Appunti di Algebra Lineare e Geometria Analitica

Facoltá di Ingegneria
Universitá degli Studi di Messina
Vincenzo De Filippis
Appunti di Algebra Lineare e
Geometria Analitica
Anno Accademico 2006 - 2007
ii
Questi appunti nascono da note personali e vari elaborati prodotti in occasione delle lezioni proposte in aula agli studenti della Facoltá di Ingegneria
dell’Universitá di Messina. Non essendone stato, fin dall’inizio, previsto il
presente utilizzo, non si é adeguatamente curata la raccolta delle fonti bibliografiche. Il sottoscritto, unico responsabile, si scusa con gli Autori e gli
Editori per le eventuali mancanze in merito ed invita chiunque a segnalargli
le fonti che fosse in grado di riconoscere.
Vincenzo De Filippis
Indice
1 Prime nozioni di Algebra.
1.1 Strutture algebriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Relazioni d’equivalenza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 I vettori geometrici.
2.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Somma e prodotto per uno scalare. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Combinazioni lineari e componenti in un riferimento ortogonale.
2.4 Prodotto scalare e proiezione su una retta. . . . . . . . . . . . . .
2.5 Prodotto vettoriale e componente rispetto ad un piano. . . . . .
2.6 Prodotto misto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Le matrici.
3.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Prodotto righe per colonne. . . . . . . . . .
3.3 Determinanti. . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Dipendenza ed indipendenza tra righe. . . .
3.5 Rango di una matrice. . . . . . . . . . . . .
3.6 Le matrici elementari. . . . . . . . . . . . .
3.7 Trasposta di una matrice, matrici invertibili
3.8 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
7
7
7
8
9
10
12
15
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
18
19
22
23
27
30
32
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
41
44
46
50
spazi vettoriali.
Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intersezione, unione e somma di sottospazi. . . . . . . . . . . . . .
Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. . . . . . . . . . . . . . .
53
53
55
58
4 I sistemi lineari.
4.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Sistemi omogenei. . . . . . . . . . . . .
4.3 Metodo di Cramer per la risoluzione di
4.4 Metodo di eliminazione di Gauss. . . .
4.5 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Gli
5.1
5.2
5.3
1
1
3
. .
. .
un
. .
. .
.
.
.
.
.
.
e
.
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
matrici simili.
. . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
sistema lineare.
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
iv
Indice
5.4
5.5
5.6
5.7
Una nota sull’intersezione di sottospazi vettoriali.
Formula di Grassmann. . . . . . . . . . . . . . .
Cambiamento di base in uno spazio vettoriale. . .
Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
63
65
69
73
6 Prodotti scalari, spazi euclidei e basi ortonormali.
6.1 Prodotto interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Processo di ortonormalizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
77
7 Le applicazioni lineari.
7.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Applicazioni lineari e matrici. . . . . . . . . . .
7.3 Endomorfismi e cambiamento di base. . . . . .
7.4 Autovalori ed autovettori di un endomorfismo.
7.5 Endomorfismi diagonalizzabili. . . . . . . . . .
7.6 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81
81
84
97
101
106
117
8 La forma canonica di Jordan.
121
8.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2 Numero totale di blocchi relativi ad uno stesso autovalore. . . . . . 123
8.3 Ordine massimo di un blocco in matrici con un unico autovalore. . 126
8.4 Numero di blocchi di uno certo ordine relativi ad uno stesso autovalore.127
8.5 Il polinomio minimo di una matrice (o di un endomorfismo). . . . . 131
8.6 Autospazi generalizzati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.7 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9 Le forme bilineari e le forme quadratiche reali.
9.1 Introduzione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Forme bilineari e matrici. . . . . . . . . . . . . .
9.3 Forme quadratiche. . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Cambiamento di base. . . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Metodo per la diagonalizzazione. . . . . . . . . .
9.6 Esercizi svolti sulla diagonalizzazione. . . . . . .
9.7 Criteri di positivitá. . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
145
145
146
148
150
151
157
171
173
10 Spazio affine ed euclideo.
175
10.1 Spazio affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.2 Spazio euclideo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Indice
v
11 Geometria nel piano affine ed euclideo
11.1 Equazioni di una retta. . . . . . . . . .
11.2 Reciproca posizione di due rette. . . .
11.3 Fascio di rette. . . . . . . . . . . . . .
11.4 Angoli e distanze nel piano euclideo. .
11.5 Simmetrie. . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6 Coordinate omogenee nel piano. . . . .
11.7 La circonferenza. . . . . . . . . . . . .
11.8 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
177
177
179
179
181
182
183
185
188
.
.
.
.
189
189
190
191
194
13 Curve algebriche piane e punti multipli.
13.1 Intersezione di due curve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Molteplicitá di un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Calcolo dei punti doppi di una curva. . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
195
195
197
14 Le coniche.
14.1 Definizione. . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Intersezione di una conica ed una retta.
14.3 Polaritá rispetto ad una conica. . . . . .
14.4 Classificazione di una conica. . . . . . .
14.5 Fascio di coniche. . . . . . . . . . . . . .
14.6 Diametri e centro di una conica. . . . .
14.7 Classificazione delle coniche proiettive. .
14.8 Classificazione delle coniche euclidee. . .
14.9 Fuochi di una conica. . . . . . . . . . . .
14.10Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
199
199
200
201
202
203
204
206
207
220
222
.
.
.
.
.
.
225
225
226
227
227
228
229
12 Trasformazioni nel piano euclideo.
12.1 Traslazioni. . . . . . . . . . . . . .
12.2 Rotazioni. . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Rototraslazioni. . . . . . . . . . . .
12.4 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15 Rette e piani nello spazio affine ed euclideo.
15.1 Equazioni di un piano. . . . . . . . . . . . . .
15.2 Reciproca posizione di due piani. . . . . . . .
15.3 Fascio di piani. . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Stella di piani. . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5 Equazioni di una retta. . . . . . . . . . . . . .
15.6 Rette complanari. . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
vi
Indice
15.7 Reciproca posizione tra una retta ed un piano.
15.8 Calcolo dei parametri direttori di una retta. . .
15.9 Coordinate omogenee nello spazio. . . . . . . .
15.10Angoli nello spazio euclideo. . . . . . . . . . . .
15.11Distanze nello spazio euclideo. . . . . . . . . . .
15.12Elementi complessi nello spazio. . . . . . . . . .
15.13Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
16 Le quadriche.
16.1 Definizione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Quadriche generali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Quadriche specializzate. . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Quadriche riducibili. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5 Piani ed assi di simmetria delle quadriche generali. . .
16.6 Forma canonica di una quadrica generale con centro di
16.7 Forma canonica di un paraboloide. . . . . . . . . . . .
16.8 Forma canonica di un cono. . . . . . . . . . . . . . . .
16.9 Forma canonica di cilindri a base ellittica e iperbolica.
16.10Forma canonica di cilindri a base parabolica. . . . . .
16.11Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 La sfera.
17.1 Definizione. . .
17.2 Sezioni piane. .
17.3 Fascio di sfere.
17.4 Esercizi. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
230
231
237
238
240
249
253
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
simmetria.
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
255
255
256
259
262
263
266
268
270
271
272
275
.
.
.
.
277
277
278
278
282
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
18 Cenni sulle superfici di rotazione.
283
18.1 Definizione e calcolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
18.2 Esercizi svolti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
19 Appendice: Disegni relativi ai capitoli precedenti
287
1
Prime nozioni di Algebra.
Lo studio dell’Algebra lineare e della Geometria richiede un’introduzione preliminare delle strutture algebriche piú generali. In particolare daremo nel presente
capitolo introduttivo le definizioni di gruppo, anello e campo. Tali strutture saranno in seguito utili per caratterizzare la maggior parte degli oggetti utilizzati, tra
i quali, per esempio, i vettori, le matrici, gli spazi vettoriali, gli omomorfismi, le
trasformazioni piane.
1.1
Strutture algebriche.
Sia G un insieme non vuoto ed ⊕ una operazione binaria chiusa rispetto agli
elementi di G, cioé:
∀x, y ∈ G
x ⊕ y = z ∈ G.
La coppia (G, ⊕) é detta Gruppoide. Data la generalitá delle proprietá soddisfatte
da un gruppoide, é utile arricchire la sua struttura algebrica con ulteriori assiomi.
Diciamo Semigruppo, un gruppoide (G, ⊕) che sia associativo, cioé in cui valga la
seguente proprietá (associativa):
∀x, y, z ∈ G
x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y) ⊕ z.
Un Monoide (G, ⊕) é un semigruppo che sia dotato di un elemento neutro e ∈ G
rispetto all’operazione ⊕:
∃e ∈ G
tale che
∀x ∈ G
e ⊕ x = x ⊕ e = x.
Definizione 1. Un Gruppo (G, ⊕) é una struttura algebrica definita dagli assiomi
del monoide ai quali si aggiunge quello dell’esistenza dell’elemento inverso di ogni
elemento in G. Piú precisamente vale il seguente:
∀x ∈ G
∃y ∈ G
tale che
x⊕y =y⊕x=e
2
1. Prime nozioni di Algebra.
dove e é l’elemento neutro in G.
Un Gruppo é detto commutativo (o abeliano, in onore del matematico norvegese
N. Abel) se vale l’ulteriore seguente proprietá:
∀x, y ∈ G
x ⊕ y = y ⊕ x.
Esempio 1. Gli insiemi Z , Q, lR e C, rispettivamente dei numeri interi, razionali, reali e complessi, formano un gruppo commutativo rispetto all’operazione di
somma, cioé nel caso ⊕ = +. I numeri IN naturali non sono un gruppo rispetto
alla somma, basti pensare al fatto che ogni numero 0 6= n ∈ IN non ammette un
inverso.
Esempio 2. Gli insiemi Q∗ , lR∗ e C∗ , rispettivamente dei razionali senza lo ’zero’,
reali senza lo ’zero’ e complessi senza lo ’zero’, formano un gruppo commutativo
rispetto all’operazione di prodotto, cioé nel caso ⊕ = ×. L’eliminazione dello ’zero’
é essenziale in quanto tale elemento non avrebbe l’inverso rispetto al prodotto.
Esempio 3. L’insieme di tutte le applicazioni biettive di un insieme in sé stesso forma un gruppo non commutativo rispetto all’operazione di composizione tra
applicazioni, cioé nel caso in cui l’operazione tra due applicazioni f, g é definita
come segue: (f ⊕ g)(x) = f (g(x)).
Definizione 2. Sia A un insieme dotato di due operazioni interne ⊕ e ⊗. Il
sistema (A, ⊕, ⊗) é detto Anello se valgono i seguenti assiomi:
1. (A, ⊕) é un gruppo commutativo;
2. (A, ⊗) é un semigruppo;
3. vale la proprietá distributiva dell’operazione ⊗ rispetto a ⊕:
∀x, y, z, ∈ A
x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z).
Osserviamo che non é richiesto che un anello possegga l’elemento neutro rispetto alla seconda operazione ⊗ (se tale elemento esiste l’anello é detto unitario).
Inoltre non é detto che valga la proprietá commutativa rispetto a ⊗, se essa vale
l’anello é detto commutativo.
Ancora rispetto all’operazione ⊗, non é richiesta la validitá della legge di annullamento del prodotto. In altre parole, il fatto che x ⊗ y = 0 non implica necessariamente che x = 0 oppure y = 0.
Infine non é richiesta l’esistenza di un elemento inverso per ciascun x ∈ A, rispetto
all’operazione ⊗.
1.2. Relazioni d’equivalenza.
3
Esempio 4. L’insieme Z rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto, cioé
nel caso ⊕ = + e ⊗ = × é un anello unitario in cui vale la legge di annullamento del prodotto, ma in cui non esiste l’elemento inverso rispetto alla seconda
operazione.
Esempio 5. L’insieme mZ
Z = {n ∈ Z : n sia multiplo di m} é un anello rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto, ma non é unitario eccetto nel caso
in cui m ∈ {−1, +1}.
Esempio 6. In seguito vedremo un esempio di anello in cui non vale la legge
di annullamento del prodotto rispetto alla seconda operazione: é l’insieme delle
matrici quadrate di un dato ordine, in cui vengano definite le opportune operazioni.
Per la comprensione di tale esempio, rimandiamo al Capitolo relativo alle Matrici
(capitolo 3).
Definizione 3. Sia (A, ⊕, ⊗) un anello. Nel caso in cui (A∗ , ⊗) sia un gruppo,
diremo che (A, ⊕, ⊗) é un Corpo. Se a questo si aggiunge la proprietá commutativa
rispetto alla seconda operazione ⊗ (cioé se (A∗ , ⊗) é un gruppo commutativo)
allora (A, ⊕, ⊗) é detto ’corpo commutativo’ o equivalentemente ’campo’
Esempio 7. Se definiamo le usuali operazioni di somma e prodotto in Q, lR e C,
essi hanno la struttura di corpi commutativi. Sono anche detti campi ’scalari’, ed
ogni loro elemento x puó essere chiamato ’scalare’.
1.2
Relazioni d’equivalenza.
Siano A e B due insiemi non vuoti. Si definisce prodotto cartesiano A×B, l’insieme
di tutte le coppie ordinate di tipo (a, b), tali che a ∈ A e b ∈ B:
A × B = {(a, b)
:
a ∈ A,
b ∈ B}.
Nel caso in cui i due insiemi A e B posseggano un numero finito di elementi, la
cardinalitá (o potenza) dell’insieme A × B é data dal prodotto delle cardinalitá dei
due insiemi che intervengono nel prodotto cartesiano.
Definizione 4. Una relazione é una terna (A, B, R) in cui A e B siano due insiemi
non vuoti e R sia un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B. Usualmente per
indicare una relazione tra gli insiemi A e B si preferisce utilizzare il semplice
simbolo R (sottointendendo la terna (A, B, R)). Per indicare che due elementi
a ∈ A e b ∈ B sono in relazione tra loro, si scrive aRb oppure (a, b) ∈ R.
4
1. Prime nozioni di Algebra.
Esempio 8. Siano A = {2, 3, 7}, B = {1, 5, 7, 9}. Si definisca R nel seguente
modo:
(a, b) ∈ R ⇐⇒ a > b.
Le coppie ordinate di elementi che soddisfano la relazione sono le seguenti:
R = {(2, 1), (3, 1), (7, 1), (7, 5)}.
Esempio 9. Siano A = B = lR. Si definisca R nel seguente modo:
(a, b) ∈ R ⇐⇒ a + b − 1 = 0.
Le coppie ordinate che soddisfano la relazione sono chiaramente tutte le coppie di
coordinate del piano (x, y) che appartengano alla retta di equazione x + y − 1 = 0.
Ad esempio (2, −1) ∈ R, (−3, 4) ∈ R etc. etc.
Poniamoci nel caso in cui A = B e cosideriamo una qualsiasi relazione (A, A, R):
1. la relazione R si dice riflessiva se, per ogni elemento a ∈ A, la coppia (a, a) ∈
R; si noti ad esempio che nessuna delle due relazioni introdotte negli Esempi
8 e 9 soddisfano alla proprietá di riflessivitá.
2. R é detta simmetrica quando accade che, per ogni a, b ∈ A tali che (a, b) ∈
R anche (b, a) ∈ R; la relazione definita nell’esempio 8 non é simmetrica,
mentre quella introdotta nell’esempio 9 lo é.
3. R é detta transitiva se, per ogni a, b, c ∈ A tali che (a, b) ∈ R ed anche (b, c) ∈
R allora ne segue che (a, c) ∈ R; la relazione all’esempio 8 é transitiva,
mentre la relazione all’esempio 9 non lo é.
Definizione 5. Una relazione R su un insieme non vuoto A é detta equivalenza (o
relazione d’equivalenza) se essa soddisfa alle proprietá di riflessivitá, simmetricitá
e transitivitá.
Nessuna delle relazioni introdotte negli esempi 8 e 9 é una relazione d’equivalenza.
Ecco un classico esempio di relazione d’equivalenza:
Esempio 10. Sia A l’insieme di tutte le rette del piano. Diciamo che due rette
r, s sono in relazione tra loro se esse sono parallele. É evidente che ciascuna
retta r é parallela a se stessa (R é riflessiva). Inoltre se (r, s) ∈ R allora anche
(s, r) ∈ R, poiché nel parallelismo tra rette non é vincolante l’ordine in cui esse
si considerino. Infine se (r, s) ∈ R ed anche (s, t) ∈ R allora le rette r e t sono
ancora parallele, cioé (r, t) ∈ R. Si puó allora pensare di ripartire l’insieme A in