2014/2015 - Dipartimento di Matematica

Universitá degli Studi di Bari
Corso di Laurea in Biotecnologie per l’innovazione di Processi e Prodotti
Programma dettagliato di
MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA- A.A. 2014/2015
Prof. Mario Coclite
Matematica
Preliminari
- Insiemi numerici (I numeri razionali e irrazionali. Irrazionalitá
√
di 2 . Densitá di Q in R . Classi separate. Completezza di R ). Intervalli.
Funzioni pari, funzioni dispari, funzioni periodiche. Restrizioni, prolungamenti. Funzioni iniettive, funzioni invertibili. Funzione inversa. Funzione composta.
Funzioni monotone. Monotonia e invertibilità. Esistenza e unicitá della radice n-esima. Le funzioni elementari: valore assoluto, segno, parte intera, potenze, logaritmi, trigonometriche, trigonometriche inverse. Le diseguaglianze:
| sin x| ≤ |x| ≤ | tan x|, |x| < π/2.
Minimo e massimo di un insieme. Minoranti e maggioranti. Insiemi limitati e
insiemi non limitati (inferiormente, superiormente). −∞, +∞. Esistenza del
minimo (risp. massimo) dei maggioranti (risp. minoranti) di un insieme limitato superiormente (risp. inferiormente) (*). Estremo inferiore, estremo superiore.
Proprietá caratteristiche dell’estremo inferiore e dell’estremo superiore. Il numero di Neper. Minimi, massimi, minoranti, maggioranti, estremi di una funzione.
Funzione limitata e funzione non limitata (inferiormente, superiormente).
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo P
(P.1, Valore assoluto e diseguaglianze: 7,...., 42);
(P.4, Funzioni e grafici elementari: 1,...., 6, 23,...., 34);
(P.5, Funzioni composte: 11,...., 16, 25, 26, 27);
(P.6, Polinomi e funzioni razionali: 1,...., 20);
(P.7, Richiami di trigonometria: 1,...., 49).
Capitolo 3
(3.1, Funzioni iniettive e invertibilità: 1,....,12);
(3.2, Funzioni esponenziali e logaritmiche: 1,..., 18, 21,...., 24, 29, 30);
(3.3, Funzioni esponenziali e logaritmiche in base e: 1,....,18);
(3.5, Funzioni trigonometriche inverse: 1, 2, 3, 5,.....,17)
e Forme inLimiti di successioni - Insieme ampliato dei numeri reali: R.
e Limite di una successione. Unicità del limite (*).
determinate. Intorni in R.
Limitatezza delle successioni convergenti (*). Non limitatezza delle successioni divergenti (*). Limite di una combinazione lineare, prodotto e quoziente di
successioni. Teorema della permanenza del segno (*). Teoremi di confronto (*).
Teorema della convergenza obbligata o dei carabinieri (*). Criteri di divergenza
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(*). Limite del prodotto di una successione infinitesima e di una limitata (*).
Limite della somma di una successione divergente e di una limitata (*). Regolartà delle successioni monotone (*). Il numero di Neper come limite di una
successione. Alcuni limiti notevoli. Confronto d’infiniti e d’infinitesimi.
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo 9
(9.1, Limiti di successioni: 1,...., 12, 14,..., 26, 29).
Serie - Somma di una serie. Condizione necessaria di convergenza (*). Regolarità delle serie a termini positivi (*). Serie geometrica. Serie telescopica. Serie
armoniche (*).
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo 9
(9.2, Serie: 1,....., 18).
Limiti di funzioni. Funzioni continue - Limite di una funzione reale.
Unicitá del limite. Limite da sinistra e limite da destra. Relazione fra limiti
unilateri e bilateri.
Limite di una combinazione lineare, prodotto e quoziente di funzioni. Teorema
della permanenza del segno. Teoremi di confronto. Teorema della convergenza
obbligata o dei carabinieri. Criteri di divergenza. Limite del prodotto di una
funzione infinitesima e di una limitata. Limite della somma di una funzione
divergente e di una limitata.
Limiti notevoli. Confronto di infinitesimi e di infiniti.
Funzioni continue - Funzioni continue. Continuitá delle funzioni composte,
combinazioni lineari, prodotto e quoziente di funzioni continue. Continuitá delle
funzioni elementari. Discontinuitá di I, II specie ed eliminabili. Prolungamenti
continui. Teorema degli zeri e metodo di bisezione per il calcolo delle radici di
una equazione. Teorema dei valori intermedi (*). Teorema di Weierstrass.
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo 1
(1.2, Limiti di funzioni: 7,....,36, 49,...., 56, 59, 60);
(1.3, Limiti di funzioni: 1,....,34);
(1.5, Limiti di funzioni: 11,....,20, 27,...., 30);
(1.Riassunto, Limiti di funzioni: 5,....,30).
Capitolo 3
(3.4, Limiti coinvolgenti le funzioni esponenziali e logarirtiche: 1,....,8);
Capitolo 4
(4.3, Limiti coinvolgenti le funzioni trigonometriche: 1,....,13)
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Calcolo differenziale - Derivate. Funzioni differenziabili. Retta tangente in
un punto al grafico di una funzione. Continuitá delle funzioni differenziabili (*).
Derivata di una combinazione lineare, di un prodotto, di un rapporto di funzioni
differenziabili. Derivata di una funzione composta di funzioni differenziabili e
di una funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari.
Estremi relativi e punti di estremo relativo per una funzione. Punti stazionari. Teorema di Fermat (*). Teorema di Rolle (*). Teorema di Lagrange o
di interpolazione costante (*). Caratterizzazione delle funzioni costanti in un
intervallo (*). Criteri di monotonia. Metodi per la ricerca dei punti di estremo
relativo. Teorema di interpolazione lineare (*). Funzioni convesse e funzioni
concave. Punti di flesso. Criteri di convessitá in un intervallo (*). Metodi per
la ricerca dei punti di flesso. Caratterizzazione delle funzioni lineari. Asintoti.
Diagramma qualitativo di una funzione. Teoremi di De l’Hopital. Teoremi di
Taylor e applicazioni della formula di Taylor.
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo 2
(2.1, Calcolo di rette tangenti: 1,...., 10, 13,...., 24);
(2.2, Sulla definizione di derivata: 11,...., 39);
(2.3, Calcolo di derivate: 1,...., 30);
(2.4, Derivate di funzioni composte: 1,...., 16);
(2.5, Derivate di funzioni trigonometriche: 3,....., 34);
(2.8, Teorema di Lagrange e Teoremi di monotonia: 1,...., 4, 8,...., 15)
Capitolo 3
(3.3, Derivate di funzioni esponenziali e logaritmiche: 19,....,48);
(3.5, Derivate delle funzioni trigonometriche inverse: 19,.....,30)
Capitolo 4
(4.3, Applicazioni del Teorema di De l’Hopital: 14,....,28)
(4.4, Estremi di una funzione: 1,....,44);
(4.5, Concavità: 1,....,35);
(4.6, Diagrammi qualitativi di funzioni: 7,....,39);
(4.9, Linearizzazione: 1,....,10,15,.....,22);
(4.10, Applicazioni del Teorema di Taylor: 1,.....,26);
Calcolo integrale - Misura di rettangoloidi. Partizioni di un intervallo.
Somme integrali. Separatezza delle classi delle somme integrali inferiore e delle
somme integrali superiore. Funzioni integrabili secondo Riemann. Criterio di
integrabilitá. Integrabilitá delle funzioni generalmente continue. Integrabilitá
delle funzioni monotone (*). Integrale definito. Teoremi della media (*). Additività e linearitá dell’integrale definito. Confronto di integrali (*). Definizione e
differenziabilità della funzione integrale ed esistenza delle primitive di una fun-
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zione continua in un intervallo (*). Teorema e formula fondamentale del calcolo
integrale (*).
Primitive e loro propritá in un intervallo. Integrale indefinito. Integrazione
definita e indefinita per decomposizione in somma, per parti, per sostituzione.
Formula di Hermit.
Calcolo di aree. Calcolo della lunghezza di una curva (*). Volume dei solidi
di rotazione.
Integrazione di funzioni con un numero finito di discontinuità al più di prima specie. Integrazione di funzioni non limitate. Integrazione su intervalli non
limitati. Criteri di integrabilità per confronto di funzioni positive. Confronto
asintotico. Funzioni assolutamente integrabili.
Esercizi: R. A. Adams, Calcolo Differenziale 1, 5a edizione.
Capitolo 5
(5.3, Somme integrali: 1,....,6);
(5.4, Calcolo di integrali mediante il calcolo di aree: 3,...., 41);
(5.5, Integrali definiti e funzioni integrali: 1,...., 44);
(5.6, Metodo di sostituzione: 1,...., 24, 26, 28, 32,...., 36, 39,...., 47);
(5.7, Calcolo di aree: 1,...., 16).
Capitolo 6
(6.1, Integrazione per parti: 1,...., 23);
(6.2, Integrazione di funzioni razionali: 1,...., 6, 9,...., 16, 20,...., 28);
(6.3, Integrazione di funzioni irrazionali: 1,...., 10, 14, 15, 17,...., 20, 24,....,
31, 33,...., 36);
(6.5, Integrali impropri: 1,...., 22, 30,....., 37, 40, 41).
(6, Riassunto, Tecniche di integrazione: 1,...., 14, 16,...., 40, 42,...., 57, 59,
61,...., 80).
Capitolo 7
(7.1, Calcolo di volumi: 1,...., 23);
(7.3, Calcolo di lunghezze di curve: 1,....,14).
Elementi di Statistica
Popolazioni. Scale di misura: nominale, ordinale, intervallare, rapportale.
Variabili statistiche. Campioni e classi. Frequenze assolute, relative e cumulate.
Moda. Grafici a barre e istogrammi. Diagrammi rami e foglie. Poligoni di frequenza e di frequenza cumulativa. Indici di tendenza centrale: mediana, media.
Dipendenza della media dalle unitá di misura. Percentili. Indici di dispersione:
range, differenza interquartile, varianza, deviazione standard. Dipendenza della
varianza dalle unitá di misura.
Diseguaglianza di Chebyshev. Campioni normali. Campioni bivariati. Diagrammi di dispersione. Coefficiente di correlazione e covarianza. Stima del valore
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assoluto e adimensionalitá del coefficiente di correlazione. Retta dei minimi
quadrati.
P.S. È richiesta la dimostrazione dei Teoremi contrassegnati da (*).
Testi consigliati
P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Casa Editrice Liguori,
Napoli, 2004. (Capitoli 1, 5, 6, 7, 9 10, 12, 13, 14, 15)
R. A. Adams: Calcolo Differenziale 1, 5a edizione, Casa Editrice Ambrosiana,
Milano 2014.
S. M. Ross: Introduzione alla Statistica, Casa Editrice Apogeo, Milano, 2008.
(Capitoli 1, 2)
Elenco dei Teoremi di cui è richiesta la dimostrazione
1. Esistenza del minimo (risp. massimo) dei maggioranti (risp. minoranti) di
un insieme limitato superiormente (risp. inferiormente).
2. Unicità del limite.
3. Limitatezza delle successioni convergenti.
4. Non limitatezza delle successioni divergenti
5. Teorema della permanenza del segno.
6. Teoremi di confronto.
7. Teorema della convergenza obbligata o dei carabinieri.
8. Criteri di divergenza.
9. Limite del prodotto di una successione infinitesima e di una limitata.
10. Limite della somma di una successione divergente e di una limitata.
11. Regolartà delle successioni monotone.
12. Teorema dei valori intermedi.
13. Condizione necessaria di convergenza.
14. Regolarità delle serie a termini positivi.
15. Serie geometrica.
16. Serie telescopica.
17. Serie armoniche.
18. Continuitá delle funzioni differenziabili.
19. Teorema di Fermat.
20. Teorema di Rolle.
21. Teorema di Lagrange o di interpolazione costante.
22. Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo.
23. Teorema di interpolazione lineare.
24. Criteri di convessitá in un intervallo.
25. Integrabilitá delle funzioni monotone.
26. Teoremi della media.
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27. Confronto di integrali.
28. Definizione e differenziabilità della funzione integrale ed esistenza delle
primitive di una funzione continua in un intervallo.
29. Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale.
30. Lunghezza di una curva.
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