UNA VERIFICA NUMERICA DELLE IMPEDENZE LONGITUDINALI
DI ACCOPPIAMENTO NEGLI ACCELERATORI DI PARTICELLE
D. Assante, L. Verolino
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
Università Federico II di Napoli
Via Claudio, 21 I-80125 Napoli
In questa memoria è proposta una verifica numerica delle impedenze longitudinali negli
acceleratori di particelle. L’impedenza di accoppiamento è una parametro globale che riveste
un ruolo fondamentale nella progettazione degli acceleratori, in quanto descrive l’interazione
il fascio di particelle e la struttura circostante. La componente più significativa di tale
impedenza è quella longitudinale, così definita [1, 2]:
+∞
1
Z|| (k ) = − ∫ E z ( r = 0, z) e jk z β dz
q −∞
essendo Ez(r = 0,z) la componente longitudinale del campo diffuso dalla struttura, k il numero
d’onda, β = v/c. La parte reale dell’impedenza longitudinale è legata alle perdite che si hanno
durante il moto del fascio e consente di predire la stabilità del fascio stesso.
In letteratura esistono diverse tecniche semi-analitiche per determinare tale parametro. Il
mode-matching è stato largamente utilizzato per geometrie chiuse, mentre le formulazioni
integrali sono generalmente preferite per geometrie aperte [3]. Inoltre in passato sono stati
sviluppati vari software numerici dedicati, tipo ABCI e TBCI. Tali software comunque
imponevano dei vincoli abbastanza restrittivi alle simulazioni realizzabili, ad esempio
funzionando solo per β = 1.
In questa memoria si vuole proporre l’uso del software commerciale COMSOL per la
simulazione di acceleratori di particelle. Trattasi di un software numerico agli elementi finiti,
realizzato per la soluzione di generiche equazioni differenziali alle derivate parziali: non è
quindi un software dedicato.
Proprio questo aspetto, che potrebbe apparire una debolezza, consente di effettuare
simulazioni di varia natura. Il codice COMSOL consente infatti di definire delle variabili
generiche, sfruttando il simbolismo di Matlab, e di utilizzarle per la soluzione dei problemi. In
tal modo è possibile definire una funzione pari al campo di una particella viaggiante nel
vuoto, imponendo poi come condizione al contorno sulle pareti metalliche che la componente
tangente del campo elettrico sia uguale ed opposta alla funzione suddetta. Tale operazione
consente di non dover discretizzare la particella nella geometria, rendendo più semplice il
calcolo della soluzione. Inoltre, come risultato si ottiene direttamente il campo elettrico
diffuso dalla struttura e non quello totale, così che il calcolo dell’impedenza longitudinale
risulta più rapido.
Un’altra operazione che può essere effettuata per migliorare la convergenza della soluzione
consiste nel tener conto che tutti i campi hanno una dipendenza del tipo e jk z β a fattor comune.
COMSOL, essendo un generico solutore di equazioni differenziali, consente di modificare le
equazioni del modello. Per questo, fattorizzando il termine e jk z β e modificando
opportunamente tutte le equazioni del modello, è possibile eliminare dalla soluzione questo
contributo. Ciò è utile al crescere della frequenza, in quanto si elimina una variazione spaziale
del campo che di fatto condiziona fortemente la finezza della mesh. Con tale operazione è
possibile utilizzare mesh infittite solo in prossimità delle discontinuità, con evidenti vantaggi
per il costo computazionale.
In figura 2 è presa in considerazione una geometria classica presente negli acceleratori di
particelle: lo “step-out”. Trattasi di un brusco aumento del raggio della camera a vuoto
metallica che contiene il fascio. Il brusco spostamento radiale delle cariche immagine che si
inducono sulla struttura esterna produce un effetto sul fascio che è tenuto in considerazione
dall’impedenza di accoppiamento. In figura 3 si mostra la parte reale dell’impedenza
longitudinale normalizzata, relativamente a tale struttura, calcolata sia con una tecnica di
mode-matching che con il solutore numerico COMSOL. Per la simulazione si è scelto il
raggio minore della struttura pari a 34 mm, il raggio maggiore pari a 68 mm, β = 0.1.
1000
Mode-matching
COMSOL
Real(Z||)
800
600
400
200
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
ka
Figura 1: lo “step- out”, una classica
discontinuità in un acceleratore di particelle.
Figura 2: impedenza longitudinale
normalizzata di uno step-out.
Come è evidente dai risultati mostrati, il codice numerico COMSOL consente di calcolare
accuratamente l’impedenza longitudinale di strutture presenti in acceleratori di particelle. Al
crescere della velocità della particella e/o della frequenza si manifestano tuttavia delle
instabilità numeriche che compromettono la qualità del risultato. Si ritiene che ciò sia dovuto
essenzialmente alla costruzione delle mesh ed alle condizioni al contorno alle terminazioni
della struttura. Attualmente sono allo studio delle tecniche per superare questi problemi ed
estendere il range di frequenze e di velocità in cui il codice fornisce risultati affidabili.
Bibliografia
[1] L. Palumbo, V. G. Vaccaro, and M. Zobov, Wake felds and impedance, Laboratori
Nazionali di Frascati, Report No. LNF-94/041, 1994.
[2] S. A. Heifets and S. A. Kheifets, Rev. Mod. Phys., 63(3), 631 (1991).
[3] D. Assante, D. Davino, S. Falco, F. Schettino, L. Verolino, “Coupling Impedance of a
Charge Traveling in a Drift Tube”, IEEE Trans. on Mag., Vol. 41, No. 5, Maggio 2005.
