Lz . Utilizzando la seconda equazione cardinale lungo l’asse z si ottiene:
dLz
β
= − Lz
(11)
dt
m
Questa equazione differenziale è ben nota ed ha come soluzione un’esponenziale decrescente con costante tempo
t0 = m/β = 0.083 s.
t
(12)
Lz (t) = Lz (0)e− t0
Imponendo che Lz (t) = 0.90Lz (0) si ottiene
τz =
t
0.90 = e− t0
=⇒
t = −t0 ln(0.9) = 8.74 ms
(13)
Problema 3:
Quesito 3.1 Applicando il teorema di Bernoulli tra un punto sulla superficie del liquido (che si può considerare ferma
in quanto di sezione molto più grande del forellino) e un punto all’uscita del forellino si ottiene:
r
1 2
2
p0 + ρgh0 = patm + ρv
=⇒ v =
(p0 − patm + ρgh0 ) = 17.3 m/s
(14)
2
ρ
Quesito 3.2 Nello svuotarsi, il volume del gas aumenta, e trattandosi di un isoterma la pressione diminuisce conseguentemente: p1 = p0 (V0 /V1 ) = p0 (H − h0 )/(H − h1 ) = 2p0 /3 Applicando di nuovo il teorema di Bernoulli tra gli stessi
due punti si ottiene:
r
r
2
2
1 2
(p1 − patm + ρgh1 ) =
(patm /3 + ρgH/4) = 10.8 m/s
(15)
p1 + ρgh1 = patm + ρv1 =⇒ v1 =
2
ρ
ρ
Quesito 3.3 Assumendo che la trasformazione
R sia isoterma, possiamo calcolare quanto calore il gas ha assorbito dall’acqua. Poiché ∆U = 0 si ha che Q = P dV e quindi, chiamando A = πr2 = 0.785 m2 la sezione del cilindro ed
utilizzando la legge dei gas perfetti si ottiene:
Q = nRT0 ln
V1
H − h1
3
= p0 V0 ln
= p0 A(H/2) ln = 3.18 × 105 J.
V0
H − h0
2
(16)
Problema 4:
Quesito 4.1 La forza elettromotrice indotta é data dalla variazione di flusso del campo magnetico Vind = −dΦ/dt.
Usando le prescrizioni canoniche per il segno del campo magnetico e della differenza di potenziale il flusso attraverso
una porzione di circuito di lato x é dato da Φ = −Bdx, pertanto si ottiene
Vind = Bvd = 0.956 V
(17)
ovvero la corrente indotta ha verso antiorario.
Quesito 4.2 Si tratta della carica di un condensatore attraverso una resistenza con costante di tempo τ = RC = 75 ms.
Si ha quindi
Q(t) = Qmax (1 − e−t/τ )
(18)
con Qmax = CVind = 28.7µC e ponendo t = 150 ms si ottiene pertanto
Q = Qmax (1 − e−2 ) = 24.8 µ C.
(19)
~ Poiché d~ e B
~ sono ortogonali l’espressione precedente si riduce
Quesito 4.3 La forza magnetica è data da F~ = Iind d~ × B.
~
a F = Iind dB; usando quindi la definizione di potenza P = F · ~v si ha
P = Iind dBv = Iind Vind
(20)
e la corrente indotta puó essere facilmente calcolata usando l’espressione ricavata al quesito precedente
Iind =
dQ(t)
Qmax −t/τ
=
e
dt
τ
(21)
Qmax −t/τ
V2
e
= ind e−t/τ
τ
R
(22)
da cui, finalmente
P (t) = Vind
e per t = 150 ms
P = 49.5 µW.
(23)
Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti)
A.A. 2011/12
Appello del
31/01/2012.
• Tempo a disposizione: 2h30. Scrivere solamente su fogli forniti
• Modalità di risposta: spiegare il procedimento seguito, determinare la risposta richiesta sulla base dei parametri
del problema, ed infine valutarla numericamente. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le
risposte errate. 3 punti di bonus per la chiarezza espositiva.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg · s) RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.97 × 1024 kg, R = 8.31 J/mol · K.
Problema 1:
Un carrello di massa m1 = 9 kg si può muovere senza attrito su un piano
orizzontale. Sul carrello è appoggiata una massa m2 = m1 /3. Il coefficiente
di attrito statico tra le due masse è µS = 0.6. Le due masse sono inizialmente
in moto con una velocità v0 = 2.5 m/s e vanno a comprimere una molla di
costante elastica k = 200 N/m e lunghezza a riposo L0 = 70 cm.
v0
k, L0
Quesito 1.1 Determinare per quale valore x1 della compressione della molla la massa m2 inizierà a scivolare sul carrello.
Quesito 1.2 Determinare la velocità delle due masse quando la massa m2 inizia a scivolare
Quesito 1.3 Variando adesso la velocità iniziale v0 , determinare la minima velocità v0,M IN per cui avviene lo scivolamento di m2 sul carrello.
Problema 2:
Due masse puntiformi m1 = 5.0 kg ed m2 = m1 /2 sono collegate con una
sbarretta sottile priva di massa di lunghezza L = 25 cm. Il sistema viene
inizialmente tenuto con la sbarretta orizzontale sopra un piolo che si trova sulla
vertical del centro geometrico della sbarretta. ad un altezza h = L/2 Il sistema
viene lasciato cadere da fermo, sotto l’azione della gravità. Colpendo il piolo la
sbarretta si aggancia al piolo ed inizia a ruotare intorno ad esso senza attrito.
L
m1 m2 h
Quesito 2.1 Calcolare la velocità angolare ω0 della sbarretta subito dopo che si è agganciata al piolo.
Quesito 2.2 Calcolare la velocità angolare ω1 della sbarretta quando la massa m1 si trova sulla verticale del piolo e sotto
di esso.
Quesito 2.3 Determinare il modulo, direzione e verso della forza esercitata dal piolo sulla sbarretta quando essa si trova
nella posizione del punto 2.
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
p
Problema 3:
Un gas perfetto monoatomico compie il ciclo ABCD reversibile e quasistatico
con: A = (V0 , p0 ); B = (2V0 , 2p0 ); C = (5V0 , 2p0 ), D = (4V0 , p0 ). Tutte le
trasformazioni sono rappresentate da rette nel piano pV . Le condizioni del
punto A sono: V0 = 1.5 dm3 ; p0 = 2.5 atm; TA = 200 K.
B
A
C
D
V
Quesito 3.1 Dire in quali tratti il gas assorbe calore, e calcolare il calore assorbito dal gas dall’ambiente durante il ciclo.
Quesito 3.2 Calcolare il rendimento η di una macchina termica che utilizzi il ciclo ABCD
Quesito 3.3 Calcolare la variazione di entropia del gas ∆SBD tra il punto B ed il punto D.
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 4:
Una spira rettangolare di lati AB=15 cm e BC=4.5 cm e resistenza R = 1.5Ω
ruota con velocità angolare ω = 35 rad/s intorno all’asse passante per il lato
AD, in senso antiorario. La spira è immersa in un campo magnetico uniforme
B = 0.65T perpendicolare all’asse di rotazione. Al tempo t = 0 la spira si trova
nel piano del campo magnetico.
D
C
A
B
B
Quesito 4.1 Calcolare la forza elettromotrice indotta in funzione del tempo, e determinarla numericamente per t=0.
Quesito 4.2 Calcolare, in funzione del tempo, il momento della forza esercitato dall’operatore esterno per mantenere in
rotazione la spira a velocità angolare costante e determinarlo numericamente per t=0.
Quesito 4.3 Calcolare quanta energia viene dissipata nella spira in un periodo di rotazione.
T
α
A
B
Soluzioni
Problema 1:
Quesito 1.1 Detta FS la forza di attrito statico esercitata su m2 , la sua accelerazione sarà: a2 = FS /m2 ≤ µs g. Finché
non vi è scivolamento sarà a1 = a2 = a = Fmolla /(m1 + m2 ) = (kx/(m1 + m2 )), da cui
x≤
m1 + m2
µS g = x1 = 35.3 cm
k
(1)
Quesito 1.2 Nel moto del carrello contro la molla si conserva l’energia, in quanto la forza della molla è conservativa e l
attrito statico non compie lavoro. Per cui
1
1
1
(m1 + m2 )v02 = (m1 + m2 )v12 + kx21
2
2
2
da cui si ricava
v1 =
r
v02
k
−
x2 =
m1 + m2 1
r
v02 −
m1 + m2 2 2
µS g = 2.04 m/s
k
(2)
(3)
Quesito 1.3 Perchè avvenga lo scivolamento, è necessario che la compressione x1 sia inferiore all’ampiezza del moto
oscillatorio. In questo modo la forza esercitata dalla molla rimarrà
p sempre inferiore alla massima forza di attrito
esercitabile su m2 . L’ampiezza dell’oscillazione è A = v0 /ω = v0 (m1 + m2 )/k. Si ha quindi
r
r
r
m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2
x 1 ≤ v0
=⇒
µS g ≤ v0
=⇒ v0 ≥ µS g
= 1.44 m/s
(4)
k
k
k
k
Problema 2:
Quesito 2.1 Nell’urto della sbarretta contro il piolo non si conserva la quantità di moto in quanto il piolo esercita una
forza esterna sulla sbarretta. Si conserva invece il momento angolare rispetto al piolo perchè il momento di tale
forza rispetto al√piolo è √
nullo. Le due masse cadono sotto l’azione della gravità e subito prima dell’urto hanno una
velocità pari a 2gh = gL. Considerando che il momento di inerzia del sistema rispetto al centro della sbarretta
è I0 = (m1 + m2 )(L/2)2 e imponendo la conservazione del momento angolare si ottiene:
r
√
Lp
2 g
(m1 − m2 ) gL
(m1 − m2 )
=
= 4.18 rad/s
(5)
gL = I0 ω0 =⇒ ω0 =
2
(m1 + m2 )(L/2)
3 L
Quesito 2.2 Nel moto successivo si conserva l’energia in quanto la gravità è conservativa e la forza del piolo non compie
lavoro. Quindi
1
1
L
L
I0 ω02 = I0 ω12 + m2 g − m1 g
(6)
2
2
2
2
da cui, sostituendo i valori trovati in precedenza
s
r
4 g
(m1 − m2 )(L/2)g
2
ω1 = ω0 +
=
= 8.35 rad/s
(7)
(1/2)(m1 + m2 )(L/2)2
3 L
Quesito 2.3 La risultante delle forze dovrà essere uguale alla forza centripeta. Detta Ry la reazione verticale del piolo
(quella orizzontale è nulla) si ha
Ry − m1 g − m2 g = (m1 ω12
L
L
− m2 ω12 )
2
2
=⇒
Ry = (m1 − m2 )ω12
L
35
+ (m1 + m2 )g =
m1 g = 95.35 N
2
18
(8)
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3:
Quesito 3.1 Il gas assorbe calore nei tratti AB e BC in quanto in entrambi aumenta la temperatura ed il volume, per
cui dQ = dU + pdV sarà positivo. Cede invece calore in CD e DA. Nel tratto AB si ha
1
4p0 V0 − p0 V0
3
QAB = ∆UAB + WAB = ncV (TB − TA ) + V0 (p0 + p0 ) = ncV
+ p0 V0 = 6p0 V0 = 2272 J
2
nR
2
(9)
dove si è calcolato il lavoro dall’area sotto il segmento AB. Nel tratto BC la pressione è costante per cui
QBC = ncP (TC − TB ) = ncP
10p0 V0 − 4p0 V0
= 15p0 V0 = 5681 J
nR
(10)
(11)
Il calore assorbito totale sarà quindi
QASS = QAB + QBC =
6
cV
3
cP
+3
+
R
R
2
p0 V0 =
9
cV
15
+
R
2
p0 V0 = 21p0 V0 = 7954 J
Quesito 3.2 Il rendimento è definito da η = W/QASS . Il lavoro totale è l’area del parallelogramma ABCD:
η=
(4V0 − V0 )(2p0 − p0 )
3
=
= 14.3%
21p0 V0
21
(12)
Quesito 3.3 La variazione di entropia si puó calcolare osservando che TB = TD . Si puó quindi considerare una
trasformazione isoterma che congiunge i due punti:
Z VD
Z VD
Z D
pdV
nRdV
VD
p0 V0
dQ
=
=
= nR ln
=
ln 2 = 1.31 J/k
(13)
∆SBD =
T
T
V
V
TA
B
VB
VB
B
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 4:
Quesito 4.1 Attraverso spira si ha un flusso del campo magnetico che varia con l’angolo che questa forma con campo.
Prendendo il versore dell’area della spira uscente dal foglio nella posizione inziale, l’angolo tra la spira ed il campo
magnetico in funzione del tempo, vale θ = ωt − π/2. Chiamati a = AB e b = BC le lunghezze dei due lati della
spira, si ha che il flusso vale: Φ = abBcos(θ) = abBcos(ωt − π/2) La forza elettromotrice indotta è data da:
Vind = −
dΦ
= abωB sin(ωt − π/2)
dt
(14)
Per t = 0 si ha Vind = −abωB = −154 mV
Quesito 4.2 Iind (t) = Vind (t)/R = abωB sin(ωt−π/2)/R. Poiché la spira ruota con velocità angolare costante, l’operatore applica un momento della forza sulla spira uguale ed opposto a quello indotto dal campo magnetico, ~τop = −~τind ,
~ = −Iind (t)abB sin(ωt − π/2)ẑ, avendo indicato con ẑ il versore diretto verso l’alto lungo l’asse di
con ~τind = µ
~ ×B
rotazione. Si ottiene quindi
(abB)2 ω sin2 (ωt − π/2)
~τop =
ẑ
(15)
R
Al tempo t = 0 vale τop = (abB)2 ω/R = 4.5 × 10−4 N · m
Quesito 4.3 La potenza dissipata in funzione del tempo può essere calcolata in due modi diversi: P = I 2 R = τ ω. In
entrambi i casi si ottiene:
(abB)2 ω 2 sin2 (ωt − π/2)
P (t) =
(16)
R
RT
. L’energia è l’integrale della potenza: E = 0 P (t)dt. L’unico termine che dipende dal tempo è il sin2 (ωt) il cui
integrale su un periodo dà:
Z T
Z T
1 − cos(2ωt)
T
π
sin2 (ωt)dt =
dt =
=
(17)
2
2
ω
0
0
da cui
E=
Z
0
T
(abB)2 ω 2 sin2 (ωt − π/2)
(abB)2 πω
dt =
= 1.4 mJ
R
R
(18)
Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti)
A.A. 2011/12
Appello del
14/02/2012.
• Tempo a disposizione: 2h30. Scrivere solamente su fogli forniti
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate. 3 punti di bonus per
la chiarezza espositiva.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg · s) RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.97 × 1024 kg, R = 8.31 J/mol · K.
Problema 1:
Un cilindro di massa M = 10.2 kg e raggio R = 0.18 m rotola senza strisciare
su un piano inclinato di π/6 rispetto all’ orizzontale. Al centro del cilindro è
attaccata una corda che trascina un blocco di massa m = 2.6 kg. La corda è di
massa trascurabile e, in tensione, parallela al piano inclinato. Il coefficiente di
attrito dinamico tra blocco e piano inclinato sia µd = 0.8.
θ
Quesito 1.1 Determinare l’accelerazione del cilindro.
Quesito 1.2 Calcolare la tensione della fune.
Quesito 1.3 Trovare la velocitá angolare del cilindro dopo che, partendo da fermo, ha percorso un tratto d = 2 m lungo
il piano inclinato.
Problema 2:
Un blocco di massa M = 10.5 Kg poggia su un piano orizzontale liscio. Il blocco
è collegato ad una parete verticale attraverso due molle unite una di seguito
all’altra. Le molle hanno rispettivamente costante elastica k1 = 1150 N/m e
k2 = 820 N/m e lunghezze a riposo l1 = 1 m e l2 = 2 m. All’istante t = 0 il
blocco si trova in quiete a distanza l1 + l2 dalla parete. In questo istante un
proiettile di massa m = 0.1 Kg e velocitá v0 = 298 m/s colpisce il blocco nella
direzione di compressione delle molle e si conficca in esso.
v0
M k1
k2
Quesito 2.1 Trovare la velocità massima del blocco nel moto successivo al conficcamento del proiettile.
Quesito 2.2 Trovare lo spostamento massimo del blocco rispetto alla posizione iniziale.
Quesito 2.3 Calcolare la frequenza di oscillazione del blocco nel moto successivo.
Problema 3:
Una corda omogenea di lunghezza L = 4.0 m e massa M = 800 g è tesa tra
un oscillatore meccanico ed una molla di costante elastica kM = 1000 N/m e
lunghezza a riposo nulla. La corda viene tesa in modo che la lunghezza della
molla sia xM = 50 cm. L’oscillatore impartisce alla corda vibrazioni trasversali
sinusoidali di frequenza f = 100 Hz ed è in funzione da un tempo sufficientemente lungo per cui l’intera lunghezza della corda è interessata dalle vibrazioni.
Si consideri che la molla assorba completamente l’onda che la colpisce e che non
vi sia nessuna riflessione.
L, M
k
Quesito 3.1 Calcolare la velocità di propagazione dell’onda sulla corda.
Quesito 3.2 Considerando che per t = 0 l’oscillatore abbia spostamento nullo calcolare la minima distanze dall’oscillatore
per cui lo spostamento della corda è nullo a t = t0 = 15 ms.
Quesito 3.3 Calcolare l’ampiezza di oscillazione se la potenza erogata dall’oscillatore meccanico è pari a W = 15 W.
Soluzioni
Problema 1:
Quesito 1.1 Prendiamo un sistema di riferimento con asse x parallelo al piano e asse y ortogonale al precedente e
orientato verso l’alto e scriviamo le equazione cardinali per il cilindro ed il blocco; per il cilindro si ha
M ax
M ay
Iα
= M g sin θ − T − FS
= −M g cos θ + NC = 0
= −M gR sin θ + T R
(1)
(I = M R2 /2 + M R2 ) mentre per il blocco otteniamo
max
may
=
=
mg sin θ + T − FD
−mg cos θ + NB = 0.
(2)
Dalla seconda delle 2 si ottiene
FD = µd mg cos θ
(3)
e, osservando che si tratta di un moto di puro rotolamento, e che quindi, con le convezioni scelte, si ha
αR = −ax
(4)
si puó ricavare ax usando l’ultima delle (1) e la prima delle (2), ovvero
3
− M Rax
2
max
= −M gR sin θ + T R
= mg sin θ + T − µd mg cos θ
(5)
da cui, eliminando T , si ricava facilmente
ax =
2g
((m + M ) sin θ − µd m cos θ) = 2.52 m/s2
2m + 3M
(6)
Quesito 1.2 Sfruttando il risultato precedente per l’accelerazione, dalla prima delle (5), si ottiene subito
T =
mM g
(3µd cos θ − sin θ) = 11.46 N
2m + 3M
(7)
Quesito 1.3 Per calcolare la velocitá angolare del cilindro possiamo utilizzare il teorema delle forze vive; avremo quindi
che la variazione di energia cinetica del sistema coincide con la somma dei lavori di tutte le forze agenti sul sistema,
ovvero
1
1
1
Kf − Ki = mvb2 + M vc2 + IG ω 2 = (m + M )gd sin θ − µd mg cos θd
(8)
2
2
2
e osservando che si tratta di un moto di puro rotolamento e che vc = vb
1
3
(m + M )ω 2 R2 = ((m + M ) sin θ − µd m cos θ)gd
2
2
da cui
2
ω=−
R
r
(m + M )gd sin θ − µd mgd cos θ
= 17.63 rad/s
2m + 3M
(9)
(10)
Problema 2:
Quesito 2.1 Il blocco avrà la massima velocità nell’istante immediatamente successivo a quello in cui il proiettile si è
conficcato nello stesso, in quanto successivamente viene decelerato dal sistema di molle. Per calcolare tale velocitá
si puó sfruttare la conservazione della quantitá di moto in quanto sul sistema blocco+proiettile non agiscono forze
esterne impulsive in direzione orizzontale. Si ricava quindi facilmente
mv0 = (m + M )vf
=⇒
vf = v0
m
= 2.81 m/s.
m+M
(11)
Quesito 2.2 Per calcolare il massimo scostamento dalla posizione di equilibrio possiamo usare la conservazione dell’energia meccanica del sistema massa piú proiettile nel moto successivo all’urto. Schematizzando il sistema delle due
molle come una molla di costante elastica k avremo quindi
1
1 2
kxmax = (m + M )vf2 .
2
2
(12)
Rimane dunque da calcolare la costante elastica equivalente del sistema di due molle; ció puó essere fatto immaginando di applicare una forza esterna F alle molle e osservando che istante per istante devono valere le seguenti
relazioni, dove le x sono gli allungamenti delle molle (non le loro lunghezze complessive)
−k1 x1 = F
−k2 x2 = F
−kx = F
(13)
Poiché l’allungamento totale è uguale alla somma degli allungamenti si avrà:
−
F
F
F
= x = x1 + x2 = − −
k
k1
k2
da cui si ricava
k=
che inserita nella (12) dà xmax = vf
q
m+M
k
=⇒
1
1
1
=
+
k
k1
k2
k1 k2
= 478.7 N/m
k1 + k2
(14)
(15)
= 41.8 cm
Quesito 2.3 Dato che il sistema delle due molle é equivalente in tutto e per tutto ad una molla di lunghezza a riposo
l1 + l2 e costante elastica k come calcolata al punto precedente, avremo che
r
r
k
ω
1
k
ω=
=⇒ f =
=
= 1.07 Hz
(16)
m+M
2π
2π m + M
Problema 3:
p
Quesito 3.1 La velocità di un’onda trasversale su una corda tesa è T /µ dove T è la tensione e µ la densità lineare di
massa della corda. La tensione è dovuta alla molla T = kM xM = 500 N. La densità lineare è µ = M/L = 0.2 kg/m,
da cui v = 50 m/s.
Quesito 3.2 L’equazione d’onda è data da y = A sin(ωt − kx) dove ω = 2πf e k = ω/v. Il segno meno indica che l’onda
si propaga verso destra. Alla posizione dell’oscillatore (x = 0) lo spostamento a t = 0 è nullo come richiesto. Se nel
punto x c’è spostamento nullo per t = t0 sarà A sin(ωt0 − kx) = 0 cioè ωt0 − kx = nπ con n intero relativo, da cui
x=
ω
nπ
λ
t0 −
= vt0 − n
k
k
2
(17)
dove λ = 2π/k = v/f = 0.50 m è la lunghezza d’onda. Poichévt0 = 75 cm, si ha che per n = 3 la distanza minima
è x = 0. Il successivo punto è x = 25 cm. Se invece fosse stato t0 = 8 ms (come era nelle intenzioni), si sarebbe
ottenuto il minimo valore positivo di x per n = 1, con x = 40 cm − 25 cm = 15 cm
Quesito 3.3 La potenza è data da P = 12 µv(ωA)2 dove A è l’ampiezza. Si ottiene quindi
1
A=
2πf
s
2P
= 2.76 mm
µv
(18)
Cognome
Nome
Numero di matricola
Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti)
A.A. 2011/12
Appello del
16/04/2012.
• Tempo a disposizione: 2h30. Scrivere solamente su fogli forniti
• Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate. 3 punti di bonus per la chiarezza
espositiva.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg · s) RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.97 × 1024 kg, R = 8.31 J/mol · K.
m2
Problema 1:
Due masse puntiformi m1 = 300 g e m2 = 3m1 sono collegate da una sbarra rigida di lunghezza
L = 60 cm e massa trascurabile. La sbarra è incernierata senza attrito ad un asse orizzontale passante
per il suo centro e perpendicolare alla sbarra stessa. Inizialmente la massa m2 si trova in verticale sopra
la massa m1 . Sotto l’azione di una piccola spinta il sistema si mette a ruotare. Si consideri il momento
in cui la massa m2 si trova nella posizione piú bassa.
L
O
m1
Quesito 1.1 Calcolare la velocità angolare della sbarra.
Quesito 1.2 Calcolare la reazione vincolare verticale Ry che la cerniera esercita sulla sbarra.
Quesito 1.3 Cocco Bill spara un proiettile di massa mp = 10 g orizzontalmente verso la massa m2 . Il proiettile si conficca
nella massa m2 e ferma completamente la rotazione. Calcolare la velocià del proiettile.
Problema 2:
Un satellite di massa 850 kg si trova su un’orbita circolare intorno alla terra con periodo T = 12ore.
Quesito 2.1 Calcolare la velocità v0 del satellite.
Quesito 2.2 Il satellite esplode in due frammenti di massa uguale. Il primo frammento ha la velocità diretta radialmente
verso il centro della terra e pari a v0 . Calcolare differenza di energia cinetica tra il sistema costituito dai due
frammenti dopo l’esplosione ed il satellite prima dell’esplosione.
Quesito 2.3 Calcolare la velocità v1 con cui il primo frammento tocca la superficie terrestre (trascurando la resistenza
dell’aria).
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3:
Due moli di gas perfetto monoatomico compiono il ciclo ABCDA, dove: A=(V0 , P0 ), B=(V0 , 2P0 ), C=(2V0 , 3P0 ),
D=(3V0 , 3P0 ) con P0 = 1.5 atm e V0 = 5 L. Tutte le trasformazioni sono reversibili e sono rette nel piano pV .
Quesito 3.1 Si dica quanto vale il lavoro totale Ltot fatto dal gas in un ciclo completo.
Quesito 3.2 Si calcoli l’efficienza del ciclo.
Quesito 3.3 Si calcoli la variazione di entropia del gas nel passare dal punto D al punto A.
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 4:
Un cilindro conduttore pieno di altezza h=1.2m e raggio a=0.8cm ha una carica totale Q1 =3nC. E’ circondato da
un guscio cilindrico di spessore trascurabile di raggio b = 4a con carica Q2 =7nC. Si consideri valida la condizione
h >> a.
Quesito 4.1 Calcolare il campo elettrico in funzione del raggio in tutto lo spazio. Determinarlo numericamente per
r = 2a.
Quesito 4.2 Calcolare la differenza di potenziale tra i due conduttori.
Quesito 4.3 I due cilindri vengono collegati attraverso un filo conduttore. Determinare, all’equilibrio elettrostatico, la
carica sull’armatura esterna.
Soluzioni
Problema 1:
Quesito 1.1 Durante la rotazione l’energia si conserva perché non ci sono forze esterne non conservative. Ponendo lo
zero dell’energia potenziale all’altezza del perno:
m2 g
con I = m1
L 2
2
+ m2
L 2
2
L
L
L 1
L
− m1 g = m1 g − m2 g + Iω 2
2
2
2
2
2
= m1 L2 = 0.108 Kg m2 . Sostituendo si ottiene:
r
g
ω=2
= 8.09 rad−1
L
Quesito 1.2 Consideriamo il sistema delle sferette più la sbarra, il suo centro di massa si trova:
ycm =
L
m1 L/2 − m2 L/2
=−
m1 + m2
4
Il centro di massa fa un moto circolare e le forze esterne applicate sono Ry , P1 = m1 g e P2 = m2 g, per cui:
Ry − P1 − P2 = (m1 + m2 ) ω 2 L/4
⇒
Ry = 8m1 g = 23.5 N
Quesito 1.3 Nell’urto si conserva il momento angolare. Il momento angolare del proiettile prima dell’urto vale mp vL/2
mentre quello del sistema sferette più sbarra vale Iω ed è diretto nel verso opposto. Dopo l’urto il momento angolare
è nullo, per cui:
L
2m1
mp v − Iω = 0 ⇒ v =
Lω = 291.2 m/s
2
mp
Problema 2:
Quesito 2.1 Per un moto circolare si ha che:
2πR
,
T
dove R è il raggio dell’orbita (non il raggio della Terra). Per trovare R si impone che la forza gravitazionale sia
uguale a quella centripeta:
v02
MT G
GMT m
=
m
⇒
R=
.
2
R
R
v02
Sostituendo R nella prima equazione:
r
2π MT G
2πMT G
3
v0 =
= 3871 m/s
⇒
v0 =
T v02
T
v0 =
Notare che la costante gravitazionale G è legata a g dalla relazione g =
Dalla prima equazione si ricava anche R = 26.6 106 m.
MT G
2 .
RT
Quesito 2.2 Per trovare la velocità vf del secondo frammento si impone la conservazione della quantità di moto nell’esplosione. Infatti l’unica forza esterna è la forza gravitazionale che non è impulsiva. Scriviamo la conservazione
della quantità di moto lungo la direzione tangenziale (x) e quella radiale (y) dell’orbita:
m
mv0 = vf,x
lungo x
2
m
m
0 = vf,y − v0
lungo y.
2
2
Si ricavano quindi le componenti di vf e si calcola il modulo:
q
q
√
2
2
vf = vf,x + vf,y = v02 + (2v0 )2 = 5v0 .
La differenza di energia cinetica vale:
1m 2 1m 2
1
∆E =
v0 +
vf − mv02 = mv02 = 1.27 1010 J
2 2
2 2
2
Quesito 2.3 Durante la caduta del frammento si conserva l’energia meccanica:
s
1 m 2 mMT G
1 m 2 mMT G
1
1
v0 −
=
v1 −
⇒
v1 = v02 + 4MT G
−
= 14351 m/s
2 2
R
2 2
RT
RT
R
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3:
Il ciclo proposto consiste di una trasformazione isocora seguita da una trasformazione per cui P = kV da una isobara e
da un’altra trasformazione descritta da P = kV ed è rappresentata da un trapezio nel piano V, P .
Quesito 3.1 Il lavoro può essere ottenuto facilmente come area del trapezio suddetto e calcolata, in pratica, sottraendo
dall’area del triangolo ((V0 , P0 ), (V0 , 3P0 ), (3V0 , P0 )) l’area del triangolo di coordinate ((V0 , 2P0 ), (V0 , 3P0 ), (2V0 , 3P0 )).
Quindi
1
3
1
(1)
L = (2V0 )(2P0 ) − V0 P0 = V0 P0 = 1136J.
2
2
2
Notare che il lavoro fatto dal gas è positivo.
Quesito 3.2 L’efficienza può essere calcolata come η = Ltot /Qass , e, poiché abbiamo già calcolato Ltot manca solo
Qass ; a questo punto è possibile procedere in due modi: o si calcola il calore assorbito nei primi 3 tratti della
trasformazione o più semplicemente si osserva che Qtot = Ltot in un ciclo e si calcola il calore ceduto nell’ultimo
tratto DA: Qced = |QDA | da cui Qass = Ltot + Qced . Procedendo in quest’ultimo modo, dato che P = kV nel tratto
AD dove k = P0 /V0 si ha
Z VA
Z VA
QDA = ∆UDA + LDA = ncv (TA − TD ) +
P dV = ncv (TA − TD ) + k
V dV =
(2)
VD
=
VD
P0 1 2
3
(P0 V0 − 9P0 V0 ) +
(V − (3V0 )2 ) = −16P0 V0
2
V0 2 0
(3)
dove con LDA si è indicato il lavoro fatto dal gas. Quindi
η=
3
Ltot
3/2
Ltot
=
= 0.086
=
=
Qass
Ltot + Qced
3/2 + 16
35
(4)
ovvero il ciclo ha un’efficienza del 8.6%.
Quesito 3.3 La variazione di entropia per un gas perfetto monoatomico nella trasformazione da D ad A si può scrivere
come:
∆SDA = ncV log
TA
VA
3
P0 V 0
V0
+ nR log
= nR log
+ nR log
= −4nR log 3 = −73.04 J/K.
TD
VD
2
9P0 V0
3V0
(5)
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 4:
Quesito 4.1 Per r < a il campo elettrico è nullo in quanto il cilindro è un conduttore. Per a < r < b il campo è generato
dalla carica presente sul cilindro interno. Utilizziamo il teorema di Gauss e prendiamo come superficie per il calcolo
del flusso un cilindro di altezza h coassiale con i due conduttori che sia compreso tra di essi. Vale:
E · 2πrh =
Q1
ε0
⇒
E=
Q1
.
2πε0 hr
Per r = 2a < b si ha:
Q1
= 2810 V/m
4πε0 ha
Per r > b si utilizza il teorema di Gauss come sopra, prendendo come superficie un cilindro che contiene entrambi i
conduttori e si trova:
Q1 + Q2
E=
.
2πε0 hr
E=
Quesito 4.2 La
R differenza di potenziale si trova a partire dal campo elettrico secondo la formula:
∆V = − Edr. Nel nostro caso E è quello calcolato per a < r < b, quindi:
Z b
Q1
Q1
Q1
∆V = −
dr = −
ln (b/a) = −
ln(4) = −62.3 V
2πε0 h
2πε0 h
a 2πε0 hr
Quesito 4.3 All’equilibrio elettrostatico non scorre corrente tra i due conduttori e quindi ∆V è nullo. Questo accade
quando sul conduttore interno non è più presente carica (vedi risposta al quesito precedente) che si sarà quindi
spostata sotto forma di corrente sul conduttore esterno, per cui:
Q2F = Q1 + Q2 = 10 nC
Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Chimica (Prof. F. Forti)
A.A. 2011/12
Appello del
6/6/2012.
• Tempo a disposizione: 2h30. Scrivere solamente su fogli forniti
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate. 3 punti di bonus per
la chiarezza espositiva.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg · s) RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.97 × 1024 kg, R = 8.31 J/mol · K.
Problema 1:
Un blocchetto di massa m1 = 1 kg può scendere all’interno di un tubo liscio
piegato ad L di massa m2 = 5m1 appoggiato su di un piano orizzontale lungo
il quale si può muovere senza attrito. Sullo stesso piano, dal lato in cui il
cui blocchetto fuoriesce dal tubo, è fissata una molla di costante elastica k =
0.12 kN/m e lunghezza a riposo L0 . Inizialmente tutte le masse sono in quiete
e la massa m1 viene lasciata cadere nel tubo da un’altezza h = 80 cm.
h
Quesito 1.1 Trovare la velocità con cui il blocchetto m1 fuoriesce dal tubo.
Quesito 1.2 Il blocchetto comprime la molla. Determinare la massima compressione della molla e quanto tempo
intercorre tra quando il blocchetto tocca la molla a quando raggiunge la massima compressione.
Quesito 1.3 Successivamente il blocchetto, spinto dalla molla si muoverà nella stessa direzione del tubo. Dire se riuscirà
a raggiungere il tubo ed in caso affermativo determinare che altezza raggiungerà all’interno del tratto verticale del
tubo.
Problema 2:
Un cilindro omogeneo di raggio R = 20 cm e massa M = 5 kg appoggiato su
un piano orizzontale viene accelerato da una forza F = M g applicata ad un
una fune avvolta attorno ad un tamburo di raggio b = R/2 solidale e coassiale
con il cilindro. Il tamburo ha massa trascurabile. La fune forma un angolo
θ = 45◦ con il piano orizzontale. Il coefficiente di attrito statico tra il cilindro
ed il piano è sufficiente perché il cilindro rotoli senza strisciare.
Quesito 2.1 Determinare l’accelerazione aCM del centro di massa del cilindro.
Quesito 2.2 Determinare modulo e verso della forza di attrito FS esercitata dal pavimento sul cilindro.
Quesito 2.3 Determinare il minimo coefficiente di attrito µs per cui il cilindro rotola senza strisciare.
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3:
Il funzionamento di un comune motore diesel puó essere schematizzato con il
seguente ciclo termodinamico: una compressione adiabatica AB seguita da una
trasformazione isobara BC in cui il sistema assorbe calore dalla combustione,
una espansione adiabatica CD e una trasformazione isocora DA durante la
quale il sistema cede calore all’esterno. Si supponga che tale ciclo venga eseguito
con gas perfetto biatomico e che VA = 0.5 `, pA = 1 atm, TA = 300 K. Sia
inoltre VB /VA = 1/20, VC /VA = 1/12 e PD = 2.045 atm.
Nota: nel testo assegnato in aula la pressione PD era erroneamente indicata
come PD = 2.045 atm. Essendo un dato ridondante e derivabile dagli altri dati
del problema, la risposta numerica dipendeva da quali dati si utilizzavano.
Quesito 3.1 Si calcoli il calore assorbito nel tratto BC.
Quesito 3.2 Si calcoli il rendimento del ciclo.
Quesito 3.3 Supponendo che il ciclo venga ripetuto 2000 volte al minuto si calcoli la potenza del motore.
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 4:
Un lungo solenoide con densità di spire n = 17.0 spire/cm e raggio a = 3.80 cm
è percorso da una corrente I(t) = Imax cos ωt, con Imax = 4.90 A e ω/2π =
f = 0.820 kHz. Attorno al solenoide, e coassiale con esso, è posta una spira di
raggio 2a e resistenza R = 7.40 Ω.
Quesito 4.1 Determinare il massimo campo magnetico sull’asse del solenoide.
Quesito 4.2 Determinare la massima corrente che scorre nella spira.
Quesito 4.3 Determinare la potenza media P dissipata nella spira in un periodo di oscillazione T = 1/f . (Può essere
utile ricordare l’dentità trigonometrica sin2 φ = (1 − cos 2φ)/2)
Soluzioni
Problema 1:
Quesito 1.1 Poiché tutte le forze esterne agenti dal sistema costituito dal tubo e dal blocchetto sono verticali e non ci
sono forze non conservative, durante la caduta del blocchetto si conservano sia l’energia meccanica che la componente
orizzontale della quantità di moto del sistema. Considerando come istante iniziale quello in cui il blocchetto comincia
a cadere e come istante finale quello in cui esce dal tubo abbiamo quindi che:
m1 v1 + m2 v2
1
1
m1 v12 + m2 v22
2
2
=
0
= m1 gh.
(1)
(2)
Ricavando la velocitàdel tubo dalla prima equazione v2 = −(m1 /m2 )v1 e sostituendo nella seconda
1
1 m21 2
m1 v12 +
v = m1 gh
2
2 m2 1
da cui
v1 =
s
2gh
=
1 + m1 /m2
r
(3)
5
gh = 3.62 m/s.
3
(4)
Considerando l’asse delle x diretto verso destra, i segni saranno v1 > 0 e v2 < 0
Quesito 1.2 La massima compressione della molla si ha in corrispondenza dell’istante in cui il blocchetto ha velocitá
nulla; poiché, come nel caso precedente sul sistema molla+blocchetto non agiscono forze dissipative si ha che
1
1
m1 v12 = k∆x2
2
2
da cui
(5)
r
m1 v12
= 33 cm.
(6)
k
Dal momento in cui il blocchetto colpisce la molla e la massima compressione il sistema compie un quarto di
oscillazione, quindi
r
π
π m1
∆t = T /4 =
=
= 0.14 s.
(7)
2ω
2
k
p
dove ω = k/m1 è la pulsazione delle oscillazioni della massa m1
∆x =
Quesito 1.3 La massa m1 lascia la molla con la stessa velocit‘a in modulo, ma segno opposto v10 = −v1 . Poiché
|v10 | > |v2 | = |v1 |/5 la massa raggiungerà il tubo, che si muove piú lentamente. Per determinare quale altezza
raggiungerà il blocchetto nel tubo possiamo ragionare in maniera analoga ed inversa a quanto fatto nel punto 1.
Sfruttiamo quindi la conservazione della componente longitudinale della quantitá di moto e dell’energia meccanica
considerando come istante iniziale quello in cui il blocchetto entra nel tubo e come istante finale quello in cui
raggiunge la massima altezza.
m1 v10 + m2 v2
1
1
m1 v102 + m2 v22
2
2
=
(m1 + m2 )vf
1
=
(m1 + m2 )vf2 + m1 gh0
2
(8)
(9)
dalla prima si ha
vf =
2m1 v1
1
−m1 v1 + m2 (−m1 /m2 )v1
=−
= − v1 .
m1 + m2
m1 + m2
3
(10)
Si può osservare che il primo membro della seconda equazione è lo stesso della eq (1), per cui sostituendo si ha
1
(m1 + m2 )vf2 + m1 gh0
2
(11)
1 m1 + m2 v12
v2
4
= h − 1 = h = 35.5 cm.
2 m1 g
9
3g
9
(12)
m1 gh =
da cui
h0 = h −
Problema 2:
Quesito 2.1 Scriviamo la prima e la seconda equazione cardinale per il cilindro. Prendendo un sistema di riferimento
con l’asse x orizzontale ed orientato verso destra e l’asse y verticale, ed orientando la rotazione positiva in senso
antiorario, si ha, indicando per brevità con a l’accelerazione del centro di massa del cilindro,
M ax
M ay
Iα
=
=
=
F cos θ + Fs
N − M g + F sin θ
Fs R − F R/2,
(13)
dove il momento delle forze è calcolato rispetto al centro di massa del cilindro. Possiamo ricavare Fs dalla prima
equazione e, tenuto conto che I = 1/2M R2 e che, poiché il cilindro rotola senza strisciare, α = −ax /R nel sistema
di riferimento scelto, sostituendo nella terza equazione si ottiene
ovvero
1
F
− M ax = M ax − F cos θ −
2
2
√
g
g( 2 + 1)
F
(2 cos θ + 1) = (2 cos θ + 1) =
= 7.894 m/s2 .
ax =
3M
3
3
(14)
(15)
Quesito 2.2 Sfruttando l’equazione ottenuta al punto precedente
M ax = Fs + F cos θ
(16)
√
2− 2
= 4, 79 N
Fs = M ax − F cos θ = M g
6
(17)
e sostituendo per ax si vede facilmente che
positiva e dunque diretta nel verso del moto.
Quesito 2.3 Poiché Fs ≤ µs R il minimo µs è quello per il quale vale l’uguaglianza, ovvero
µs,min =
Fs
R
(18)
R puó essere ricavato dalla seconda delle (13), imponendo la condizione di equilibrio per la componente verticale
dell’accelerazione
0 = N − M g + F sin θ
(19)
da cui
√
2− 2
N = M g(1 − sin θ) = M g
2
e
√
µs,min =
M g 2−6
√
2
M g 2−2 2
=
1
= 0.33.
3
(20)
(21)
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3:
Quesito 3.1 Trattandosi di una isobara si ha, per definizione,
QBC = ncP (TC − TB )
(22)
dobbiamo quindi calcolare TB e TC ; poiché AB è adiabatica si ha
TA VAγ−1 = TB VBγ−1
cove si è utilizzato γ = cP /cv =
7/2
5/2
=⇒
TB = TA (
VA γ−1
)
= 994.3 K,
VB
(23)
= 7/5 per un gas biatomico. BC d’altra parte é isobara, quindi
TB /VB = TC /VC
=⇒
TC = TB
VC
= 1657 K
VA
(24)
ricaviamo infine n usando l’equazione di stato nel punto A ottenendo, in termini delle quantitá note
QBC =
PA VA TB
VC
cP (
− 1) = 391.3 J
RTA
VB
(25)
Quesito 3.2 Per definizione si ha
η=
|L|
QT OT
=
Qass
Qass
(26)
osservando poi che tutto il calore è assorbito nel tratto BC e ceduto nel tratto DA si ha
η=
QBC − |QDA |
.
QBC
(27)
Per calcolare QDA possiamo usare la relazione
ovvero, osservando che VD = VA
QDA =
QDA = ncV (TA − TD )
(28)
PD
PA VA
cV (1 −
) = −132.3 J
R
PA
(29)
da cui si ricava η = 0.66.
Quesito 3.3 Per definizione la potenza é il lavoro fornito nell’unitá di tempo, ovvero
P =
dL
dt
(30)
se il motore compie 2000 cicli al minuto significa che in un secondo fornisce una quantità lavoro pari a
L=
2000
Lciclo
60
(31)
dove
Lciclo = QAB − |QDA | = 258.9 J
(32)
quindi P = 8.6 kW.
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 4:
Quesito 4.1 Il campo magnetico generato da un solenoide lungo e sottile è approssimativamente uniforme all’interno
del solenoide e nullo all’esterno. Il valore del campo sull’asse si puó ottenere dal teorema di Ampère, scegliendo un
rettangolo con un lato sull’asse del solenoide ed un lato all’esterno del solenoide stesso. Si ottiene
B(t) = µ0 nI(t);
e per il massimo Bmax = µ0 nImax = 1.05 × 10−2 T
Quesito 4.2 La corrente indotta nella spira è data dalla legge di Faraday: V ind = −(dΦB /dt) e quindi I ind = −(dΦB /dt)/R
dove il flusso del campo magnetico è dato da ΦB = B(t) · (πa2 ) (si deve considerare solo l’area in cui è effettivamente
presente il campo magnetico). Si ottiene:
ω(πa2 )Bmax sin(ωt)
;
R
I ind (t) =
ind
e per il massimo Imax
=
2πf (πa2 )Bmax
= 33 mA
R
Quesito 4.3 La potenza dissipata nella spira in funzione del tempo è data da P (t) = V 2 /R, cioè:
P (t) =
2
ω 2 (πa2 )2 Bmax
sin2 (ωt)
= P0 sin2 (ωt),
R
con
P0 =
2
ω 2 (πa2 )2 Bmax
ind 2
= (Imax
) R = 8.14 mW.
R
Per ottenere la potenza media bisogna integrare su un periodo:
Pmed =
1
T
Z
0
T
P (t)dt =
1
T
Z
T
P0 sin2 (ωt)dt = P0
0
in quanto l’integrale del cos(2ωt) si annulla su un periodo.
1
T
Z
0
T
1 − cos(2ωt)
P0
dt =
= 4.07 mW
2
2
Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Chimica (Prof. F. Forti)
A.A. 2011/12
Appello del
26/06/2012.
• Tempo a disposizione: 2h30. Scrivere solamente su fogli forniti
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate. 3 punti di bonus per
la chiarezza espositiva.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg · s) RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.97 × 1024 kg, R = 8.31 J/mol · K.
Problema 1:
Un trasportatore sovrappone quattro casse cubiche di lato identico L = 40 cm
come mostrato in figura. Tre casse hanno la stessa massa m1 = 8 kg mentre
la quarta cassa ha massa m2 = 3m1 . Le quattro casse sono solidali tra loro e
possono essere considerate come un unico corpo rigido. Tra casse e pavimento
c’è attrito.
y
L
m2 m1 m1 m1 F
h
x
Quesito 1.1 Determinare la posizione x e y del centro di massa del sistema rispetto allo spigolo in basso a sinistra.
Quesito 1.2 Il trasportatore applica sul sistema una forza orizzontale F ad un’altezza h. Si accorge che per far strisciare
il sistema invece che ruotare bisogna che sia h < 3L/2. Determinare il coefficiente di attrito statico tra casse e
pavimento µS .
Quesito 1.3 Successivamente il trasportatore applica invece un forza F inclinata di un angolo θ rispetto all’orizzontale
allo spigolo superiore destro del sistema (nel punto (2L, 2L)). Trovare il minimo angolo θ per cui il sistema striscia
e non ruota.
Problema 2:
Un blocco di massa M = 200 g è vincolato a muoversi, in assenza di gravità su un’astronave, su una guida circolare
di raggio R = 20 cm. Al tempo t = 0 il blocco ha una velocità di modulo V0 = 4 m/s. La guida, oltre alla reazione
normale, esercita sul blocco una forza di attrito dinamico il cui coefficiente è µD = 0.1. A causa dell’attrito la
velocità diminuirà progressivamente. Si indichi con V il modulo della velocità, variabile, per t > 0.
Quesito 2.1 Trovare, in funzione di V, la reazione normale della guida e calcolarla numericamente quando V = V0 /2
Quesito 2.2 Trovare, in funzione di V, la forza di attrito e calcolarla numericamente quando V = V0 /2
Quesito 2.3 Determinare la velocità del blocco in funzione del tempo e calcolare dopo quanto tempo V = V0 /2
Problema 3:
Un cubetto di legno di lato L = 3 cm e densità ρ = 0.8 g/cm3 viene trattenuto sul fondo di
un recipiente quadrato di lato d = 2L per mezzo di un filo inestensibile di massa e sezione
trascurabile. Il recipiente è parzialmente riempito di acqua di densità ρa = 1.0 g/cm3 come
mostrato schematicamente in figura. Il livello dell’acqua nel recipiente quando il cubetto è
completamente immerso è h = 3L.
h
h/2
d
Quesito 3.1 Calcolare la tensione T del filo in condizioni di equilibrio.
Quesito 3.2 Al tempo t = 0 il filo viene tagliato. Trascurando la viscosità dell’acqua calcolare dopo quanto tempo il
lato superiore del cubetto arriverà al pelo del liquido.
Quesito 3.3 Calcolare il livello h0 del pelo del liquido quando il cubetto raggiunge la sua posizione di equilibrio di
galleggiamento.
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 4:
Si consideri il circuito in figura, con i seguenti valori dei compononenti: R1 = 22.0 Ω,
R2 = 39.0 Ω, L1 = 960 µH, V = 25.0 V.
V
Quesito 4.1 L’interruttore S è inizialmente chiuso e mantenuto chiuso per un lungo tempo. Calcolare la corrente che
scorre nell’induttanza L1 in condizioni stazionarie.
Quesito 4.2 Ad un certo istante l’interruttore S viene aperto. Calcolare dopo quanto tempo la corrente nell’induttanza
si è dimezzata.
Quesito 4.3 Sapendo che l’induttanza L1 è realizzata con un solenoide di volume D = 10 cm3 , calcolare il campo di
induzione magnetica generato all’interno del solenoide nelle condizioni stazionarie del quesito 7.
Soluzioni
Problema 1:
Quesito 1.1 Tenuto conto del fatto che il centro di massa do ognuna delle casse si trova nel relativo centro geometrico
possiamo calcolare la posizione del centro di massa del sistema separatamente per le due componenti x ed y; si ha
quindi
5m1 L
5
m1 L/2 + 2m1 3L/2 + m2 L/2
=
= L = 33.3 cm
(1)
xCM =
3m1 + 3m1
6m1
6
e
2m1 L/2 + m2 3L/2 + m1 3L/2
7m1 L
7
yCM =
=
= L = 46.7 cm.
(2)
6m1
6m 1
6
Quesito 1.2 Scriviamo la prima e la seconda equazione cardinale per il sistema prendendo come polo lo spigolo inferiore
sinistro ed imponiamo la condizione limite per cui la cassa striscia senza ribaltarsi (α = 0, ax = ay = 0, Fs = Fs,max
e la reazione del piano è applicato sullo spigolo sinistro), si ha allora
6m1 ax
6m1 ay
Iα
=
=
=
−F + FS = 0
N − 6m1 g = 0
−6m1 g5L/6 + F h = 0
(3)
dalla terza si ottiene
F = 5m1 gL/h
(4)
e dunque, sostituendo nella prima ed imponendo che FS sia massima,
µS =
5L
5
F
=
= = 0.55.
6m1 g
6h
9
(5)
Quesito 1.3 In questo caso le due equazioni cardinali con le stesse condizioni viste in precedenza ci dicono che
−F cos θ + FS = 0
N − 6m1 g − F sin θ = 0
−6m1 g5L/6 + 2LF (cos θ − sin θ) = 0
(6)
F cos θ = FS
N = 6m1 g + F sin θ
5m1 gL = 2LF (cos θ − sin θ)
(7)
da cui si ottiene
da cui, sostituendo l’espressione per N della seconda equazione nella prima
e quella per F nella terza si ha
F (cos θ − µS sin θ) = 6µS m1 g
(8)
5
(cos θ − µS sin θ) = µS (cos θ − sin θ)
12
(9)
da cui
tan θ = −
1
3
(5 − 12µS ) = → θ = 0.40 rad = 22.9◦ .
7µS
7
(10)
Problema 2:
Quesito 2.1 Si consideri un sistema di riferimento solidale al blocchetto con asse x parallelo alla guida ed asse y ortogonale
alla stessa e diretto verso il centro. La prima equazione cardinale per il blocchetto, scomposta nelle due componenti
x ed y ci dice che
M ax
M ay
= −FD
MV 2
=
=N
R
(11)
da cui N = M V 2 /R; quando V = V0 /2 si ha che
N=
M V02
= 4 N.
4R
(12)
Quesito 2.2 Poiché sappiamo inoltre che FD = µD N si ricava facilmente che, quando V = V0 /2,
FD = µD
M V02
= 0.4 N.
4R
(13)
Quesito 2.3 Per calcolare la variazione della velocità al passare del tempo osserviamo che
dV (t)
= a = −µD N
dt
(14)
e quindi
V 2 (t)
dV (t)
= a = −µD
.
dt
R
Questa equazione differenziale può essere integrata per parti
Z
V (t)
V0
ottenendo
−
dV 0
=−
V 02
Z
t
0
µD 0
dt
R
1
µD t
1
+
=−
V (t) V0
R
ovvero
V (t) =
RV0
.
µD V0 t + R
Dalla 17 si può ricavare anche l’istante in cui la velocità si dimezza, ovvero
R
2
1
t=
−
= 0.5 s.
µD V0
V0
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3:
Quesito 3.1 Prendendo l’asse y come verticale e rivolto verso l’alto, la prima equazione cardinale, all’equilibrio, ci dice
che
M ay = ρa gL3 − ρgL3 − T = 0
(20)
da cui, tenuto conto che ρa = 1000 kg/m3 ,
T = gL3 (ρH2 0 − ρ) = 5.3 · 10−2 N.
(21)
Quesito 3.2 Se il filo viene tagliato l’equazione 20 diventa
M ay = ρa gL3 − ρgL3
ovvero
ay =
ρa
g−g
ρ
da cui, usando l’equazione per il moto uniformemente accelerato y(t) = 21 ay t2 con y(t) = 3L/2, si ottiene
s
3L
t=
= 0, 19 s.
ρa
ρ g−g
(22)
(23)
(24)
Quesito 3.3 Quando il cubetto emerge la sua equazione di equilibrio sarà
M ay = ρa gV − ρgL3 = 0
(25)
dove V Ë il volume della porzione di cubo immersa, che vale
V =
ρL3
.
ρa
(26)
Tenuto conto del fatto che la porzione di recipiente occupata dal sistema acqua+cubo è data da
Vtot = d2 h0 = Va + V
(27)
e ricavando il volume dell’acqua Va dalla configurazione iniziale
Va = d2 h − L3
(28)
si trova che l’altezza dell’acqua dopo la rottura del filo è data da
h0 =
L3
ρ
d2 h − L3 + V
= h − 2 (1 − ) = 8.85 cm
2
d
d
ρa
(29)
ovvero il livello dell’acqua si Ë abbassato di 1.5 mm.
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 4:
Quesito 4.1 La serie di R2 e L1 è tenuta a potenziale costante V . Questo è un circuito RL per cui, nel caso di carica
del circuito, vale:
t
L1
V
τ=
(1 − e− τ )
= 24.6 µs
IL1 (t) =
R2
R2
Valutando l’espressione per t grandi (t → ∞):
iL1 =
V
= 0.64 A.
R2
Si può anche osservare che in condizioni stazionarie l’induttanza può essere trattata come un cortocircuito, e che
quindi la d.d.p ai capi di R2 è tutta la tensione della batteria.
Quesito 4.2 Quando il circuito viene aperto L1 si scarica sulla serie delle due resistenze:
t
τ0 =
i(t) = i(0)e− τ 0
L1
= 15.7 µs
R1 + R2
dove i(0) è la corrente che circola nel circuito quando l’interruttore viene aperto, quindi la corrente trovata al punto
V
= 0.64 A. Per trovare l’istante t a cui la corrente si dimezza:
precedente: i(0) = iL1 = R2
t
i(0)e− τ 0 = i(0)/2
⇒
t = −τ 0 ln(1/2) = 10.9 µs.
Quesito 4.3 L’energia immagazzinata dal solenoide vale E =
2
campo magnetico vale u = 12 B
µ0 , per cui:
E=Du
⇒
B=
1
2
2 LiL1
r
e la densità di energia quando è presente solo il
µ0 L
iL1 = 7 10−3 T.
D
p
Alternativamente si può osservare che l’induttanza di un solenoide vale L = µ0 n2 D da cui n = L/(µ0 D), dove
n è la densità del numero di spire. Dall’espressione del campo magnetico nel solenoide B = µ0 nIL1 si ottiene la
soluzione.
Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Chimica (Prof. F. Forti)
A.A. 2011/12
Appello del
17/07/2012.
• Tempo a disposizione: 2h30. Scrivere solamente su fogli forniti
• Modalità di risposta: scrivere la formula parametrica della risposta nello spazio grande e la risposta numerica nello
spazio piccolo. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate. 3 punti di bonus per
la chiarezza espositiva.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg · s) RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.97 × 1024 kg, R = 8.31 J/mol · K.
Problema 1:
Una sottile catena di massa m = 5.0 kg e lunghezza L = 2.0 m viene fatta passare su un piccolo
perno liscio sospeso ad un dinamometro, sotto l’azione della gravità. Sia x la lunghezza della
catena che pende a destra del perno. La catena è inizialmente posta con x = 2L/3, e velocità
nulla.
Quesito 1.1 Determinare l’accelerazione dell’estremo destro della catena in funzione di x, e
calcolarla numericamente all’istante iniziale.
Quesito 1.2 Determinare la velocità dell’estremo destro della catena in funzione di x, e calcolarla
numericamente quando x = L, cioè la catena è completamente a destra del perno.
x
Quesito 1.3 Calcolare la lettura F del dinamometro in funzione di x e trovare il suo massimo
valore nel moto di caduta della catena.
Problema 2:
Un cilindro omogeneo di massa M = 5 kg, raggio R = 15 cm si trova su un piano inclinato
che forma un angolo θ = π/6 rispetto all’orizzontale. Il cilindro è attaccato, nel suo centro,
ad una molla di costante elastica k = 150 N/m e lunghezza a riposo L0 = R il cui altro
estremo è fissato ad una staffa solidale al piano. Il coefficiente di attrito statico fra il cilindro
ed il piano vale µs = 0.8. Il cilindro viene lasciato andare da fermo nella posizione in cui la
molla ha lunghezza L0 .
R
θ
Quesito 2.1 Calcolare l’accelerazione del cilindro all’istante iniziale discutendo se striscia oppure compie un moto di
puro rotolamento.
Quesito 2.2 Calcolare la massima lunghezza della molla nel moto successivo.
Quesito 2.3 Supponendo adesso invece che il cilindro venga posto nelle vicinanze della sua posizione di equilibrio,
calcolare il periodo delle piccole oscillazioni del cilindro intorno a tale posizione.
Problema 3:
Un gas perfetto monoatomico è contenuto in un cilindro di sezione di base A = 0.1 m2 chiuso ermeticamente con pistone mobile di massa M = 5 g. Il cilindro viene posto verticalmente nel campo
gravitazionale terrestre con il pistone al di sotto del volume di gas. Le pareti del cilindro permettono
il passaggio di calore ed il pistone si muove senza attrito.
Gas
M
Ambiente
Quesito 3.1 Inizialmente il cilindro è in un ambiente a temperatura T0 = 300 K e pressione P0 = 1.0 atm. Si osserva che
il volume del gas è V0 = 1 dm3 . Calcolare il numero di moli n del gas.
Quesito 3.2 Le condizioni dell’ambiente vengono variate in modo quasi-statico: prima la temperatura viene fatta crescere
lentamente fino a raggiungere T1 = 400 K, senza variazioni della pressione dell’ambiente; successivamente si mantiene
costante la temperatura dell’ambiente e si fa crescere la pressione dell’ambiente sino al valore p1 = 1.2p0 . Calcolare
il calore totale scambiato dal gas nelle due trasformazioni, precisando se complessivamente assorbe o cede calore.
Quesito 3.3 Il gas viene riportato in modo quasi-statico alle condizioni iniziali variando prima solo la temperatura da T1
a T0 , e successivamente variando solo la pressione ambiente da p1 a p0 . Calcolare il lavoro totale svolto dall’ambiente
sul gas nelle quattro trasformazioni.
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
ρ Problema 4:
La regione di spazio 0 ≤ x ≤ d, con d = 5 cm, è riempita con una lastra
infinita di materiale isolante caricata uniformemente con una densità di carica
ρ incognita. In x = 0 è inoltre presente un piano infinito carico uniformemente
con densità di carica σ = 1 nC/m2 . All’esterno della lastra il campo elettrico è
ovunque nullo.
Quesito 4.1 Determinare la densità di carica ρ della lastra
O P x d σ Quesito 4.2 Calcolare le tre componenti del campo elettrico (Ex , Ey , Ez ) in tutto lo spazio e si riporti su un grafico
l’andamento di Ex in funzione di x per y = z = 0. Dare una valutazione numerica del campo elettrico nell’origine.
Quesito 4.3 Calcolare la differenza di potenziale tra il punto O = (0, 0, 0) ed il punto P = (d, 0, 0).
Soluzioni
Problema 1:
Quesito 1.1 Si consideri una coordinata curva che corre intorno alla catena con il verso positivo dal lato destro. Detta T
la tensione della catena nel punto in cui si appoggia al piolo si avrà, per i due tratti di catena lunghi rispettivamente
L − x e x:
T − (L − x)λg
xλg − T
= (L − x)λa
= xλa
(1)
dove λ = m/L è la densità lineare di massa della catena e a è l’accelerazione di un qualunque punto della catena
(essendo questa inestensibile è la stessa per ogni punto). Sommando le due equazioni si ottiene
2x
g
a(x) = g
−1
=⇒ a(x = 2L/3) = = 3.27 m/s2
(2)
L
3
Quesito 1.2 Poiché il piolo è liscio e la gravità è una forza conservativa, si conserva l’energia meccanica totale. Scegliendo
come riferimento del potenziale il piolo stesso si ha che
x
gλ
L−x
+ xλ
= − (L2 − 2Lx + 2x2 )
U (x) = −g (L − x)λ
(3)
2
2
2
Nella posizione iniziale vale U (2L/3) = −(5/18)mgL Dalla conservazione dell’energia si ha:
s
2
x
x2
1
2
mv + U (x) = U (2L/3) =⇒ v = 2gL
− +
2
9 L L2
Per x = L is ha
v=
r
4
gL = 2.95 m/s
9
(4)
(5)
Quesito 1.3 Il piolo è fermo mentre la catena scende, quindi la forza esercitata dal dinamometro deve equilibrare la
somma delle due tensioni dei due pezzi di catena, che sono uguali perché il piolo è liscio: F = 2T . Usando le (1) e
sostituendo il valore di a trovato in (2) si ha:
x x
T = (L − x)λg + (L − x)λa = (L − x)λ(g + a) = 2 1 −
mg
(6)
L L
Il massimo di F , o di T , si ottiene cercando lo zero della derivata rispetto a x:
dT
2mg x
x
L
=
1− −
= 0 =⇒ x =
dx
L
L L
2
(7)
Poiché peró x = L/2 non fa parte del moto in questione, che si svolge tra x = 2L/3 e x = L, il massimo della forza
sul dinamometro verrà osservata all’istante iniziale, visto che la funzione è decrescente per x > L/2. Per x = 2L/3
la forza del dinamometro è:
x x
8
F = 2T = 4 1 −
mg = mg = 43.6 N
(8)
L L
9
Problema 2:
Quesito 2.1 All’istante iniziale la molla ha una lunghezza pari alla lunghezza di riposo, per cui esercita una forza nulla.
Le forze che agiscono sono: la forza peso M g, la reazione normale del piano N , la forza di attrito statico FS .
Orientiamo l’asse x lungo il piano verso il basso, l’asse y ortogonalmente al piano, e prendiamo come positivo il
verso orario delle rotazioni. Assumiamo che il moto sia di puro rotolamento, cioé che aCM = αR. Verificheremo
successivamente se il moto sia effettivamente di puro rotolamento. Utilizziamo il punto di contatto O come polo.
Fx
Fy
τ
: M g sin θ − FS = M aCM
: N − M g cos θ = 0
: M gR sin θ = IO aCM /R
(9)
(10)
(11)
Per un cilindro omogeneo ICM = 21 M R2 e IO = ICM + M R2 = 23 M R2 che sostituito nella (11) dà:
aCM =
2
g sin θ = 3.27 m/s2 .
3
(12)
Sostituendo nella (9) si ottiene il valore della forza di attrito, da confrontare con il valore massimo:
√
?
3
1
FS = M (g sin θ − aCM ) = M g sin θ = 0.1667M g < µS N = µS M g cos θ = 0.8
M g = 0.693M g.
(13)
3
2
Come si vede la forza di attrito è minore del valore massimo, per cui il moto è effettivamente di puro rotolamento.
Quesito 2.2 Nello scendere la molla esercita una forza che rallenta il cilindro, per cui il moto sarà ancora di puro
rotolamento, e si conserva l’energia in quanto la forza di attrito non compie lavoro. Detta L1 la massima lunghezza
della molla e posto lo 0 del potenziale nel punto di aggancio della molla, avremo, considerando che il cilindro sarà
fermo nel momento di massimo allungamento della molla:
1
−M gL0 sin θ = −M gL1 sin θ + k(L1 − L0 )2
2
=⇒
L1 = L0 + 2
M g sin θ
= 50.6 cm
k
(14)
Quesito 2.3 Modifichiamo le equazioni del moto scritte al punto 1 per tener conto della molla, chiamando x la posizione
del centro di massa del cilindro rispetto alla staffa:
Fx
Fy
τ
: M g sin θ − FS − k(x − L0 ) = M aCM
: N − M g cos θ = 0
: (M g sin θ − k(x − L0 ))R = IO aCM /R
(15)
(16)
(17)
Il punto di equilibrio si ottiene ponendo aCM = o ed è xeq = L0 + M g sin θ/k. L’equazione (17) puó essere riscritta
come:
k
(x − xeq ).
(18)
aCM = −
IO /R2
Questa è l’equazione di un moto armonico la cui pulsazione è data da
r
r
k
IO
3M
2π
2
ω =
=⇒ T =
= 2π
= 2π
(19)
2
2
IO /R
ω
kR
2k
ovvero T = 1, 4 s.
Problema 3:
Quesito 3.1 Il numero di moli del gas puó essere ricavato utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti
n=
pg,0 V0
RT0
(20)
dove la pressione P si ottiene sommando il contributo della pressione atmosferica a quello del peso del pistone,
ovvero
Mg
pg,0 = p0 −
∼ po = 101, 3 kPa
(21)
A
da cui n = 0.0406 moli.
Quesito 3.2 L’innalzamento della temperaura avviene a pressione costante, quindi il calore scambiato dal gas vale
Q1 = ncP ∆T = ncP (T1 − T0 ) = 84.42 J
(22)
la seconda trasformazione, invece, è isoterma, quindi Q = Wgas ovvero
Q2 = nRT1 ln
dove pg,1 = p1 −
Mg
A ,
Vf
pg,0
= nRT1 ln
= −24.63 J
Vi
pg,1
(23)
da cui Qtot = Q1 + Q2 = 59.79 J.
Quesito 3.3 Il ciclo si compone di due trasformazioni isobare (AB e CD) e di due isoterme (BC e DA), si ha quindi
WAB = −pg,0 (VB − VA ) = −nR(T1 − T0 )
(24)
WCD = −pg,1 (VD − VC ) = −nR(T0 − T1 )
ed i due contributi si elidono; per le isoterme si ha invece
(25)
p
WBC = −nRT1 ln
VC
pg,0
= −nRT1 ln
VB
pg,1
(26)
WDA = −nRT0 ln
VA
pg,1
= −nRT0 ln
VD
pg,0
(27)
g,1
da cui Wtot = −nR(T0 − T1 ) ln pg,0
= 6.156 J.
Problema 4:
Quesito 4.1
Quesito 4.2
Quesito 4.3
Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Chimica (Prof. F. Forti)
A.A. 2011/12
Appello del
12/09/2012.
• Tempo a disposizione: 2h30. Scrivere solamente sui fogli forniti
• Modalità di risposta: spiegare sempre il procedimento seguito. Calcolare il valore numerico quando richiesto. Valore
di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le risposte errate. 3 punti di bonus per la chiarezza espositiva.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg · s) RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.97 × 1024 kg, R = 8.31 J/mol · K.
Problema 1:
Una sbarretta sottile e uniforme di massa M = 300 g e lunghezza L = 45 cm è
incernierata ad un perno orizzontale liscio posto ad L/3 dall’estremo sinistro.
L’estremo sinistro è fissato ad una molla di lunghezza a riposo nulla il cui altro
estremo è collegato ad un binario orizzontale che si trova ad una distanza L/3
sotto il perno di rotazione. Il collegamento della molla al binario puó scorrere
senza attrito in modo che la molla rimanga sempre verticale. Inizialmente il
sistema, che è soggetto alla gravità, è in equilibrio con la sbarretta orizzontale.
L/3
L/3
F
Quesito 1.1 Calcolare la costante elastica della molla.
Quesito 1.2 Successivamente viene applicata una forza F verticale all’estremo destro della sbarretta e nella nuova
posizione di equilibrio la sbarretta forma un angolo di θ = π/4 con l’orizzontale. Calcolare la forza F .
Quesito 1.3 La forza F viene rimossa istantaneamente e la sbarretta torna quindi verso l’originale posizione di equilibrio
orizzontale. Calcolare la velocità angolare ω con cui passa da tale posizione.
Problema 2:
Un ascensore di altezza h = 2.70 m inizia a muoversi verso l’alto con una accelerazione costante a = 1.5 m/s2 ,
partendo da fermo. Dopo un tempo t0 = 2.0 s un bullone mal fissato si stacca dal soffitto dell’ascensore e cade sul
pavimento.
Quesito 2.1 Calcolare il tempo di caduta del bullone.
Quesito 2.2 Calcolare lo spostamento totale del bullone nel sistema di riferimento dell’edificio dal momento in cui si
stacca a quando tocca il pavimento.
Quesito 2.3 Considerando adesso t0 come variabile, determinare per quale valore di t0 il bullone tocca il pavimento
dell’ascensore alla stessa altezza da terra a cui si era staccato dal soffitto.
p
Problema 3:
Un gas perfetto monoatomico si trova inizialmente nello stato A con VA = 2.5 m3 e pA =
1.5 atm. Compie successivamente una trasformazione quasi statica fino al punto B con
VB = 3VA e 2pB = pA lungo il segmento di retta che unisce A a B nel piano pV .
A
B
V
Quesito 3.1 Calcolare il calore assorbito dal gas nella trasformazione.
Quesito 3.2 Esprimere la temperatura assoluta del gas T (V ) in funzione del volume V lungo la trasformazione, e
calcolare il rapporto T /TA nel punto medio del segmento AB.
Quesito 3.3 Trovare il volume Vmax della trasformazione per cui la temperatura del gas è massima e calcolare in questo
punto il rapporto T /TA .
Soluzioni
Problema 1:
Quesito 1.1 Le forze in gioco sono la forza elastica applicata ad un estremo della sbarretta e la forza peso applicata al
centro di massa, con xCM = (1/2 − 1/3)L rispetto alla cerniera. Considerando i momenti rispetto alla cerniera si
ha
L
LL
L
3 Mg
L
= Mg
=⇒ k =
= 9.81 N/m
(1)
Fel − P = 0 =⇒ k
3
6
3 3
6
2 L
Quesito 1.2 Di nuovo si considerano i momenti rispetto alla cerniera. Detto θ l’angolo formato con l’orizzontale dalla
sbarretta, se un forza verticale viene applicata lungo sbarretta ad una distanza d, il braccio della forza (che è la
distanza dalla retta di azione della forza dal polo) è d cos θ. Considerando che la molla rimane sempre verticale, la
sua lunghezza nella nuova posizione è D = L/3 + L/3 sin θ. Si ottiene quindi:
L
2
1 L
Mg
M g sin θ
L
k (1 + sin θ) −
=
= 0.52 N
(2)
kD cos θ − M g cos θ − F L cos θ = 0 =⇒ F =
3
6
3
2
3
2
4
dove si è sostuito il valore per k trovato sopra.
Quesito 1.3 Nel moto della sbarretta si conserva l’energia meccanica totale, in quanto la forza di gravità e la forza
elastica sono conservative e non c’è attrito. Considerando il riferimento del potenziale gravitazionale quando la
sbarretta è orizzontale, si ottiene:
−M g
2
2
1
1
L
1 L
L
+ IO ω 2
sin θ + k
(1 + sin θ) = k
6
2
3
2
3
2
=⇒
1
M gL sin2 θ
IO ω 2 =
2
12
(3)
dove di nuovo si è sostituito il valore di k trovato nella (1). Il momento di inerzia rispetto al perno si trova con il
teorema di Steiner:
2
L
1
1
M L2 + M
= M L2
(4)
IO = ICM + M x2CM =
12
6
9
Sostituendo si ricava:
3g
2M gL sin2 θ 9
=
ω =
12
M L2
4L
2
=⇒
ω=
r
3g
= 4.04 rad/s
4L
(5)
Problema 2:
Quesito 2.1 Il bullone cade con accelerazione g, mentre l’ascensore sale con accelerazione a. L’accelerazione relativa è
aR = g + a, per cui il tempo di caduta ∆t è dato da
r
1
2h
2
=⇒ ∆t =
= 0.69 s
(6)
h = aR ∆t
2
aR
Da notare che il tempo di caduta è indipendente dal momento in cui si stacca il bullone.
Quesito 2.2 Nel sistema del’edificio al momento del distacco (che consideriamo come origine dei tempi) il bullone ha
una velocità v0 = at0 = 3.0 m/s diretta verso l’alto. Orientando l’asse delle y verso l’alto e considerando y = 0 al
momento del distacco del bullone si ha che lo spostamento del bullone dopo un tempo ∆t è:
1
1
∆y = v0 ∆t − g∆t2 = (v0 − g∆t)∆t = −0.27 m
2
2
(7)
cioè nel sistema dell’edificio il bullone tocca il pavimento circa 27 cm sotto il punto di distacco.
Quesito 2.3 Utilizzando la (7) con t0 variabile ed imponendo ∆y = 0 si ottiene
1
∆y = (at0 − g∆t)∆t = 0
2
=⇒
t0 =
1g
∆t = 2.26 s
2a
(8)
Problema 3:
Quesito 3.1 Utilizzando il primo principio della termodinamica e l’espressione dell’area del trapezio limitato dal segmento AB e l’asse orizzontale si ha:
Q = ∆U − W = ncV (TB − TA ) +
pA + pB
(VB − VA )
2
(9)
Le temperature si possono esprimere attraverso l’equazione di stato dei gas perfetti: T = pV /(nR). Inoltre considerando che per un gas monoatomico cV = (3/2)R e le relazioni tra le pressioni e volumi dei punti A e B si
ottiene
3
(3/2)pA
3
3
9
Q = (pB VB − pA VA ) +
(2VA ) =
(3/2 − 1) +
pA VA = pA VA = 8.55 × 105 J
(10)
2
2
2
2
4
Quesito 3.2 Lungo il segmento AB la pressione in funzione del volume V è data da
pB − pA
p(V ) − pA
=
V − VA
VB − VA
(11)
da cui si ottiene, sostituendo i valori di pB e VB :
p(V ) = pA −
pA
5
pA
(V − VA ) = pA −
V
4VA
4
4VA
(12)
La temperatura si ottiene dall’equazione di stato:
1
pV
=
T (V ) =
nR
nR
5
pA 2
pA V −
V
4
4VA
(13)
Nel punto medio del segmento VM = (VA + VB )/2 = 2VA che sostituito dà:
T (VM )
=
TA
5
4 pA (2VA )
−
pA
2
4VA 4VA
pA VA
=
5
3
− 1 = = 1.5
2
2
Quesito 3.3 La temperatura è massima quando la derivata dT /dV = 0. Derivando la (13) si ottiene
dT
1
5
pA
5
=
pA −
2V = 0 =⇒ Vmax = VA = 6.25 m3 .
dV
nR 4
4VA
2
(14)
(15)
In corrispondenza di questo volume la temperatura vale:
T (Vmax )
=
TA
5
5
4 pA ( 2 VA )
−
pA 25 2
4VA 4 VA
pA VA
=
25
= 1.56
16
(16)
Fisica Generale 1 per Ing. Gestionale e Civile (Prof. F. Forti)
A.A. 2011/12
Appello del
27/11/2012.
• Tempo a disposizione: 2h30. Scrivere solamente su fogli forniti
• Modalità di risposta: spiegare il procedimento seguito, determinare la risposta richiesta sulla base dei parametri
del problema, ed infine valutarla numericamente. Valore di ciascun quesito: 4 punti. Non ci sono penalità per le
risposte errate. 3 punti di bonus per la chiarezza espositiva.
• Durante la prova scritta è consentito usare solo il formulario personale, strumenti di disegno e scrittura, calcolatrice:
non è possibile utilizzare eserciziari o appunti. Il candidato dovrà restituire tutta la carta fornita dagli esaminatori:
non è consentito utilizzare fogli di carta propri per svolgere l’elaborato.
• Si assumano i seguenti valori per le costanti che compaiono nei problemi: g = 9.81 ms−2 , µ0 = 4π · 10−7 H/m,
ε0 = 8.85 · 10−12 F/m, G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg · s) RT = 6.37 × 106 m, MT = 5.97 × 1024 kg, R = 8.31 J/mol · K.
Problema 1:
Un proiettile di massa M = 2 kg, lanciato da una postazione di artiglieria, ad un certo istante esplode in due
frammenti mentre sta volando con velocità v0 = 155 m/s parallela al suolo ad un’altezza h = 60 m. Siano m1 = M/5,
m2 = 4m1 le masse dei due frammenti e v1 , v2 le loro velocità.
Quesito 1.1 Sapendo che il moto dei due frammenti si svolge nel piano verticale xy ortogonale al suolo, che l’angolo fra
v1 e l’orizzontale è di π/7 verso l’alto e che v1 = 170 m/s, si calcolino le componenti orizzontale e verticale della
velocità del secondo frammento.
Quesito 1.2 Si dica dopo quanto tempo t2 dall’esplosione il secondo frammento tocca terra.
Quesito 1.3 Si calcoli la distanza d fra i punti in cui i due frammenti toccano terra.
Problema 2:
Una puleggia di massa M = 7.5 kg, raggio R = 5.5 cm, e momento di inerzia I = (2/3)M R2 , è
incernierata ad un perno orizzontale passante per il suo centro attorno al quale può ruotare senza
attrito. Attorno alla puleggia è avvolto un filo inestensibile e privo di massa, al quale è sospesa
una massa m = (1/3)M . Il sistema è inizialmente fermo e la massa m viene lasciata cadere sotto
l’azione del campo gravitazionale. Il filo non slitta sulla puleggia. Si trascuri inizialmente la
resistenza dell’aria.
R
M
m
Quesito 2.1 Calcolare l’accelerazione della massa m
Quesito 2.2 Calcolare la velocità della massa m dopo che la puleggia ha compiuto 2 giri completi.
Quesito 2.3 Si tenga conto adesso della resistenza dell’aria, ipotizzando che sia sulla massa m, sia sul bordo della
puleggia, agisca una forza resistente di attrito viscoso pari a FV = βv con β = 5 kg/s. Calcolare la massima velocità
raggiunta dalla massa m, sempre nell’ipotesi che venga lasciata cadere da ferma.
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
p
Problema 3:
Un gas perfetto monoatomico compie il ciclo ABCD reversibile e quasistatico
con: A = (V0 , p0 ); B = (2V0 , 2p0 ); C = (5V0 , 2p0 ), D = (4V0 , p0 ). Tutte le
trasformazioni sono rappresentate da rette nel piano pV . Le condizioni del
punto A sono: V0 = 1.5 dm3 ; p0 = 2.5 atm; TA = 200 K.
B
A
C
D
V
Quesito 3.1 Dire in quali tratti il gas assorbe calore, e calcolare il calore assorbito dal gas dall’ambiente durante il ciclo.
Quesito 3.2 Calcolare il rendimento η di una macchina termica che utilizzi il ciclo ABCD
Quesito 3.3 Calcolare la variazione di entropia del gas ∆SBD tra il punto B ed il punto D.
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 4:
Una spira rettangolare di lati AB=15 cm e BC=4.5 cm e resistenza R = 1.5Ω
ruota con velocità angolare ω = 35 rad/s intorno all’asse passante per il lato
AD, in senso antiorario. La spira è immersa in un campo magnetico uniforme
B = 0.65T perpendicolare all’asse di rotazione. Al tempo t = 0 la spira si trova
nel piano del campo magnetico.
D
C
A
B
B
Quesito 4.1 Calcolare la forza elettromotrice indotta in funzione del tempo, e determinarla numericamente per t=0.
Quesito 4.2 Calcolare, in funzione del tempo, il momento della forza esercitato dall’operatore esterno per mantenere in
rotazione la spira a velocità angolare costante e determinarlo numericamente per t=0.
Quesito 4.3 Calcolare quanta energia viene dissipata nella spira in un periodo di rotazione.
T
α
A
B
Soluzioni
Problema 1:
Quesito 1.1 Per calcolare le componenti della velocità del secondo frammento possiamo usare la conservazione della
quantità di moto lungo le due direzioni, longitudinale e verticale, x̂ e ŷ
m1 v1x + m2 v2x
m1 v1y + m2 v2y
= (m1 + m2 )v0 = M v0
= 0.
(1)
Si fa notare inoltre che l’energia in generale non è conservata nel processo, in quanto l’esplosione può causare di
fatto un aumento dell’energia cinetica. Per risolvere il sistema precedente è necessario conoscere le componenti della
valocità per il primo frammento; questo può essere fatto facilmente osservando che
π
= 153.2 m/s
7
π
= v1 sin = 73.8 m/s.
7
v1x
= v1 cos
v1y
(2)
A questo punto i valori per v1x e v1y possono essere sostituiti nel primo sistema, si ottiene cosı̀
v2x
v2y
M v0 − m1 v1x
= 155.5 m/s
m2
m1 v1y
= −18.4 m/s.
= −
m2
=
(3)
Quesito 1.2 Per calcolare l’istante t2 in cui il frammento numero 2 tocca terra possiamo usare la legge oraria del moto
lungo ŷ
1
(4)
y(t) = y0 + vy0 t − gt2
2
che è un’equazione di secondo grado in t. Sostituendo gli opportuni valori per la posizione iniziale e finale e per la
velocità iniziale, ovvero
y(t2 ) = 0 m, y0 = h = 60 m e vy0 = v2y = −18.5 m/s
(5)
si può ricavare t2 dalla formula
t2 =
2vy0 ±
p
(2vy0 )2 + 8y0 g
2g
(6)
e, avendo cura di scegliere, fra le due, la soluzione positiva, si ha
t2 = 2.09 s.
(7)
Quesito 1.3 In questo caso la soluzione può essere nuovamente ottenuta facendo uso delle leggi orarie per le due
componenti dello spostamento
x(t) = x0 + vx t
y(t)
(8)
1
= y0 + vy t − gt2 .
2
Scegliendo x0 = 0 per entrambi i frammenti, si ottiene che le posizioni in cui i frammenti toccano terra sono
x1 (t1 ) = v1x t1 e x2 (t2 ) = v2x t2 . Per il frammento 2 abbiamo già tutti i dati:
x2 = v2x t2 = 325.0 m
Per il frammento 1 dobbiamo trovare t1 usando la (6) scegliendo di nuovo la soluzion positiva:
p
2v1y ± (2v1y )2 + 8hg
= 15.81 s
t1 =
2g
(9)
(10)
Sostituendo si trova quindi x1 e la distanza d:
x1 =
d =
Problema 2:
v1x t1 = 2421.7 m
x1 − x2 = 2097 m
(11)
Quesito 2.1 Sulla massa m agiscono la forza di gravità e la tensione T della fune, mentre sulla puleggia oltre alla gravità
e alla tensione −T agisce anche la reazione del perno. Scrivendo la prima equazione cardinale per la massa m e la
secondo equazione cardinale per la puleggia, scegliendo come polo il suo centro, otteniamo il sistema
ma
Iα
T − mg
−T R.
=
=
(12)
La seconda equazione sostituendo l’espressione per I ci da
T =
2M R
α
3
(13)
e poiché il filo non striscia sulla carrucola vale la relazione a = α/R, da cui
T =−
2M a
.
3
(14)
A questo punto sostituendo l’espressione (14) per T nella prima delle (12) si ha
ma +
2M a
= −mg
3
(15)
3mg
3m + 2M
(16)
ovvero
a=−
da cui, sostituendo i valori dati nel testo, a = −3.3 m/s2 .
Quesito 2.2 Dopo che la puleggia ha compiuto 2 giri la massa m è scesa complessivamente di un tratto pari a 2 volte la
circonferenza della puleggia, quindi
l = 2 · 2πR
(17)
poiché non ci sono forze non conservative agenti sul sistema la variazione di energia potenziale deve essere pari alla
variazione di energia cinetica, in formula
mgl = 4mgπR =
1
1
mv 2 + Iω 2
2
2
(18)
e, osservando nuovamente che il filo non striscia sulla puleggia e quindi ω = v/R, si ha
4πmgR =
e quindi
v2 =
1
1
mv 2 + M v 2
2
3
(19)
24πmgR
3m + 2M
(20)
cioè v = −2.1 m/s, negativa poiché il corpo scende.
Quesito 2.3 La massa m raggiunge la sua velocità limite quando smette di accelerare, ovvero quando la risultante della
forza di gravità e della forza viscosa agente sul sistema si annulla. Possiamo quindi riscrivere il sistema (12) nella
forma
0 =
0 =
−mg + T + βvmax
−T R + βvmax R
(21)
dove il segno è stato scelto in accordo al fatto che la forza viscosa si oppone al moto. La tensione si ricava dalla
seconda delle (21)
T = βvmax
(22)
e, sostituendo nella prima
vmax = −
mg
= 2.45 m/s.
2β
(23)
Solo per il corso di Fisica Generale I (270)
Problema 3:
Quesito 3.1 Il gas assorbe calore nei tratti AB e BC in quanto in entrambi aumenta la temperatura ed il volume, per
cui dQ = dU + pdV sarà positivo. Cede invece calore in CD e DA. Nel tratto AB si ha
1
4p0 V0 − p0 V0
3
QAB = ∆UAB + WAB = ncV (TB − TA ) + V0 (p0 + p0 ) = ncV
+ p0 V0 = 6p0 V0 = 2272 J
2
nR
2
(24)
dove si è calcolato il lavoro dall’area sotto il segmento AB. Nel tratto BC la pressione è costante per cui
QBC = ncP (TC − TB ) = ncP
10p0 V0 − 4p0 V0
= 15p0 V0 = 5681 J
nR
(25)
(26)
Il calore assorbito totale sarà quindi
QASS = QAB + QBC =
6
cV
3
cP
+3
+
R
R
2
p0 V0 =
9
cV
15
+
R
2
p0 V0 = 21p0 V0 = 7954 J
Quesito 3.2 Il rendimento è definito da η = W/QASS . Il lavoro totale è l’area del parallelogramma ABCD:
η=
(4V0 − V0 )(2p0 − p0 )
3
=
= 14.3%
21p0 V0
21
(27)
Quesito 3.3 La variazione di entropia si puó calcolare osservando che TB = TD . Si puó quindi considerare una
trasformazione isoterma che congiunge i due punti:
Z VD
Z VD
Z D
pdV
nRdV
VD
p0 V0
dQ
=
=
= nR ln
=
ln 2 = 1.31 J/k
(28)
∆SBD =
T
T
V
V
TA
B
VB
VB
B
Solo per il corso di Fisica Generale (509)
Problema 4:
Quesito 4.1 Attraverso spira si ha un flusso del campo magnetico che varia con l’angolo che questa forma con campo.
Prendendo il versore dell’area della spira uscente dal foglio nella posizione inziale, l’angolo tra la spira ed il campo
magnetico in funzione del tempo, vale θ = ωt − π/2. Chiamati a = AB e b = BC le lunghezze dei due lati della
spira, si ha che il flusso vale: Φ = abBcos(θ) = abBcos(ωt − π/2) La forza elettromotrice indotta è data da:
Vind = −
dΦ
= abωB sin(ωt − π/2)
dt
(29)
Per t = 0 si ha Vind = −abωB = −154 mV
Quesito 4.2 Iind (t) = Vind (t)/R = abωB sin(ωt−π/2)/R. Poiché la spira ruota con velocità angolare costante, l’operatore applica un momento della forza sulla spira uguale ed opposto a quello indotto dal campo magnetico, ~τop = −~τind ,
~ = −Iind (t)abB sin(ωt − π/2)ẑ, avendo indicato con ẑ il versore diretto verso l’alto lungo l’asse di
con ~τind = µ
~ ×B
rotazione. Si ottiene quindi
(abB)2 ω sin2 (ωt − π/2)
~τop =
ẑ
(30)
R
Al tempo t = 0 vale τop = (abB)2 ω/R = 4.5 × 10−4 N · m
Quesito 4.3 La potenza dissipata in funzione del tempo può essere calcolata in due modi diversi: P = I 2 R = τ ω. In
entrambi i casi si ottiene:
(abB)2 ω 2 sin2 (ωt − π/2)
P (t) =
(31)
R
RT
. L’energia è l’integrale della potenza: E = 0 P (t)dt. L’unico termine che dipende dal tempo è il sin2 (ωt) il cui
integrale su un periodo dà:
Z T
Z T
1 − cos(2ωt)
T
π
sin2 (ωt)dt =
dt =
=
(32)
2
2
ω
0
0
da cui
E=
Z
0
T
(abB)2 ω 2 sin2 (ωt − π/2)
(abB)2 πω
dt =
= 1.4 mJ
R
R
(33)