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Accademia delle Scienze di Torino
19 gennaio 2017
La relatività generale: princìpi e fatti
Vincenzo Barone
Le due teorie della relatività
• La relatività speciale, o ristretta, considera solo una particolare
classe di osservatori, quelli inerziali
È un formalismo teorico che non descrive una specifica classe di
fenomeni, ma si applica a fenomeni di diversa natura.
È il linguaggio ordinario della fisica nucleare e subnucleare e
dell‟astrofisica
• La relatività generale considera anche osservatori accelerati e
soggetti a gravità
È la teoria di campo dell‟interazione gravitazionale.
È alla base della moderna cosmologia (lo studio dell„“universo
inteso come un tutto").
I tre atti della Relatività Generale
• 1905-1906 Relatività speciale
• 1907: Primo atto: «Il pensiero più felice della mia vita»
[Principio di equivalenza: Per un osservatore in caduta libera,
non esiste alcun campo gravitazionale]
• 1913: Secondo atto: Lo spazio-tempo come campo gravitazionale.
Collaborazione con Marcel Grossmann e calcolo tensoriale
di Ricci e Levi-Civita
• 1915: Terzo atto: Il completamento della teoria
Comunicazioni all‟Accademia di Berlino e articolo Il fondamento
della teoria della relatività generale («Annalen der Physik», 1916)
I postulati della relatività ristretta
1. Principio di relatività:
Le leggi fisiche hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali.
[Tutti gli osservatori inerziali sono fisicamente equivalenti]
2. Postulato della costanza della velocità della luce:
La velocità della luce nel vuoto (c) ha lo stesso valore in tutti i sistemi di
riferimento inerziali, indipendentemente dal moto della sorgente.
Un altro postulato: il principio di inerzia
Esistono dei sistemi di riferimento in cui i corpi non soggetti a forze
si muovono di moto rettilineo uniforme
Dilatazione degli intervalli temporali
Eventi A e B che avvengono nello stesso punto in K’
x A  x B  x 
Coordinate e tempi in K
v 

t A    t A  2 x , x A   ( x  vt A )
c 

v 


t B    t B  2 x , xB   ( x  vt B )
c 

Intervallo temporale tra i due eventi in K
t  t B  t A   (t B  t A ) 
t 
1 v2 / c2
La precisione attuale degli orologi atomici è dell‟ordine di 10-17
Si possono rilevare effetti relativistici per velocità di 5-10 m/s
(Wineland et al. 2010)
Lo spazio-tempo
Se il tempo è una grandezza locale (cioè dipende dal sistema
di riferimento e dalla posizione dell'orologio), allora ha lo stesso status
delle tre dimensioni spaziali.
Il tempo è la quarta dimensione di un continuo quadridimensionale
in cui si svolgono i fenomeni fisici, lo spazio-tempo
“D'ora in poi lo spazio in sé e il tempo in sé
sono destinati a svanire come pure ombre,
e solo un genere di unione tra i due conserverà
una realtà indipendente“
(H. Minkowski, Convegno dei naturalisti
tedeschi, Colonia 1908)
I punti dello spazio-tempo sono eventi
( x, y , z , t )
Ciò che contraddistingue lo spazio-tempo e lo differenzia da
una semplice estensione 4d dello spazio euclideo è la metrica,
cioè la distanza o intervallo tra gli eventi
Spazio euclideo
Spazio-tempo
s 2  x 2  y 2  z 2
s 2  (c 2t 2 )  x 2  y 2  z 2
Nota:
segno non definito!
L‟intervallo è una quantità invariante: mantiene lo stesso valore
in seguito a una trasformazione di Lorentz.
Le trasformazioni di Lorentz sono le isometrie dello spazio-tempo
Classificazione degli eventi
s 2  0
Intervallo di tipo tempo
Eventi connessi causalmente da un segnale subluminale
Eventi che avvengono nello stesso punto dello spazio
s 2  0
Intervallo di tipo luce
Eventi connessi causalmente da un segnale luminoso
s 2  0
Intervallo di tipo spazio
Eventi non connessi causalmente
Eventi distinti simultanei
Le origini della RG
La relatività generale nasce da due esigenze teoriche:
1) Estendere il principio di relatività ai sistemi non inerziali
(Il principio di inerzia non soddisfa la «clausola del significato»:
non è possibile definire operativamente i sistemi inerziali)
2) Descrivere la gravità
La legge della gravitazione di Newton non è compatibile
con la relatività ristretta
Einstein intuisce che i due problemi sono legati e devono
essere risolti assieme
(Non ci sono esigenze empiriche all‟origine della
relatività generale)
La gerarchia dei sistemi approssimativamente inerziali
Accelerazione di rotazione della Terra (all‟equatore)
aTerra = 3.4 · 10-2 m s-2
Accelerazione del moto del Sole attorno al centro della Galassia
aSole = 4.6 · 10-10 m s-2
Il Sole è più inerziale della Terra. La Galassia è più inerziale
del Sole. Un sistema davvero inerziale sembra essere solidale
con il moto medio della materia nell‟universo.
Perché?
Il legame tra inerzia e materia (quindi tra inerzia e gravitazione) rimane
misterioso nella fisica newtoniana
«Principio di Mach»:
I sistemi di riferimento inerziali sono i sistemi non accelerati rispetto alle
stelle fisse, cioè rispetto a una media di tutta la materia dell'universo.
L'origine delle forze inerziali risiede nell„attrazione gravitazionale
esercitata dalle masse (stelle, galassie, ecc.) presenti nell'universo.
Le considerazioni di Mach influenzarono notevolmente Einstein
Relazione tra inerzia e gravità
Principio di equivalenza (debole):
La massa gravitazionale e la massa inerziale di un corpo sono uguali.
Tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione (Galileo)
mg g  mi acorpo
g
GM
R2
mi  mg  acorpo  g
L‟uguaglianza di massa gravitazionale e massa inerziale è stata
sottoposta a verifica da Eötvös (fine Ottocento), Dicke (1964),
Braginsky & Panov (1972), Baessler et al. (1999).
La precisione attuale è di circa 10-12
• Perché le due masse sono uguali? (La fisica newtoniana non lo spiega)
• La forza gravitazionale, a differenza di tutte le altre forze fondamentali,
dipende dalla massa inerziale dei corpi. In ciò essa è simile alle forze
inerziali che compaiono nei sistemi di riferimento accelerati.
Il principio di equivalenza di Einstein
Una forza inerziale (dovuta all‟accelerazione del sistema di riferimento)
può cancellare (o simulare) localmente una forza gravitazionale



Fg  Fi  mi a corpo



m g g  mi a  mi a corpo
Se la massa gravitazionale coincide con la massa inerziale e l‟accelerazione
del sistema di riferimento e‟ uguale all‟accelerazione di gravità:

acorpo  0


Fi  mi a corpo


 mi a  mi a corpo
Se la massa gravitazionale coincide con la massa inerziale e l‟accelerazione
del sistema di riferimento è uguale e opposta a quella di gravità:




m g g  mi a corpo  Fg  mi a corpo
La deflessione gravitazionale della luce
Cabina-laboratorio in caduta libera in un campo gravitazionale
Per un osservatore all‟interno della cabina il percorso della
luce è rettilineo. Per un osservatore esterno il percorso è
curvilineo
Lo spostamento gravitazionale delle frequenze
Per il principio di equivalenza,
l‟effetto del campo gravitazionale
è simulato da un‟accelerazione
Il ricevitore B va incontro alla luce
emessa da A e la frequenza
osservata da B è diversa da quella
in A per effetto Doppler
 V
 gd 
 GMd 
  A  B 
 B   A 1     A 1  2    A 1  2    A 1 

2
c
c 
R c 
c





Relazione tra spazio e inerzia
Il principio di inerzia visto da Einstein
“Se si desidera dare un esatto significato al principio classico di inerzia si
deve introdurre lo spazio come la causa indipendente del comportamento
inerziale dei corpi." (Einstein, 1954)
D‟altra parte, se lo spazio-tempo agisce sui corpi, questi devono agire
su di esso (lo spazio-tempo deve essere un ente dinamico).
Il triangolo concettuale della RG
Il principio di inerzia stabilisce un legame tra spazio (geometria) e inerzia
Il principio di equivalenza stabilisce un legame tra inerzia e gravità
Einstein ipotizza un legame tra geometria e gravità
La gravità si manifesta come curvatura dello spazio-tempo
Il campo gravitazionale è lo spazio-tempo
Principio di Relatività Speciale:
Simmetria delle leggi fisiche rispetto a una trasformazione del
sistema di riferimento inerziale (cioè a una trasformazione di
Lorentz delle coordinate)
Principio di Covarianza Generale:
Simmetria delle leggi fisiche rispetto a una qualunque trasformazione
del sistema di riferimento (cioè a una trasformazione arbitraria
delle coordinate)
Spazi curvi: caso bidimensionale
Curvatura di una sfera
K
1
R2
Somma degli angoli interni di un triangolo
1   2   3    K  area
Per esempio: un ottante

2


2


2
  K 
R 2
2
Angolo di rotazione dei vettori
trasportati parallelamente
   K  area
La curvatura è legata alle distanze tra i punti di uno spazio
Quattro località terrestri sono su un piano?
4 punti in un piano: 5 coordinate, 6 distanze
Esiste una relazione tra le distanze
La curvatura di uno spazio può essere espressa in termini della metrica,
cioè dell‟insieme di funzioni che specificano la distanza tra due punti
(Theorema egregium di Gauss, Disquisitiones generales circa superficies
curvas, 1827)
Nel caso di uno spazio bidimensionale la metrica è data da tre funzioni
(che per uno spazio piatto, cioè euclideo, si riducono tutte a 1)
La curvatura è specificata da una sola quantità, la curvatura gaussiana K
Spazi curvi: caso quadridimensionale (spazio-tempo)
L‟equazione delle geodetiche:
«Lo spazio dice alla materia come muoversi» (J.A. Wheeler)
E‟ l‟equazione del moto di una particella (o di un raggio di luce)
in uno spazio curvo
Prende il posto dell‟equazione di Newton della meccanica classica
e dell‟equazione di Einstein-Planck-Minkowski della relatività speciale
Contiene una componente inerziale e una componente gravitazionale
Prevede che una particella libera si muova lungo una geodetica
(linea più breve tra due punti), che in uno spazio curvo non è una retta
(su una superficie bidimensionale è un arco di cerchio massimo)
L‟equazione di Einstein:
«La materia dice allo spazio come curvarsi» (J.A. Wheeler)
Curvatura (gravità) ↔ densità di energia e quantità di moto
Il campo gravitazionale è generato non solo da masse ma da
qualunque distribuzione di energia, anche quella del campo stesso
Le equazioni sono non lineari
G
curvatura  2  densità
c
G
 28

7
.
4

10
m / kg
2
c
Gli effetti della curvatura sono rilevanti solo in presenza
di altissime densità di massa-energia
Gravità newtoniana
vs. Relatività generale
Simmetria generale
dello spazio-tempo
Perché la forza di gravità varia
proprio come l‟inverso del quadrato
della distanza?
Legge di Newton
caso
particolare
Moto degli astri
Legge di Einstein
(Relatività generale)
Precessione del perielio di Mercurio
Rotazione di 43 secondi d‟arco non prevista dalla teoria newtoniana:
primo successo della relatività generale
Conseguenza diretta della non linearità delle equazioni del campo
Precisione attuale dell‟accordo 0.01%
Deflessione gravitazionale della luce stellare
1919: Eclissi totale di Sole
In Brasile e a Principe
(A. Eddington, F. Dyson et al.)
Effetto piccolissimo: 1,75”
Verificato con un‟incertezza
del 30%
Deflessione gravitazionale delle onde elettromagnetiche
Precisione attuale
(onde radio da quasar)
0.01 %
Spostamento gravitazionale verso il rosso
(Conseguenza del principio di equivalenza)
Su un dislivello di 22 metri, una variazione della frequenza della
luce dello 0, 000 000 000 000 2 %
(Pound, Rebka, 1960)
Esperimento di Hafele e Keating (1972)
Giro del mondo di orologi atomici
a bordo di un aereo di linea
Dilatazione cinematica + gravitazionale del tempo
v 2 2
  t 1  2  2
c
c
Entità relativa dell‟effetto
t  
v2 
 2 2
t
2c
c
Nei primi esperimenti (anni 70)
Effetto gravitazionale
t  
 1012
t
2
 GM v fuga
 2  2 2  2
c
R c
c
Esperimento di Briatore e
Leschiutta (1976)
Dilatazione puramente gravitazionale
Differenza di circa 30 ns/giorno
tra un orologio a Torino (250 m)
e uno sul Plateau Rosa (3500 m)
Gli effetti di relatività speciale e generale sugli orologi sono verificati
dal GPS. La correzione è di circa 40 microsecondi/giorno.
Senza questa correzione la posizione di un oggetto sulla Terra
sarebbe determinata con un errore di 10 km (la precisione del GPS
è di 10 metri).
Differenza relativa della frequenza di due orologi atomici
posti ad altezze diverse (Wineland et al. 2010)
Rallentamento gravitazionale del tempo su un dislivello di 50 cm
Le onde gravitazionali (2016)
Giugno 1916
Integrazione approssimata delle
equazioni di campo della gravitazione
Gennaio 1918
«Sulle onde gravitazionali
La caccia comincia
alla fine degli anni „60
Le antenne di Joe Weber
Emissione di onde gravitazionali
dalla pulsar binaria 1913 + 16
Hulse e Taylor, Nobel 1993
Gli interferometri gravitazionali
Deformazione: 10-18 metri
L‟identikit di un‟onda emessa da
due buchi neri che si fondono
I segnali captati
da LIGO
Alcune domande conclusive
1) Fino a che punto la relatività generale è applicabile?
2) Perché solo la gravità ha a che fare con la geometria
dello spazio-tempo?
3) Perché la gravità è così debole?
[Per due protoni all'interno di un nucleo, il rapporto
tra la forza gravitazionale e la forza elettrica è 10-36]
→ Entra in gioco la teoria quantistica
Combinando le tre costanti c, ħ e G si ottengono tre scale naturali:
di massa-energia, di lunghezza, di tempo
Le scale di Planck
EP 
c 5
 1019 GeV
G
Energia di Planck
LP 
G
 10 35 m
3
c
Lunghezza di Planck
TP 
G
 10  43 s
5
c
Tempo di Planck
Bibliografia
• A. Einstein, Relatività: esposizione divulgativa, Bollati Boringhieri, 2015
• A. Einstein, Le due relatività, Bollati Boringhieri, 2015
• D.W. Sciama, La relatività generale, Zanichelli, 1972.
•
T. Regge e G. Peruzzi, Spazio, tempo e universo, UTET Libreria, 2003.
•
V. B., Relatività. Principi e applicazioni, Bollati Boringhieri, 2004
• V.B., «Lettera Pristem» (in corso di pubblicazione)
• C. Bernardini (a cura di), Gravitazione, Quaderni de «Le Scienze», 1983
• Articoli su «Asimmetrie», rivista dell‟INFN (www.asimmetrie.it)