Induzione magne-ca La legge di Faraday-­‐Neumann-­‐Lenz e l’indu7anza Legge di Faraday • Un filo percorso da corrente crea un campo magnetico. Con un
magnete si può creare una corrente? La risposta è naturalmente
si, ma…con alcune accortezze.
• Il frutto di molti anni di osservazioni sperimentali ci porta a dire
che: la condizione imprescindibile per avere una corrente è che il
campo magnetico, che induce questa corrente, sia variabile.
• Indipendentemente da
come si realizza; più è rapida
la variazione più e intensa la
corrente indotta.
• Se il flusso concatenato
aumenta la corrente avrà un
verso, se diminuisce il verso
opposto
Legge di Faraday – Neumann -­‐ Lenz Consideriamo una superficie A delimitata da una spira: il flusso passante
nella spira è: ΦB =∫ B . dA. [Weber = Wb = T . m2].
Naturalmente se B è l ad A ΦB = BA e se B è ll ad A ΦB = 0
dΦB
fem = −
dt
Il segno meno indica che la f.e.m. indotta ha un verso tale da creare un
campo magnetico che si oppone al campo magnetico che l’ha generata
Induzione di un campo ele7rico Se in una spira immersa in un campo magnetico variabile B viene indotta
una corrente nei punti della spira deve esserci un campo elettrico E.
Naturalmente se non c’è la spira il campo elettrico si genera lo stesso a
condizione che il campo magnetico B continui ad essere variabile.
! !
d
E
∫ ⋅ ds = − dt Φ B
Possiamo dire che un campo magnetico variabile produce una f.e.m. (cioè
un lavoro per unità di carica) dato da: f.e.m. = - dΦB/dt. D’altronde il
lavoro che fa il campo elettrico (indotto) su una carica qo è L = qo∫E . ds
quindi:
Indu7anze Come il condensatore confinava un campo elettrico uniforme fra due
armature metalliche, così l’induttore o induttanza confina un campo
magnetico in una ristretta regione di spazio. La corrente che circola nella
spira crea un campo magnetico e tale campo magnetico induce a sua volta
una certa corrente nella spira. Questa è una autoinduzione ed è legata alla
corrente che l’ha prodotta dalla relazione L = NΦB/i
[H = Tm2A-1]
Per un solenoide
NΦ B (nl )(BA) (nl )(µ0in) A
L=
=
=
i
i
i
L
= µ0 n 2 A
l
N
numero di spire
n
densità delle spire
l
lunghezza del solenoide
A
superficie della spira
i
corrente nel filo
B
Intensità del campo
magnetico
µ0
permeabilità magnetica =
4π . 10-7 Hm-1
Circui- RL (1) Nei circuiti capacitivi si è visto che l’applicazione di una
d.d.p. ai capi di un condensatore non implica
l’immediato caricamento del condensatore.
q = C (fem)(1- e –t/RC)
(carica di C)
q = q0 e –t/RC
(scarica di C)
Allo stesso modo una crescita della corrente nel circuito
induttivo fa aumentare la corrente di Lenz che si
oppone all’aumento di correnti in tutto il circuito.
Nella fase di carica il circuito equivalente è un circuito serie formato da una
batteria con fem, una resistenza in serie R e un induttanza L, quindi:
di
−iR − L + fem = 0
dt
La cui soluzione è una funzione crescente di tipo
esponenziale simile a quella che si ottenne per
la carica del condensatore. Sola differenza qui
quello che cresce è la corrente nel condensatore
cresceva la d.d.p.
Circui- RL (2) La soluzione dell’equazione del circuito induttivo sarà analoga a quella del
circuito capacitivo.
Quando poi il circuito potrà essere
attaccato ad una resistenza senza
batteria si realizzerà una condizione
simile alla scarica di un condensatore
fem −t /τ L
i=
e
= i0e−t /τ L
R
fem
i=
(1 − e − t /τ L )
R
L
τL =
R
carica di L
scarica di L
Densità di energia La energia di una induttanza sarà completamente immagazzinata al centro
di un induttore dove il campo magnetico è uniforme
EL
uL =
Al
Li 2 L i 2
uL =
=
2 Al l 2 A
1
B2
2 2
u L = µ0 n i → u L =
2
2µ0
Ricordando che:
L/l è l’induttanza per
unità di lunghezza
B = µ0 i n
uC = ½ ε0E2
Mutua Induzione Come si calcola il fenomeno della mutua
induzione?
M21 è la induzione dovuto alla corrente 1
sulla bobina 2 e vale M21 = N2Φ21/i1 (simile alla L = ΝΦ/ι ) ovvero
M21 i1= N2Φ21. Se consideriamo la variazione di i nel tempo avremo:
di
dΦ 21
M 21 = N 2
dt
dt
f.e.m. = - M21di/dt
(f.e.m.)2 = - Mdi1/dt
Legge di Faraday
Se ripetiamo lo stesso procedimento
scambiando la bobina 1 con la 2 avremo la
stessa cosa quindi M21 = M12 = M
(f.e.m.)1 = - Mdi2/dt
Energia nei circui- LC • Abbiamo visto come
l’energia si
immagazzina nei
condensatori o nelle
induttanze studiando i
circuiti RC ed RL.
• La scala temporale
della carica e della
scarica è legato ad RC
o RL tramite un
esponenziale.
• Combinando un condensatore con una induttanza vedremo che la corrente e la
differenza di potenziale variano sinusoidalmente con periodo T e pulsazione ω.
Oscillazioni LC Un blocco collegato ad una molla ha un moto oscillatorio come la corrente in
un circuito LC.
E = EL + EC = ½ Li2 + ½ Q2/C
E = Kb + Um = ½ mv2 + ½ kx2
dE d ⎡ 1 2 1 2 ⎤
dv
dx
= ⎢ mv + kx ⎥ = mv + kx
=0
dt dt ⎣ 2
2
dt
dt
⎦
m
d2
dt
2
x + kx = 0 ⇒ x = A cos(ωt + φ )
dE d ⎡ 1 2 1 q 2 ⎤
d
q dq
= ⎢ Li +
=0
⎥ = Li i +
dt dt ⎢⎣ 2
2 C ⎦⎥
dt
C dt
L
d2
dt 2
q+
1
q = 0 ⇒ q = Q cos(ωt + φ )
C
La derivata della carica nel tempo è la corrente dq/dt = - ωQsin(ωt+φ)
dove ωQ = I ampiezza massima e quindi i = - Isin(ωt+φ) e la pulsazione
si ricava dalla derivata seconda ovvero d2/dt2 = - ω2Qcos (ωt+φ) che
sostituita nella quadrata da
– Lω2 Qcos(ωt+φ)+1/C Qcos (ωt+φ) = 0
Lω2
= 1/C
à
ω2
= 1/LC
ω = 1/√LC
Corren- alternate Ci si chiede spesso: perché usare la corrente
alternata?
La velocità di deriva degli elettroni è 4 x 10-5
m/s se poi gli si inverte la direzione ogni
centesimo di secondo ogni elettrone si
sposterà al più 4 x 10-7 m, quindi gli elettroni
non si spostano per più di un centinaio di
atomi .
La verità è che con una corrente alternata è possibile l’uso pratico della legge
di Faraday (vedi figura). Facendo ruotare una spira in un campo magnetico la
f.e.m. sarà f.e.m. = (f.e.m.)maxsin (ωgt) con ωg pulsazione. Questa
pulsazione è quella generata dalla rotazione della spira e fornisce una corrente
i = I sin (ωgt – φ)
volendo si potrà usare la frequenza meccanica 2πνg = ωg
Oscillazioni forzate Un circuito RLC è un circuito in cui è possibile avere oscillazioni periodiche
della carica, della tensione o della corrente. La frequenza o meglio la
pulsazione angolare è data da ω = 1/√LC e questa è la pulsazione
propria del circuito.
Esiste però anche la possibilità di imporre
una frequenza estera al circuito, in questo
caso come risponderà il circuito RLC e
come risponderanno i singoli componenti
alle frequenze oscillanti?
Risponderemo studiando le risposte di tre
semplici circuiti. Uno resistivo, uno
capacitivo ed uno induttivo.
Equazioni di Maxwell Legge di Gauss per il campo
elettrico
Legge di Gauss per il campo
magnetico
Legge di Faraday-NeumannLenz
Legge di Ampere + contributo
di Maxwell
int
! Qtot
ΦE =
() ε
!
Φ (B ) = 0
0
!
! !
dΦ B
∫ E ⋅ dl = − dt
!
! !
dΦ E
∫ B ⋅ dl = µ0i + µ0ε 0 dt
()
()
