Elementi di Economia I - 10. Teoria dei giochi e oligopolio

Teoria dei giochi
Oligopolio
Modelli statici di oligopolio
Elementi di Economia I
10. Teoria dei giochi e oligopolio
Giuseppe Vittucci Marzetti1
Corso di laurea in Sociologia
Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale
Università degli Studi di Milano-Bicocca
A.A. 2015-16
1 Dipartimento di Sociologia e Ricerca Sociale, Università degli Studi di Milano-Bicocca, Via
Bicocca degli Arcimboldi 8, 20126, Milano, E-mail: [email protected]
Giuseppe Vittucci Marzetti
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Layout
1
Teoria dei giochi
Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
2
Oligopolio
3
Modelli statici di oligopolio
Duopolio di Cournot
Duopolio di Bertrand
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Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Cos’è la teoria dei giochi
Teoria dei giochi
Branca dell’economia che studia le scelte di soggetti razionali in contesti
strategici
Soggetto razionale è un agente in grado di:
valutare le conseguenze di ogni propria azione;
esprimere un sistema coerente di preferenze su tali conseguenze;
selezionare la scelta cui è associata la conseguenza preferita.
Un contesto di scelta è strategico quando le conseguenze di
un’azione per un soggetto dipendono, oltre che dalle sue scelte, ma
anche dalle scelte compiute da altri soggetti razionali.
Nascita della moderna teoria dei giochi comunemente fatta risalire al
1944, anno di pubblicazione del libro Theory of Games and
Economic Behavior di John von Neumann e Oskar Morgenstern.
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Elementi del gioco, funzione di risposta ottima ed equilibrio di Nash
Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Definizione di gioco
Per caratterizzare un gioco necessario definire gli elementi del gioco:
giocatori (players);
strategie (strategies), ovvero possibili azioni di ogni giocatore;
guadagni/perdite (payoffs) di ogni giocatore in ogni combinazione
possibile di strategie (strategy profile).
In termini formali, un gioco generico Γ in forma normale è definito
come:
Γ = h N , {S1 , S2 , . . . , SN }, {u1 , u2 , . . . , uN } i
dove
N = {1, 2, . . . , N} è l’insieme dei giocatori;
Si (i ∈ N ) è l’insieme delle strategie del giocatore i;
ui (.) (i ∈ N ) è la payoff function del giocatore i, ovvero la funzione
che associa ad ogni possibile combinazione strategica (strategy
profile) il payoff del giocatore i, cioè un numero che misura il
guadagno del giocatore.
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Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Un classico esempio: il dilemma del prigioniero
Due giocatori: N = {A, B};
Strategie: SA = SB = {D, C };
Funzioni dei payoff:
uA (D, D) = −5, uA (D, C ) = 0, uA (C , D) = −7, uA (C , C ) = −1;
uB (D, D) = −5, uB (D, C ) = −7, uB (C , D) = 0, uB (C , C ) = −1;
B
A
D
D
−5,−5
C
0,−7
C
−7, 0
−1,−1
Tabella: Matrice dei payoff
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Funzione di risposta ottima
Risposta ottima (best reply, o best response) di un giocatore:
strategia che massimizza il payoff del giocatore, date e costanti le
strategie degli altri giocatori.
Es.: la risposta ottima di A quando B non rispetta i patti (sB = D)
è non rispettare i patti (sA = D);
Di fatto, in questo caso D è strategia dominante: la risposta ottima
del giocatore qualunque sia la strategia dell’altro giocatore;
Funzione di risposta ottima (best reply function) del giocatore i:
funzione che, ad ogni combinazione strategica degli altri giocatori,
associa la risposta ottima di i:
bi (s−i ) = argmax ui (si , s−i )
si ∈Si
dove s−i indica le strategie giocate da tutti i giocatori escluso i;
Es.: la funzione di risposta ottima di A è bA (C ) = bA (D) = D.
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Equilibrio di Nash
Equilibrio di Nash: profilo strategico (s) tale
che la strategia di ogni giocatore è una
risposta ottima alle strategie degli altri:
si∗ ∈ bi (s∗−i ),
∀i ∈N
Definizione equivalente:
ui (si∗ , s∗−i ) ≥ ui (si , s∗−i ), ∀ si ∈ Si , ∀ i ∈ N
In un equilibrio di Nash nessun giocatore ha
incentivo a deviare;
Nel dilemma del prigioniero l’unico equilibrio
di Nash è s∗ = (D, D).
John Forbes Nash Jr.
(1928–2015)
Nobel Memorial Prize in
Economics 1994
Nel 1994 Nobel per le Scienze Economiche assegnato a J. Harsanyi, J. Nash e R.
Selten “per l’analisi pionieristica degli equilibri nella teoria dei giochi non cooperativi”.
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Giochi in forma estesa
Nei giochi in forma normale (strategic form) i giocatori agiscono
simultaneamente;
Nei giochi dinamici le scelte sono effettuate in un determinato
ordine temporale;
La rappresentazione dei giochi dinamici—in forma estesa (extensive
form)—utilizza una struttura ad albero:
ciascun vertice rappresenta un punto di decisione per un giocatore;
le ramificazioni sono le azioni che il giocatore può compiere;
a ciascun vertice finale è associato un vettore di payoff.
P1
P2
a12
P1
a31
(.,.)
a11
a21
a22
P1
a32
a41 a51
(.,.) (.,.)
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a61
(.,.)
P2
a42
(.,.)
(.,.)
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Equilibri di Nash e minacce non credibili
La nozione di equilibrio di Nash non riesce ad escludere i casi di
minacce non credibili (non credible threats).
Esempio:
un’impresa (E ) deve decidere se entrare (IN) o non entrare (OUT )
in un mercato;
l’incumbent (I ) deve decidere se ingaggiare una guerra dei prezzi (F )
o non ingaggiarla (A);
due equilibri di Nash: (OUT ,F ) e (IN,A);
(OUT ,F ) contiene tuttavia una minaccia non credibile: una volta
che E è entrato ad I non conviene guerreggiare.
E
I
E
IN
F
-1,-1
A
1,1
OUT
0,2
0,2
IN
F
(-1,-1)
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OUT
I
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A
(0,2)
(1,1)
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Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
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Equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
In base al principio di razionalità sequenziale,
la strategia di un giocatore dovrebbe
specificare risposte ottime ad ogni nodo
dell’albero.
Secondo la definizione di Selten, un equilibrio
di Nash è perfetto nei sottogiochi (Subgame
Perfect Nash equilibrium, SPNE) se le
strategie di equilibrio costituiscono un
equilibrio di Nash in ciascun sottogioco;
Sottogioco (subgame): parte del gioco in
forma estesa che inizia in un nodo (contenuto
in un insieme di informazione di cui è l’unico
elemento) e contiene tutti i nodi che seguono.
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Reinhard Selten (1930)
Nobel Memorial Prize in
Economics 1994
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Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Per eliminare gli equilibri di Nash non perfetti nei sottogiochi
possibile usare l’induzione a ritroso (backward induction):
1
2
3
vai agli ultimi nodi di decisione e seleziona le risposte ottime dei
giocatori cui spetta muovere in ciascuno di quei nodi;
vai in ciascuno dei nodi precedenti e seleziona la risposta ottima sulla
base delle strategie individuate nel passaggio 1;
continua il processo fino a giungere al nodo iniziale.
E
IN
OUT
I
F
(-1,-1)
A
(0,2)
(1,1)
Figura: Equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi nel gioco di entrata
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Giochi e supergiochi
Supergioco
Sequenza di giochi giocati da uno stesso insieme di giocatori.
Supergiochi con dipendenza temporale
Supergioco in cui i payoff di ogni gioco costituente (stage game) in una
fase t dipendono dalla successione delle strategie giocate dai giocatori
nelle fasi precedenti.
Giochi ripetuti
Supergiochi in cui il gioco costituente è lo stesso in ogni fase.
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Dilemma del prigioniero ripetuto
In ciascuno di T periodi due giocatori (A e B) giocano un dilemma
del prigioniero come quello in tabella;
Giocatori impazienti scontano i payoff futuri ad un tasso δ
(0 < δ < 1);
Payoff di ogni giocatore dato dal flusso scontato dei payoff generati
in ciascun gioco costituente:
Gi = ui (s1,0 , s2,0 ) + δui (s1,1 , s2,1 ) + . . . + δ T ui (s1,T , s2,T )
=
T
X
δ t ui (s1,t , s2,t )
t=0
B
A
D
D
d,d
C
w ,l
C
l,w
c,c
Tabella: Matrice dei payoff (l < d < c < w )
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Trigger strategy ed equilibri di Nash Pareto-ottimali
Passare dal dilemma del prigioniero semplice a quello ripetuto fa
emergere possibili equilibri cooperativi (C , C ) nel gioco costituente;
Trigger strategy (strategia del grilletto) (Friedman, 1971): ogni
giocatore i ∈ N S
inizia giocando C ;
continua a giocare C fino a quando l’altro gioca C ;
gioca D per sempre in caso contrario.
La strategia del grilletto sostiene un equilibrio di Nash
P se,t per
ciascun giocatore, i guadagni della cooperazione ( ∞
t=0 δ c) sono
maggiori di quelli
della
defezione
e
conseguente
punizione
da parte
P∞
dell’altro (w + t=1 δ t d), cioè se:
!
∞
∞
X
X
c
δd
t
t
δ c− w+
δd =
−w −
≥0
1−δ
1−δ
t=0
t=1
δ≥
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w −c
w −d
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Folk theorem
In base ad una popolare versione debole del folk theorem, nei giochi
ripetuti, se gli agenti non sono troppo impazienti esistono sempre
profili strategici che in equilibrio supportano miglioramenti paretiani
rispetto ad equilibri di Nash statici, cioè relativi al gioco costituente,
subottimali;
Folk theorem (Friedman, 1971)
Sia s∗ un equilibrio statico con payoff u∗ . Per ogni vettore di payoff u
tale che ui ≥ ui∗ per tutti i giocatori i, esiste un δ̄ < 1 tale che, per ogni
δ > δ̄, c’è un equilibrio perfetto nei sottogiochi con payoff u.
Intuizione: con giocatori pazienti e gioco ripetuto per un numero
infinito di volte, qualsiasi guadagno finito di un periodo annullato da
una anche piccola perdita di utilità in ciascun periodo futuro.
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Giochi in forma estesa ed equilibri di Nash perfetti nei sottogiochi
Equilibri perfetti nei sottogiochi e induzione a ritroso
Giochi ripetuti e folk theorem
Giochi ripetuti un numero finito di volte e paradosso della
catena di vendita
In caso di dilemma del prigioniero ripetuto un numero finito di volte,
unico equilibrio di Nash quello di non cooperazione (dimostrazione
via backward induction):
Nell’ultimo periodo non ci sarà nessun vantaggio a non deviare
dall’equilibrio cooperativo;
Allora neanche nel periodo precedente potrà esserci qualche
vantaggio a non deviare;
...
Nel primo periodo non ci sarà nessun incentivo a deviare....
Proposizione dimostrata da Selten (1978) e anche nota come
paradosso della catena di vendita (chain store paradox).
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Oligopolio
I mercati oligopolistici sono mercati in cui opera un numero limitato
di imprese che interagiscono tra loro in modo strategico;
Diversamente da quanto avviene per la concorrenza perfetta e il
monopolio, non esiste un unico modello di oligopolio;
I modelli di oligopolio si differenziano per:
modalità di interazione strategica tra le imprese:
competizione sulle quantità vs. competizione sui prezzi;
concorrenza simultanea vs. sequenziale.
omogeneità/eterogeneità dei beni offerti;
omogeneità/eterogeneità delle imprese presenti sul mercato.
Il duopolio è un oligopolio con due sole imprese.
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Duopolio di Cournot
Duopolio di Bertrand
Modelli statici di oligopolio
Modelli di oligopolio statico più noti:
modello di Cournot: competizione sulle
quantità (quantity competition);
modello di Bertrand: competizione sui prezzi
(price competition).
Antoine Augustin
Cournot
(1801-1877)
Joseph Louis François
Bertrand
(1822-1900)
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Duopolio di Cournot
Duopolio di Bertrand
Duopolio di Cournot
Due imprese (i = {1, 2}) competono per lo stesso mercato;
Funzione di domanda inversa lineare:
p(Q) = a − b Q = a − b (q1 + q2 )
con a e b parametri positivi.
Ciascuna impresa ha costi unitari costanti (c) e sceglie la quantità
da produrre (qi ) per massimizzare i profitti:
πi (qi , qj ) = (p(Q) − c) qi = a − b (qi + qj ) − c qi
Condizioni del primo ordine:
∂πi (qi , qj )
= a − c − bqj − 2bqi = 0
∂qi
Funzione di risposta ottima (o di reazione) dell’impresa i:
qi∗ =
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a−c
qj
−
2b
2
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Duopolio di Cournot
Duopolio di Bertrand
Equilibrio nel duopolio di Cournot: soluzione algebrica
Equilibrio di Nash:
(
q1∗
q2∗
=
=
a−c
2b
a−c
2b
−
−
q2∗
2
q1∗
2
Quantità di equilibrio:
q1∗ = q2∗ =
a−c
3b
Output totale:
Q ∗ = q1∗ + q2∗ =
a−c
2(a − c)
>
= qm
3b
2b
Prezzo di equilibrio:
p∗ = a − b Q ∗ = a − b
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a + 2c
a+c
2(a − c)
=
<
= pm
3b
3
2
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Duopolio di Cournot
Duopolio di Bertrand
Equilibrio nel duopolio di Cournot: soluzione grafica
q2
a−c
b
Curva di reazione dell’impresa 1
a−c
2b
E
Curva di reazione dell’impresa 2
a−c
2b
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a−c
b
q1
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Duopolio di Cournot
Duopolio di Bertrand
Duopolio di Bertrand
Due imprese (i = {1, 2}) competono nello stesso mercato;
Ciascuna impresa i fissa il suo prezzo (pi ) e ha costi medi unitari
costanti c;
Funzione di domanda lineare:
Q = A − B min(p1 , p2 )
con A e B parametri positivi.
Payoff dell’impresa i:

0
se

i
πi (pi , pj ) =
(pi − c) Q2 = (pi − c) A−Bp
se
2

(pi − c)Q = (pi − c)(A − Bpi ) se
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pi > pj
pi = pj
pi < pj
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Duopolio di Bertrand
Equilibrio nel duopolio di Bertrand
Funzione di risposta ottima dell’impresa i:
pi∗
pi∗
pi∗
pi∗
dove pm =
A+Bc
2B
=
=
≥
>
pm
pj − ǫ
pj
pj
se
se
se
se
pj > pm
c < pj ≤ pm
c = pj
c > pj
è il prezzo di monopolio.
Unico equilibrio di Nash:
p1 = p2 = c
Quando le imprese competono sul prezzo e i beni sono
perfettamente omogenei, l’equilibrio nel duopolio coincide con quello
di concorrenza perfetta.
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