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Sessione 3.2
GNGTS 2013
Imaging automatico di campi di potenziale
M.A. Abbas1,2 e M. Fedi1
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Dipartimento di Scienze della Terra, Università di Napoli Federico II, Napoli, Italy
Geology Department, South Valley University, Qena, Egypt
Introduzione. Fedi (2007) ha introdotto il metodo DEXP (Depth from Extreme Points) per
stimare la profondità delle sorgenti dei campi di potenziale scalando il campo o le sue derivate
parziali con una legge di scala determinata a partire dai dati stessi. Tale legge di scala dipende
dall’indice strutturale, che è l’opposto del grado di omogeneità per i campi che soddisfano
l’equazione di omogeneità. Il metodo è stato applicato ai dati gravimetrici, magnetici e di
potenziale spontaneo, per fornire un’immagine della distribuzione delle sorgenti (Fedi,
2007; Fedi e Abbas, 2013; Fedi e Pilkington, 2012). In questa nota descriviamo una versione
automatica del metodo DEXP che ha due notevoli caratteristiche: a) utilizza una legge di scala
che non dipende dall’indice strutturale delle sorgenti, b) è completamente automatico in modo
che possa essere implementato come un veloce metodo di imaging.
Teoria. Il concetto fondamentale della teoria DEXP è la funzione di scala τ, definita come
la derivata del logaritmo del campo potenziale, f, o una delle sue derivate parziali, rispetto a
log (z) (Fedi, 2007):
(1)
Quindi, la funzione di scala per i campi omogenei, a x = x0 e y = y0, o lungo le linee definite
dagli zeri della derivata orizzontale del campo (Fedi et al., 2009) è la seguente:
(2)
dove N è l’indice strutturale, una quantità correlata alla geometria della sorgente.
Questa relazione può essere generalizzata a qualsiasi ordine po di derivata di f attraverso
la legge:
(3)
Fedi (2007) ha mostrato che la trasformazione DEXP può essere utilizzata per valutare nei
suoi punti estremi la profondità delle sorgenti. Ha definito la trasformazione DEXP Ω come:
(4)
dove
(5)
Dall’Eq. (4), notiamo che la legge di scala dipende dal valore dell’indice strutturale. Questa
caratteristica rende questo metodo più versatile e preciso rispetto ad altri metodi di imaging
quali la migrazione, la correlazione e altri, che utilizzano un weighting prefissato nelle loro
leggi di scala (Fedi e Pilkington, 2012). La qualità del risultato dipende dalla scelta di N, che
può tuttavia essere facilmente valutato prima di eseguire la trasformazione (ad esempio, Fedi,
2007;. Cella et al, 2009).
Il metodo proposto in questa nota è una modifica del metodo DEXP, sulla base dell’Eq. (5),
che assicura proprietà importanti per la funzione di scala del rapporto di due derivate di f di
differente ordine.
, tra due derivate parziali
Per dimostrare questo, consideriamo il rapporto
di diverso ordine di un campo omogeneo f ; fm e fn, dove m ed n sono i rispettivi ordini di
è:
differenziazione. Dall’Eq. (1) si trova facilmente che la funzione di scala di
(6)
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Dalle Eqq. (3) e (6), si nota che in x = x0 e y = y0,
assume la forma:
(7)
Il punto interessante nell’Eq. (7) è che t è indipendente dall’indice strutturale e dipende
solo dalla differenza tra gli ordini delle due derivate. In particolare, quando z =-z0, t è data da:
(8)
Così, la trasformata DEXP del rapporto tra due ordini di campo omogeneo f è semplicemente:
(9)
Poiché l’esponente (m-n)/2 è determinato, la trasformazione DEXP è completamente
automatica. Come mostrato in Fedi (2007), la profondità alle sorgenti può quindi essere
ottenuta semplicemente stimando le posizioni degli estremi di Ω, cioè dell’immagine DEXP.
Questo tipo di DEXP automatica può essere quindi applicata al rapporto tra due derivate ​​di
diverso ordine del campo gravimetrico, magnetico o del potenziale spontaneo.
Un altro modo per applicare il metodo DEXP è quello di considerare la trasformazione DEXP
omogeneo di ordine
della derivata dell’ l-ordine del rapporto. Infatti, essendo il rapporto
m-n, la sua derivata lma sarà omogenea di ordine m-n+l. La funzione di scala corrispondente e
la trasformazione DEXP saranno date da:
(10)
(11)
Fig. 1 – La trasformazione automatica DEXP applicata al campo magnetico di un modello multi-sorgente (cilindro
orizzontale e dicco). a) Il profilo del campo magnetico totale anomalia, b) il rapporto R21 a diverse quote e le linee
di estremi (linee continue in azzurro), c) la funzione di scala lungo la linea di estremi destra in 'b', d) l'immagine
DEXP del rapporto R21, i cerchi rossi indicano la zona di effetti di non-linearità a causa della interferenza. e) Il
rapporto R43 diverse quote e le linee i estremi (linee continue in azzurro); f) la funzione di scala lungo la linea di
estremi in 'e'; g) l'immagine DEXP del rapporto R43. I punti bianchi indicano i massimi della DEXP, corrispondenti
alla profondità corretta per entrambe le sorgenti.
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Esempio. Abbiamo applicato il metodo al campo magnetico di un modello multi-sorgente
(Fig. 1a): un cilindro orizzontale con un momento di dipolo 600 A/m2 a (x0, z0) = (305,10) m,
e un dicco verticale con 50 A/m2 momento di dipolo a (x0, z0) = (175, 20) m. L’inclinazione
magnetica è di 60° e la declinazione è 0°. Abbiamo applicato la trasformazione DEXP al
tra il secondo e il primo ordine segnale analitico del campo. Innanzitutto notiamo
rapporto
una linea di estremi curva, in relazione al cilindro orizzontale (Fig. 1b). Anche la funzione
di scala non è una linea retta (Fig. 1c). Questo comportamento dimostra che il problema è
non lineare. Abbiamo quindi deciso di considerare derivate ​​di ordine superiore e utilizzare
tra i segnali analitici del quarto e terzo ordine. Le
la trasformazione DEXP al rapporto
Figg. 1e ed 1f mostrano che la linea di estremi è ora retta (Fig. 1e), così come la funzione di
ha una risoluzione sufficiente a rendere la
scala (Fig. 1f). Ciò significa che la DEXP di
non-linearità intrinseca del problema trascurabile. Per quanto riguarda le immagini DEXP,
gli effetti non-lineari a causa della interferenza delle due-sorgenti dell’anomalie sono evidenti
quando si usa , dove un ghost ad alta intensità appare a profondità maggiori di 25 m (Fig. 1d).
Così la profondità al top del dicco è ben stimata (10 m), ma la profondità al centro del cilindro
orizzontale è poco definita a causa dell’effetto di interferenza. Tuttavia, quando si utilizza la
DEXP del rapporto , il ghost scompare (Fig. 1g) ed entrambe le stime della profondità sono
corrette. Si noti che questo risultato è stato possibile grazie alle proprietà ad alta risoluzione
della trasformazione DEXP, che è stabile, indipendentemente dall’ordine di differenziazione
(Cella et al., 2009;. Florio et al., 2009).
Conclusioni. In questo lavoro, abbiamo sviluppato un nuovo metodo di imaging DEXP
che è completamente automatico e indipendente dall’indice strutturale. Queste proprietà sono
ottenute applicando la trasformazione DEXP al rapporto tra una coppia di derivate di ordini
differenti del campo e/o alle derivate parziali di questo rapporto. Questa versione automatica
della trasformazione DEXP rende il metodo ancora più veloce e garantisce una stima precisa
della profondità anche per grandi dataset.
Bibliografia
Cella, F., Fedi, M., and Florio, G., 2009. Toward a full multiscale approach to interpret potential fields. Geophysical
Prospecting, 57 (4), 543–557.
Fedi, M., 2007. DEXP: A fast method to determine the depth and the structural index of potential fields sources.
Geophysics, 72 (1), I1–I11.
Fedi, M., e Abbas, M. A., 2013. A fast interpretation of self-potential data using the depth from extreme points method.
Geophysics, 78 (2), 1-10.
Fedi, M., Florio, G., e Quarta, T., 2009. Multiridge analysis of potential fields: geometrical method and reduced Euler
deconvolution. Geophysics, 74, L53–L65.
Fedi, M., e Pilkington, M., 2012. Understanding imaging methods for potential field data. Geophysics, 77 (1), G13-G24.
Florio G., Fedi M. e Rapolla A., 2009. Interpretation of regional aeromagnetic data by multiscale methods: the case of
Southern Apennines (Italy). Geophysical Prospecting, 57, 479-489.
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