Algebra Numeri Interi (Unimib)

Algebra Numeri Interi
(Unimib)
8 giugno 2017
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Capitolo 1. Numeri Interi
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Capitolo 1
Numeri Interi
1.1 Divisione
Definizione
Sia b un numero intero, allora il modulo di b è b se b è positivo e −b se b è negativo.
Teorema
Siano a, b due interi con b ̸= 0 , allora esistono q, r tali che
a = bq + r, 0 ≤ r < |b|
q si chiama quoziente della divisione a/b e r si chiama resto della divisione.
Dimostrazione
CASO 1: A POSITIVO. Supponiamo che a sia positivo, e sia
S = {a − xb, x ∈ Z, t.c. a − xb ≥ 0}
S ⊂ N , S non è vuoto perché sto assumendo che a sia non negativo e quindi per
x = 0 appartiene a S .
Per il principio del buon ordinamento, dato un sottoinsieme non vuoto di N , esso
ha un minimo. Sia r il minimo di S , allora r ∈ S , cioè r = a − xb per un certo
x , e pongo x = q . Da qui segue che a = bq + r .
Inoltre, r ≥ 0 perché S ⊂ N . Se per assurdo r ≥ |b| , allora segue che
0 ≤ r − |b| = a − bq − |b|
1. Se b ≥ 0 , si ottiene
r − |b| = a − bq − b = a − (q + 1)b
1. se b ≤ 0 , si ottiene invece
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r − |b| = a − bq + b = a − (q − 1)b
e in entrambi i casi, r − |b| ∈ S , e questo è assurdo perché r è minimo di S ,
quindi necessariamente 0 < r < |b| .
CASO 2: A NEGATIVO. Segue che −a è positivo, allora si ritorna nel caso
precedente e si può quindi scrivere
−a = bq + r, q ∈ Z, 0 < r < |b|
−→ a = b(−q) − r
Divido ancora in due casi:
1. se b ≥ 0 , sommo e sottraggo b :
a = b ∗ (−q) − r = b(−q − 1) + b − r
e quindi il retso b − r è compreso tra 0 e |b| .
1. se b ≤ 0 ,
a = b(−q) − r
a = b(−q + 1) + (−b − r)
e 0 < −b − r < |b| .
Proposizione
Tali q e r sono unici.
Dimostrazione
Supponiamo che
a = bq + r, a = bq ′ + r′ , q, q ′ ∈ Z, 0 < r, r′ < |b|
Da bq + r = bq ′ + r′ si ha
(r − r′ ) = b(q ′ − q)
A destra ho un multiplo di b , quindi anche a sinistra dev’esserci un multiplo di
|b| . Siccome il membro di sinistra è ingabbiato fra −|b| + 1 e |b| − 1 , l’unica
possibilità è che sia r − r′ = 0 , cioè r = r′ , da cui q = q ′ .
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1.2 Algoritmo di euclide
1.2.1 Massimo comun divisore
L’algoritmo di Euclide serve per il calcolo del massimo comun divisore tra a e b
, dove a, b non sono entrambi nulli.
Definizione
Un intero d si dice un massimo comun divisore tra a e b , se d | a e d | b (cioè se
è un comun divisore) inoltre se c | a e c | b , allora c | d ( d è massimo).
Definizione
Si dice che a divide b ( a | b ) se b è multiplo di a , cioè
b = a ∗ c, c ∈ Z
Con questa notazione, è vero che 3 | 0 .
Proposizione
Se d, d′ sono entrambi massimi comun divisori di a e b , allora o d = d′ , o d = −d′
.
Dimostrazione
d è un massimo comun divisore quindi per definizione d′ | d , ma anche d′ è un
massimo comun divisore quindi d | d′ . Allora
d′ = d ∗ x, d = d′ ∗ y
ma quindi, inserendo l’espressione di d in quella di d′ , si ha:
d′ = dx = d′ xy
e semplificando per d′ , xy = 1 . Siccome x, y sono interi, il loro prodotto è 1 se
e solo se x = y = 1 oppure x = y = −1 .
Per convenzione, prendiamo come massimo comun divisore quello positivo. Ad
esempio
M.C.D.{−12, 20} = 4.
1.2.2 Osservazioni preliminari per l’algoritmo
Considero a, b interi non entrambi nulli.
Osservo che la definizione di massimo comun divisore è simmetrica rispetto ad a
e b , quindi
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M.C.D.(a, b) = M.C.D.(b, a)
e cambiando segni ai termini l’M.C.D. non cambia. Quindi basta considerare il
caso in cui a e b sono non negativi.
Considero il caso in cui b = 0 . Allora
M.C.D.(a, 0) = a.
Ci si riduce quindi al caso in cui a e b sono entrambi maggiori di 0.
1.2.3 Algoritmo di Euclide
Considero una tabella con tre colonne: le prime due righe sono i vettori (1, 0, a)
e (0, 1, b) e costruiamo le altre righe. Possiamo scrivere
a = bq + r, 0 < r < b
La terza riga si costruisce sottraendo alla prima riga la seconda riga per q volte,
e ottengo
(1, −q, a − bq) = (1, 0, r)
infatti
r = a − bq
Proposizione
M.C.D.(a, b) = M.C.D.(b, r) .
Dimostrazione
Mostro che se pongo d = M.C.D.(a, b) e d′ = M.C.D.(b, r) , segue che d = d′ .
Infatti
d | a, d | b, −→ d | a − bq = r
Segue che d | b e d | r , allora d | d′ . Per la stessa ragione d′ | d , infatti
d′ | b, d′ | r, −→ d′ | bq + r = a
Segue che d′ | b , d′ | a , e allora d′ | d . Per le due relazioni d | d′ e d′ | d , segue
che d = d′ .
La tabella costruita finora è
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1 0 a
0 1 b
1 −q r
Tenendo conto che M.C.D.(a, b) = M.C.D.(b, r) , per costruire le altre righe
itero l’algoritmo applicandolo a b ed r , se b = rq ′ + r′ , la quarta riga si ottiene
sottraendo alla seconda riga la terza moltiplicata per −q ′ , e quindi come quarta
riga avrò (−q ′ , qq ′ , b − q ′ r = r′ ) , e così via, finché non si ottiene un resto uguale
a 0.
Esempio
Sia a = 138 e b = 64 . Allora determino q ed r a ogni passo dell’algoritmo.
a = 138, b = 64,
M.C.D.(a, b) = M.C.D.(b, r1 )
b = 64, r1 = 10
M.C.D.(b, r1 ) = M.C.D.(r1 , r2 ) r1 = 10, r2 = 4
M.C.D.(r1 , r2 ) = M.C.D.(r2 , r3 ) r1 = 10, r2 = 4
M.C.D.(r2 , r3 ) = M.C.D.(r3 , r4 ) r2 = 4, r3 = 2
−→ q1 = 2, r1 = 10
−→ q2 = 6, r2 = 4
−→ q3 = 2, r3 = 2
−→ q3 = 2, r3 = 2
−→ q4 = 2, r0 = 0
Esempio
Sia a = 64 e b = 138 .
a = 64, b = 138 −→ q = 0, r = 64
M.C.D.(64, 138) = M.C.D.(138, 64)
Se inizialmente non si pone a > b , il primo passo riordina i numeri, e poi si
continua come prima.
Considero la tabella costruita e osservo che vale la seguente relazione: per ogni
riga della forma (r1 , r2 , r3 ) , si ha che r1 ∗ a + r2 ∗ b = r3 . Infatti, ad esempio,
per le prime tre righe si ha:
1∗a+0∗b=a
0∗a+1∗b=b
1 ∗ a + (−q) ∗ b = a − bq = r
Suppongo di continuare con l’algoritmo di euclide. Su tutte le righe da costruire,
si preserva la proprietà che il primo coefficiente della riga moltiplicato per a
sommato al secondo moltiplicato per b è uguale al terzo elemento della riga.
Esempio
Costruisco la tabella relativa all’esempio precedente, a = 138 , b = 64 . Aggiungo
una colonna iniziale che serve solo a me, in cui annoto quoziente e resto delle
divisioni successive eseguite, in questa colonna, nell’i-esima riga in particolare
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metto quoziente e resto della divisione tra il terzo elemento della riga i − 2 e
quello della riga i − 1 .
Per costruire l’n-esima riga, moltiplico la riga n − 1 per il quoziente che compare
su quella riga, e la sottraggo alla n − 2 . Quindi
1
0
138
q = 2, r = 10 0
1
64
q = 6, r = 4
1
−2 10
q = 2, r = 2 −6 13
4
q = 2, r = 0 13 −28 2
Osservo che sull’ultima riga ho tutti i resti.
Vale la proprietà per le righe della tabella dimostrata prima, infatti, considerando
ad esempio la terza riga
−6 ∗ 138 + 13 ∗ 64 = −828 + 832 = 4
13 ∗ 138 + (−28) ∗ 64 = 2
1.2.4 Identità di Bezout
Teorema
Dati a, b interi non entrambi nulli, e dato d = M.C.D.(a, b) , esistono x, y interi
tali che
ax + by = d.
Basta osservare che per ogni riga della tabella si ha
r1 ∗ a + r2 ∗ b = r3
L’ultimo elemento dell’ultima riga è uguale al massimo comun divisore, quindi i
coefficienti r1 , r2 su quella riga sono i coefficienti x e y che compaiono nell’identità
di Bezout.
Nel caso di a = 138, b = 64 , si ha d = 2 , x = 13 e y = −28 .
Esempio
a = 4122 e b = 1012 . Trova x, y interi con
ax + by = M.C.D.(a, b)
1
0
4122
q = 4, r = 74
0
1
1012
q = 13, r = 50
1
−4
74
q = 1, r = 24 −13 53
50
q = 2, r = 2
14 −57 24
q = 12, r = 0 −41 167
2
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Non calcolo la riga successiva, perché il resto è 0. Allora x = −41, y = 167 e
m.c.d.(A, B) = 2 .
Esempio
Determinare x, y tali che ax + by = M.C.D.(a, b) con a = 589 e b = 437 .
1
0 589
q = 1, r = 152 0
1 437
q = 2, r = 133 1 −1 152
q = 1, r = 19 −2 3 133
q = 7, r = 0
3 −4 19
quindi M.C.D.(a, b) = 19 , x = 3, y = −4 .
Esempio
Determinare x, y tali che ax + by = M.C.D.(a, b) con a = 5070 e b = 521 .
1
0
5070
q = 9, r = 381,
0
1
521
q = 1, r = 140
1
−9
381
−1
10
140
q = 2, r = 101
q = 1, r = 39
3
−29 101
q = 2, r = 23
−4
39
39
q = 1, r = 16
11
−107 23
q = 1, r = 7
−15
146
16
q = 2, r = 2
26
−253
7
−67
652
2
q = 3, r = 1
q = 2, r = 0
−227 2209
1
I due numeri sono coprimi, x = −227 e y = 2209 .
1.3 Equazioni diofantee
1.3.1 Interi coprimi
Definizione
a e b si dicono coprimi o relativamente primi se M.C.D.(a, b) = 1 .
Osservazione
a e b sono coprimi se e solo se esistono x, y interi con ax + by = 1 .
Dimostrazione
1 −→ 2 : Se d = M.C.D.(a, b) , se a e b sono coprimi, allora per definizione d = 1
, e per l’identità di Bezout, esistono x, y tali che
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ax + by = 1
2 −→ 1 : viceversa, se esistono x, y tali che ax + by = 1 , allora d | a, d | b , e
quindi d divide la combinazione lineare ax + by quindi d | 1 , cioè d = 1 .
1.3.2 Equazioni diofantee
Definizione
Siano a, b, c interi, l’equazione ax + by = c con x, y interi si chiama equazione
diofantea.
Quando c = M.C.D.(a, b) l’equazione diofantea ha soluzioni, e con l’algoritmo di
euclide si trovano x, y che la risolvono.
Regola 1: Se M.C.D.(a, b) | c , ed è uguale a c ∗ λ , allora le soluzioni di ax + by =
M.C.D.(a, b) moltiplicate per λ risolvono ax + by = c .
Regola 2: se il membro di destra è dispari e quello di sinistra è pari, l’equazione
non può avere soluzioni.
Teorema
Siano a, b interi non entrambi nulli. L’equazione ∗ , ax + by = c ha soluzioni se e
solo se d = M.C.D.(a, b) divide c . Se ∗ ha soluzioni (x0 , y0 ) , allora tutte e sole
le soluzioni sono della forma
x = x0 + hb/d, y = y0 − ha/d, h ∈ Z.
Dimostrazione
Sia d = M.C.D.(a, b) e suppongo che l’equazione ∗ ammette una soluzione (x0 , y0 )
. Poiché d | ax0 + by0 si ha d | c .
Viceversa, suppongo che d = M.C.D.(a, b) divida c , allora:
a = âd, b = b̂d c = ĉd.
Dall’Identità di Bezout, segue che esistono due interi α e β tali che valga:
aα + bβ = d.
Quindi la coppia (ĉα, ĉβ) è soluzione di ∗ .
Capitolo 2. Fonti per testo e immagini; autori; licenze
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Capitolo 2
Fonti per testo e immagini;
autori; licenze
2.1 Testo
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2.2 Immagini
2.3 Licenza dell’opera
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