esercizi in preparazione compito in classe n. 2

TERMODINAMICA
2) Un sistema è costituito da 32 g di elio a 25°C. Calcola la quantità di calore che deve essere
somministrata per portare la temperatura a 56°C
a. a volume costante
b. a pressione costante
Ricordiamo che per un gas perfetto la relazione tra calore e temperatura è:
QV = CV nΔT
a volume costante
QP = C P nΔT
a presssione costante
dove CV e CP sono rispettivamente i calori specifici a volume costante e a pressione costante, che
per un gas perfetto monoatomico sono:
3
5
CV = R
CP = R
2
2
Determiniamo ora il numero di moli:
n=
mg
M He
=
32
=8
4
Si ha quindi:
3
× 8,31 × 8 × 31 = 3091 J
2
5
QP = × 8,31 × 8 × 31 = 5152 J
2
QV =
3) An ideal mono atomic gas doubles its volume during an adiabatic expansion. Find de
relative variation of the pressure.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Un gas ideale monoatomico raddoppia il volume durante un’espansione adiabatica. Trova la
variazione di pressione relativa”
Per le trasformazioni adiabatiche vale la relazione:
γ
γ
PiVi = Pf V f
→
⎛V
=⎜ i
Pi ⎜⎝ V f
Pf
⎞
⎟
⎟
⎠
γ
dove, per un gas monoatomico, si ha:
γ =
C P 5R 2
5
=
⋅
=
CV
2 3R 3
Poiché nell’espansione il volume raddoppia si ha:
⎛ V
= ⎜⎜ i
Pi ⎝ 2 ⋅ Vi
Pf
⎞
⎟⎟
⎠
γ
→
Pf
1
= γ
Pi
2
→
Pf
Pi
=2
−
5
3
= 0,31
4) Una pompa di calore ideale opera tra la temperatura interna di 21 °C e la temperatura
esterna di 4°C. Calcola la quantità di lavoro necessaria per introdurre nella casa 1550 J di
calore e il coefficiente di prestazione
Lo schema della pompa di calore è rappresentato in figura:
Poiché la pompa di calore è ideale possiamo scrivere la relazione:
Qc Tc
=
Qf Tf
→ Q f = Qc
Tf
Tc
→ Q f = 1550 ×
277
= 1461 J
294
Il lavoro risulta allora:
L = Qc − Q f = 1550 − 1461 = 89 J
e il coefficiente di prestazione:
COP =
Qc 1550
=
= 17
L
89
1) Un gas perfetto monoatomico è sottoposto a una trasformazione in tre fasi come
rappresentato in figura. Calcolare il lavoro totale e specificare se è compiuto dal o sul
sistema; calcolare la variazione di energia interna; calcolare il calore totale e specificare
se assorbito o ceduto dal sistema.
Osserviamo innanzi tutto che la trasformazione è ciclica, quindi lo stato finale coincide con quello
iniziale. Pertanto, nel complesso, non vi è variazione di temperatura né di energia interna che, come
sappiamo, in un gas perfetto dipende solo dalla temperatura. Abbiamo dunque:
ΔU = 0
Passiamo ora al calcolo del lavoro complessivo. Come noto esso è dato dall’area contenuta nel
ciclo, ossia dall’area del triangolo. In valori da considerare sono:
PA = 10 × 10 5 Pa
V A = 5 × 10 −3 m 3
PB = 13 × 10 5 Pa
V B = 25 × 10 −3 m 3
Si ha dunque:
1
L = − × (25 − 5) × 10 −3 × (13 − 10) × 10 5 = −3 × 10 3 J
2
notare la presenza del segno negativo, dovuto al fatto che il tratto più alto, da B ad A, a cui
corrisponde il lavoro maggiore, è percorso nel verso negativo. Il segno negativo indica che il lavoro
è fatto sul sistema.
Per calcolare il flusso di calore basta applicare il primo principio della termodinamica:
Q = ΔU + L
→ Q=L
→ Q = −3× 10 3 J
Il. Segno negativo indica in questo caso che il calore è ceduto dal sistema.
1)
Un gas ideale subisce una trasformazione in quattro fasi come mostrato in figura.
Dopo il completamento del ciclo stabilire:
a) Il lavoro totale, specificando se è compiuto dal o sul sistema
b) La variazione totale di energia interna del sistema
c) La quantità di calore totale, specificando se è ceduto o assorbito dal sistema
quesito a:
Il lavoro, come noto, è rappresentato dall’area della regione al di sotto del grafico di una
trasformazione. Nel caso di una trasformazione ciclica il lavoro corrisponde all’area contenuta nel
ciclo, cioè nel nostro caso all’area del rettangolo ABCD.
In valore assoluto tale area è:
A = (4 − 2 ) × (15000 − 10000) = 10000 = 10 4 J
Per quanto riguarda il segno osserviamo che il tratto inferiore AB corrisponde ad un lavoro positivo,
in quanto ΔV è positivo, mentre il tratto superiore CD corrisponde ad un lavoro negativo, perché
ΔV è negativo. Complessivamente quindi il lavoro sarà negativo. Detto in altri termini: se il verso
di percorrenza della trasformazione ciclica è orario, il lavoro totale è positivo, se è antiorario il
lavoro è negativo. Siccome il lavoro è negativo, per la convenzione del segno si assume che il
lavoro stesso è fatto SUL SISTEMA.
quesito b:
Osserviamo per prima cosa che la trasformazione è ciclica quindi, alla fine del ciclo, la temperatura
sarà uguale a quella iniziale e di conseguenza la variazione di energia interna del sistema è nulla.
quesito c:
Per il primo principio della termodinamica:
Q = ΔU + L
Essendo nel nostro caso nulla la variazione di energia interna si ha semplicemente:
Q=L
→ Q = −10 4 J
2) The working temperatures of a Carnot engine are Tf and Tc = Tf +55 K. The engine’s
efficiency is 11%. Find Tf and Tc .
Iniziamo con la traduzione del testo:
Le temperature di lavoro di un motore di Carnot sono Tf e Tc = Tf + 55 K. Il rendimento del motore
è dell’11%. Calcola Tf e Tc.
Applichiamo la definizione di rendimento in una macchina di Carnot (cioè una macchina ideale):
η = 1−
Tf
→ 0,11 = 1 −
Tc
T f = 445 K
Tf
T f + 55
→ T f (1 − 0,89) = 48,95
Tc = 500 K
3) Un litro di acqua inizialmente alla temperatura di 23° C viene posto in un frigorifero.
Calcolare la quantità di calore che deve essere rimossa per portare l’acqua ad una
temperatura di – 6°C (cs ghiaccio = 2090 J/(Kg⋅K, calore latente di fusione acqua 3,34×105
J/Kg). Il frigorifero ha un COP di 2,71; qual è il lavoro necessario per sottrarre tale
calore? Qual è il calore totale ceduto all’ambiente?
Cominciamo con il calcolo del calore che deve essere asportato dall’acqua. Indichiamo le quantità
di calore corrispondenti a ciascuna fase del raffreddamento:
Q1 = calore da sottrarre per portare l’acqua da 23°C a 0 °
Q2 = calore da sottrarre per congelare l’acqua
Q3 = calore da sottrarre per portare il ghiaccio a –6°C
Si ha:
Q1 = 1 × 4186 × 23 = 96278 J
Q2 = 1 × 3,34 × 10 5 = 334000 J
Q 3 = 1 × 2090 × 6 = 12540 J
Q = Q1 + Q2 + Q3 = 442818 J
Per calcolare il lavoro necessario a sottrarre questa quantità di calore, partiamo dalla definizione di
coefficiente di prestazione di un frigorifero:
COP =
Qf
L
→ L=
Qf
COP
→ L=
442818
= 163401 J
2,71
Per calcolare correttamente la quantità di calore complessivamente ceduta all’ambiente dobbiamo
tenere presente lo schema di una macchina frigorifera:
1) La figura rappresenta una trasformazione ciclica subita da 2 moli di gas perfetto
monoatomico.
Completare la seguente tabella:
ΔU
Da A a B
Da B a C
Da C a D
Da D ad A
Trasformazione AB:
Trattandosi di un gas ideale monoatomico, la variazione di energia interna è:
ΔU =
3
nRΔT
2
→ ΔU =
3
× 2 × 8,31 × 250 = 6232 J
2
Il lavoro, nella trasformazione isobara, è dato da:
L = PΔV
Utilizzando l’equazione di stato dei gas perfetti possiamo scrivere:
L = PΔV
→ L = nRΔT
→ L = 2 × 8,31 × 250 = 4155 J
Il calore Q assorbito può essere dedotto dal primo principio della termodinamica:
Q = L + ΔU
→ Q = 4155 + 6232 = 10387 J
Trasformazione BC
Per la variazione di energia interna si ha:
ΔU =
3
× 2 × 8,31 × (− 250)
2
→ ΔU = −6232 J
La trasformazione è isocora, per cui L = 0
Si ha quindi Q = - 6232
Trasformazione CD
Per la variazione di energia interna si ha:
L
Q
ΔU =
3
× 2 × 8,31 × (− 120)
2
→ ΔU = −2992 J
Per il lavoro, facendo ancora uso dell’equazione di stato dei gas perfetti, si ha:
L = PΔV
→ L = nRΔT
→ L = 2 × 8,31 × (− 120) = −1994 J
e quindi:
Q = −2992 − 1994 = −4986 J
Trasformazione DA
Per la variazione di energia interna si ha:
ΔU =
3
× 2 × 8,31 × 120
2
→ ΔU = 2992 J
La trasformazione è isocora, per cui L = 0
Si ha quindi Q = 2992
Riassumendo:
Da A a B
Da B a C
Da C a D
Da D ad A
ΔU
6232
-6232
-2992
2992
L
4155
0
-1994
0
Q
10387
-6232
-4986
2992
2) Una macchina termica opera tra un serbatoio ad alta temperatura di 420 °C e uno a bassa
temperatura di 40 °C. Durante ogni ciclo completo la macchina preleva 660 J di calore dal
serbatoio caldo e compie 250 J di lavoro. Calcolare:
a) la variazione di entropia dell’universo ad ogni ciclo
b) il rendimento della macchina
c) quanto lavoro produrrebbe ad ogni ciclo la macchina se fosse reversibile
Costruiamo lo schema della macchina termica:
a)
La variazione di entropia, nel trasferimento di calore dalla sorgente calda alla macchina, è:
ΔS c = −
Qc
660
=−
= −0,95 J / K
Tc
693
Nel trasferimento di calore dalla macchina alla sorgente fredda è:
ΔS f =
Qf
Tf
=
410
= 1,31 J / K
313
La variazione totale di entropia ad ogni ciclo è quindi:
ΔS = ΔS c + ΔS f = −0,95 + 1,31 = 0,36 J / K
b)
Il rendimento della macchina, in base alla definizione, è:
η=
L 250
=
= 0,38
Qc 660
c) Se la macchina fosse reversibile, il suo rendimento dipenderebbe solo dalle temperature Tc
e Tf:
ηR = 1−
Tf
Tc
= 1−
313
= 0,55
693
In questo caso il lavoro prodotto dalla macchina (reversibile) sarebbe:
LR = η R ⋅ Qc = 0,55 × 660 = 363 J
Si ha quindi:
Qc = L + Q f
→ Qc = 442818 + 163401 = 606219 J
4) La piastra di un fornello elettrico si trova alla temperatura di 350°C e cede ogni secondo
500 J di calore ad una pentola che sta bollendo. Calcolare di quanto varia ogni secondo
l’entropia dell’universo.
La situazione è quella di un passaggio di calore che avviene tra due corpi che si trovano a
temperatura diversa: il calore passa dalla piastra del fornello, che si trova a 350°C, all’acqua che si
trova a 100°C dal momento che sta bollendo. Nel primo passaggio il calore viene ceduto, quindi
l’entropia è negativa; nel secondo passaggio il calore viene assorbito, quindi l’entropia è positiva.
In ogni secondo si hanno quindi le seguenti variazioni di entropia:
ΔS1 =
Q − 500
=
= −0,802 J / K
T1
623
ΔS 2 =
Q + 500
=
= +1,340 J / K
T2
373
La variazione di entropia totale è quindi:
ΔS = ΔS1 + ΔS 2 = −0,802 + 1,340 = 0,538 J / K
5) Calcolare il lavoro compiuto, la variazione di energia interna e il calore assorbito nel ciclo
rappresentato in figura
In una trasformazione ciclica, rappresentata nel piano PV, il lavoro è dato dall’area della regione
delimitata dal ciclo stesso, cioè, nel nostro caso, dall’area del rettangolo. Si ha quindi:
W = (P2 − P1 ) ⋅ (V2 − V1 ) = (3 − 1) × 10 5 × (8 − 1) × 10 −3 = 1400 J
Osserviamo poi che, in una trasformazione ciclica, lo stato finale coincide con quello iniziale; di
conseguenza l’energia interna finale è uguale a quella iniziale, ovvero:
ΔU = 0
Per il primo principio della termodinamica si ha quindi:
Q = ΔU + W
→ Q = W = 1400 J
1) Ad una pressione costante di 400 KPa, 30 moli di gas perfetto monoatomico si espandono
da un volume iniziale di 500 dm3 fino a un volume finale di 900 dm3.
a) trova il lavoro compiuto dal gas durante l’espansione
b) determina temperatura iniziale e finale del gas
c) determina la variazione di energia interna del gas
d) determina la quantità di calore che è stata fornita al gas.
La trasformazione da studiare è schematizzata in figura.
a)
Il lavoro, come noto, corrisponde all’area della regione al di sotto del grafico;
pertanto si ha:
W = P ⋅ ΔV = 4 × 10 5 × (0,9 − 0,5) = 1,6 × 10 5 J
b)
Per determinare la temperatura iniziale e quella finale del gas basta applicare
l’equazione di stato dei gas perfetti. Risulta:
PVi 4 × 10 5 × 0,5
=
= 802 K
nR
30 × 8,31
PV f
4 × 10 5 × 0,9
Tf =
=
= 1444 K
nR
30 × 8,31
Ti =
c)
Trattandosi di un gas perfetto l’energia interna dipende solo dalla temperatura, per
cui risulta:
ΔU =
d)
3
nRΔT = 1,5 × 30 × 8,31 × (1444 − 802 ) = 2,4 × 10 5 J
2
La quantità di calore fornita dal gas si ottiene subito applicando il primo principio
della termodinamica:
Q = W + ΔU = 1,6 × 10 5 + 2,4 × 10 5 = 4,0 × 10 5 J
1) An engine, with efficiency 0.20, works between 750 ° C and 25 ° C and, during every
cycle, extracts 1600 J of heat from the hot source. Find the entropy variation of the
universe during every cycle.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Una macchina termica, con rendimento 0.20, lavora tra 750 °C e 25 °C e, durante ciascun ciclo,
estrae 1600 J di calore dalla sorgente calda. Trova la variazione di entropia dell’universo durante
ciascun ciclo”
Possiamo calcolare subito la variazione di entropia (negativa) che si ha quando il calore viene
sottratto dalla sorgente calda:
ΔS c = −
Q 1600
=
= −1,56 J / K
Tc 1023
Per poter calcolare la variazione di entropia relativa alla sorgente fredda, dobbiamo calcolare la
quantità di calore che viene trasferita ad essa. Per farlo possiamo utilizzare il rendimento. Si ha:
e = 1−
Qf
Qc
→ e ⋅ Qc = Qc − Q f
→ Q f = (1 − e ) ⋅ Qc
→ Q f = 0,8 × 1600 = 1280 J
Passiamo quindi al calcolo della variazione di entropia (positiva) che si ha quando il calore viene
trasferito alla sorgente fredda:
ΔS f =
Q 1280
=
= 4,29 J / K
Tf
298
La variazione di entropia dell’universo che si ha in ciascun ciclo è quindi:
ΔSU = ΔS c + ΔS f = −1,56 + 4,29 = 2,73 J / K
2) Per mantenere una stanza alla temperatura di 20°C, una pompa di calore reversibile
compie 360 J di lavoro e fornisce 3240 J di calore. Calcola la quantità di calore che la
pompa preleva dall’aria esterna e la temperatura dell’aria esterna.
Di seguito è riportato lo schema di funzionamento della pompa di calore
Il calore fornito dalla pompa di calore è dato dalla somma del calore estratto dalla sorgente fredda e
del lavoro:
Qc = Q f + W
Possiamo quindi ottenere subito il calore estratto dall’esterno:
Q f = Qc − W = 3240 − 360 = 2880 J
Per calcolare la temperatura esterna possiamo sfruttare il fatto che la pompa di calore è reversibile.
Per le macchine reversibili vale il teorema di Carnot:
e = 1−
Qf
Qc
= 1−
Tf
Tc
→
Qf
Qc
=
Tf
Tc
→ T f = Tc ⋅
Qf
Qc
= 293 ×
2880
= 260 K
3240