Corso di Statistica Facoltà di Economia Sommario L`Algebra degli

Sommario
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Corso di Statistica
Facoltà di Economia
a.a. 20062006-2007
L’algebra degli eventi
Diagrammi di Venn
Teoremi fondamentali
Probabilità Condizionata ed
Indipendenza Stocastica
francesco mola
Lezione n° 16
a.a. 2006-2007
statistica-francesco mola
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L'Algebra degli Eventi
• a) Unione o Somma Logica fra due
eventi A e B è quell'evento C che si
verifica quando si verifica A oppure B
oppure A e B contemporaneamente:
• C = A ∪ B (“ A o B ”)
• b) Intersezione o Prodotto
Logico fra due eventi A e B è
quell'evento D che si verifica
quando si verifica sia A sia B
contemporaneamente:
• D = A ∩ B (“ A e B ”)
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statistica-francesco mola
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Eventi particolari
• c) Negazione di un evento A è
quell'evento E che si verifica
allorquando A non si verifica:
• E = (“ non A ”)
• Si può anche indicare con A
• Evento Certo = I: è l'evento che si verifica
sempre;
• Evento Impossibile = O
/ : è l'evento che
non può mai verificarsi;
• Evento Incompatibile:
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A∩B = O
/
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Alcune definizioni …..
Eventi particolari
(cont.)
• Evento Necessario: A ∪ B = I
• Evento Elementare:
• Spazio Campionario S: è l'insieme di
tutti i risultati possibili dell'esperimento.
• Spazio degli Eventi: una classe di eventi
ai quali si vuole assegnare una probabilità
e che questa classe sia un'algebra, ovvero
che contenga S e O/ come elementi e sia
chiusa rispetto alla complementazione e
all'unione.
per ogni A si ha A ∪ E = E
oppure A ∩ E = O
/
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Alcune definizioni (cont.)
Esempi
• Quando S è costituito da un numero finito
k di elementi, lo spazio degli eventi può
essere rappresentato dall'insieme di tutti i
possibili sottoinsiemi di S ed ha cardinalità
2k .
• lancio di una moneta
Spazio Campionario : S = {T, C}
sottoiniemi possibili di S : O
/ , {T}, {C}, S
numero totale di eventi = 4
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Esempi
• lancio di un dado (cont.)
sottoiniemi possibili di S :
Spazio Campionario : S = {1,2,3,4,5,6}
{1}, {2}, {3},L
{1,2}, {1,3}, {1,4},L
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Esempi
• lancio di un dado
sottoiniemi possibili di S :
0/
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n ° eventi
1
6
15
11
{1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5},L
{1,2,3,4}, {1,2,3,5},L
{1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,6},L
{1,2,3,4,5,6}
numero totale di eventi = 64
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n ° eventi
20
15
6
1
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Diagrammi di venn
Diagrammi di Venn
• Le relazioni dell'algebra degli eventi vengono
illustrate su un piano mediante grafici
caratteristici detti Diagrammi di Venn nei quali lo
spazio campionario viene disegnato come un
rettangolo all'interno del quale vengono posti
insiemi chiusi che rappresentano gli eventi. Non
interessa l'esatto contorno, quanto piuttosto le
mutue relazioni fra di essi e con lo spazio
campionario.
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Spazio Campionario
S
A
D
B
S
A∪B
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I postulati del Calcolo delle Probabilità
I. Positività: La Probabilità di un evento A è un numero
unico maggiore di 0: P(A)≥0.
A
II.Certezza: La Probabilità dell’evento certo e
quindi dello Spazio Campionario S è sempre 1:
S
A
S
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Diagrammi di venn
A
B
A
P(I)=P(S)=1.
A∪B∪C∪D = S
B
C
S
III. Unione: Se A e B sono eventi incompatibili, allora
la probabilità della loro unione è la somma delle singole
probabilità di A e B:
A∩B∩C∩D = O
/
A∩B = O
/ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
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Modello Probabilistico
S
A
B
• Consiste nell'insieme ipotizzato dei
risultati possibili di una prova e nella
descrizione delle probabilità assegnate a
tali risultati.
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C
.
D
E
0
U no spazio cam pionario S al quale viene
associata una funzione di probabilità P(.)
è chiam ato spazio probabilistico.
• Spazio Campionario S: E' l'insieme di
tutti i risultati possibili dell'esperimento.
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P(evento)
Quando l’assegnazione delle probabilità ad eventi
soddisfa i tre postulati, la funzione P(evento) viene
definita funzione di probabilità.
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I Teoremi Fondamentali
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I Teoremi Fondamentali
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(cont.)
Generalizzazione al caso di 3 eventi
P(O
/)=0
P(A) = 1 - P(A)
P(A ∪ B ∪ C) =
= P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) -
Teorema delle Probabilità Totali
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
− P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
A
A
B
B
A∩B
S
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C
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S
A ∩B∩C
B∩C
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Probabilità Condizionata
Indipendenza Stocastica
• La probabilità dell'evento B, dato che si è
verificato l'evento A, è il rapporto fra la
probabilità del contemporaneo verificarsi di A
e B e la probabilità di A, se questa è diversa
da zero:
P(A ∩ B)
P(A) ≠ 0 ⇒ P(B | A) =
• Due Eventi A e B sono Stocasticamente
Indipendenti se:
P(A | B) = P(A)
oppure
P(A)
P(A ∩ B) = P(A) • P(B)
Teorema delle Probabilità Composte
P(A ∩ B) = P(A | B) • P(B) = P(A) • P(B | A)
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