Induzione magnetica
La legge di Faraday-Neumann-Lenz
e l’induttanza
Legge di Faraday
• Un filo percorso da corrente crea un campo magnetico. Con un
magnete si può creare una corrente? La risposta è no se il campo
magnetico è statico, si se il campo magnetico varia
• Il frutto di molti anni di osservazioni sperimentali ci porta a dire
che: la condizione imprescindibile per avere una corrente è che il
campo magnetico, concatenato al circuito, sia variabile.
• Indipendentemente da
come si realizza la variabilità;
più è rapida la variazione più e
intensa la corrente indotta.
• Se il flusso concatenato
aumenta la corrente avrà un
verso, se diminuisce il verso
opposto
Legge di Faraday – Neumann - Lenz
Consideriamo una superficie A delimitata da
una spira: il flusso passante nella spira è: B
=∫ B . dA. [Weber = Wb = T . m2].
Naturalmente se B è l ad A B = BA e se B
è ll ad A B = 0
dB
fem
dt
Il segno meno indica che la f.e.m. indotta ha un verso tale da creare un
campo magnetico che si oppone al campo magnetico che l’ha generata
Trasferimento di energia
dovuta all’induzione
Indipendentemente da come di realizza la variazione
di flusso concatenato, anche la semplice circolazione
di elettroni indotti nella spira implica un trasferimento
di energia dall’esterno al sistema magnete-spira.
Come valutarla?
Nel caso di figura la potenza è P = Fv. La spira si muove con velocità v e il
campo B concatenato diminuisce, quindi per la legge di Lenz si crea una
corrente che a sua volta, risentendo di B, viene spinta all’interno del campo
B= BA = BLx |fem| = d/dt = d(BLx)/dt = BLv
La corrente indotta sarà i = BLv/R (*) la quale essendo immersa nel campo B
sarà soggetta alla legge di Lorentz Fd = iL x B.
F2 ed F3 sono si annullano, lasciando solo F1 ad opporsi a F, la forza che
tende a spostarla. Quindi
F = i L B sin 90° = i L B sostituendo i con la (*)
B 2 L2v 2
P Fv
R
Lavoro
meccanico
2 2 2
B
Lv
2
Pi R
R
Lavoro
termico
Induzione di un campo elettrico
Se in una spira immersa in un campo magnetico variabile B viene indotta una
corrente nei punti della spira deve esserci un campo elettrico E. Naturalmente
se non c’è la spira il campo elettrico si genera lo stesso a condizione che il
campo magnetico B continui ad essere variabile.
d
E ds dt
B
Possiamo dire che un campo magnetico variabile produce una f.e.m. (cioè un
lavoro per unità di carica) dato da: f.e.m. = - dB/dt. D’altronde il lavoro
che fa il campo elettrico (indotto) su una carica qo è L = qo∫E . ds quindi:
Induttanze
Come il condensatore confinava un campo elettrico uniforme fra due
armature metalliche, così l’induttore o induttanza confina un campo
magnetico in una ristretta regione di spazio. La corrente che circola nella
spira crea un campo magnetico e tale campo magnetico induce a sua volta
una certa corrente nella spira. Questa è una autoinduzione ed è legata alla
corrente che l’ha prodotta dalla relazione L = NB/i
[H = Tm2A-1]
Per un solenoide
N B (nl )( BA) (nl )( 0in ) A
L
i
i
i
L
0 n 2 A
l
N
numero di spire
n
densità delle spire
l
lunghezza del solenoide
A
superficie della spira
i
corrente nel filo
B
Intensità del campo
magnetico
0
permeabilità magnetica =
4p . 10-7 Hm-1
Autoinduzione
Si è visto che se in un circuito la corrente varia si
otterrà una f.e.m. indotta quindi: N B = L i ;
dalla legge di Faraday f.e.m. = - (d/dt) N B
ovvero
di
f .e.m. L
dt
La presenza del segno meno mi indica che se la
corrente aumenta la f.e.m. si oppone a questo aumento
e viceversa se diminuisce la f.e.m. contribuirà ad
aumentare la corrente
Circuiti RL (1)
Nei circuiti capacitivi si è visto che l’applicazione di
una d.d.p. ai capi di un condensatore non implica
l’immediato caricamento del condensatore.
q = C (fem)(1- e –t/RC)
(carica di C)
q = q0 e –t/RC (scarica di C)
Allo stesso modo una crescita della corrente nel circuito induttivo fa
aumentare la corrente di Lenz che si oppone all’aumento di correnti in tutto il
circuito.
Nella fase di carica il circuito equivalente è un circuito serie formato da una
batteria con fem, una resistenza in serie R e un induttanza L, quindi:
di
iR L fem 0
dt
La cui soluzione è una funzione crescente di tipo
esponenziale simile a quella che si ottenne per
la carica del condensatore. Sola differenza, qui
quello che cresce è la corrente, nel
condensatore cresceva la d.d.p.
Circuiti RL (2)
La soluzione dell’equazione del circuito induttivo
sarà analoga a quella del circuito capacitivo
Quando poi il circuito potrà
fem
essere attaccato ad una
i
(1 e t / L )
resistenza senza batteria si
R
realizzerà una condizione
L
simile alla scarica di un
L
R
condensatore
fem t / L
t / L
i
e
i0 e
R
carica di L
scarica di L
Energia di un induttanza
La legge di Kirchhoff ci dice che f.e.m. = iR + Ldi/dt. Se moltiplichiamo
per i avremo
i(f.e.m.) = i2R + Li di/dt
1 2
Li
2
1 q2
EC
2 C
EL
• dove i(f.e.m.) è l’energia che fornisce la
batteria nel unità di tempo
• i2R è la potenza dissipata per effetto joule
• Li di/dt è la potenza accumulata in L
dEL
di
Li dEL Lidi
dt
dt
EL
i
1 2
0 dEL 0 Lidi EL 2 Li
f.e.m.
R
L
Densità di energia
La energia di una induttanza sarà completamente immagazzinata al
centro di un induttore dove il campo magnetico è uniforme
EL
uL
Al
Li 2 L i 2
uL
2 Al l 2 A
2
1
B
u L 0 n 2i 2 u L
2
20
Ricordando che:
L/l è l’induttanza per
unità di lunghezza
B = 0 i n
uC = ½ e0E2
Mutua Induzione
Come si calcola il fenomeno della mutua
induzione?
M21 è la induzione dovuto alla corrente 1
sulla bobina 2 e vale M21 = N221/i1 (simile alla L = N/i ) ovvero
M21 i1= N221. Se consideriamo la variazione di i nel tempo avremo:
di
d 21
M 21 N 2
dt
dt
f.e.m. = - M21di/dt
(f.e.m.)2 = - Mdi1/dt
Legge di Faraday
Se ripetiamo lo stesso procedimento
scambiando la bobina 1 con la 2 avremo la
stessa cosa quindi M21 = M12 = M
(f.e.m.)1 = - Mdi2/dt
Energia nei circuiti LC
• Abbiamo visto come l’energia
si immagazzina nei
condensatori o nelle induttanze
studiando i circuiti RC ed RL.
• La scala temporale della
carica e della scarica è legato
ad RC o RL tramite un
esponenziale.
• Combinando un condensatore con una induttanza vedremo che la
corrente e la differenza di potenziale variano sinusoidalmente con
periodo T e pulsazione w.
Andamento dell’energia nei circuiti LC
• In un circuito LC conoscendo il
valore di C e misurando VC ai capi
del condensatore avremo C VC = q
• Allo stesso modo misurando la VR
in un circuito con una piccola
resistenza avremo VR = Ri
• la pulsazione di un circuito
puramente induttivo-capacitivo è
dato da w = 1/√LC
1 1 2
EC
q
• Nei circuiti reali le oscillazioni non
2C
saranno infinite, ma si smorzeranno
1 2
E
Li
dopo un tempo come succedeva
L
2
per le oscillazioni meccaniche
Oscillazioni LC
Un blocco collegato ad una molla ha un moto oscillatorio come la corrente in
un circuito LC.
E = Kb + Um = ½ mv2 + ½ kx2
E = EL + EC = ½ Li2 + ½ Q2/C
dE d 1 2 1 2
dv
dx
mv kx mv
kx 0
dt dt 2
2
dt
dt
dE d 1 2 1 q 2
d
q dq
Li
0
Li i
dt dt 2
2 C
dt
C dt
m
d2
dt
2
x kx 0 x A cos(wt )
L
d2
dt 2
q
1
q 0 q Q cos(wt )
C
La derivata della carica nel tempo è la corrente dq/dt = - wQsin(wt+)
dove wQ = I ampiezza massima e quindi i = - Isin(wt+) e la pulsazione
si ricava dalla derivata seconda ovvero d2/dt2 = - w2Qcos (wt+) che
sostituita nella quadrata da
– Lw2 Qcos(wt+)+1/C Qcos (wt+) = 0
Lw2 = 1/C
w2 = 1/LC
w = 1/√LC
Oscillazioni smorzate
Se nel circuito LC ci sono dispersioni di tipo resistivo, cioè nel
tempo l’energia non si conserva, ma tende a diminuire, perché per
esempio si dissipa per effetto Joule, allora saremo in presenza di
oscillazioni smorzate: E = EL + EC = 0 ovvero
dE
di q dq
Li
i 2 R
dt
dt C dt
d2
d
1
L 2 qR q q 0
dt
dt
C
La cui soluzione è:
q = Q e –Rt/2L cos(w’ t + ) con
w’ =√w2 – [R/(2L)]2 .
ovviamente w’ è minore di w, ma per R
piccola tale che w’ ≈ w e sostituendo il
valore di q nella EC = q2/2C avremo:
q 2 [Qe Rt /(2 L ) cos(w ' t )]2
EC
2C
2C
Q 2 Rt / L
EC
e
cos 2 (w ' t )
2C
Corrente alternata
Ci si chiede spesso: perché usare la
corrente alternata?
La velocità di deriva degli elettroni è 4 x
10-5 m/s se poi gli si inverte la direzione
ogni centesimo di secondo ogni elettrone
si sposterà al più 4 x 10-7 m, quindi gli
elettroni non si spostano per più di un
centinaio di atomi .
La verità è che con una corrente alternata è possibile l’uso pratico della legge di
Faraday (vedi figura). Facendo ruotare una spira in un campo magnetico la
f.e.m. sarà f.e.m. = (f.e.m.)maxsin (wgt) con wg pulsazione. Questa
pulsazione è quella generata dalla rotazione della spira e fornisce una corrente
i = I sin (wgt – )
volendo si potrà usare la frequenza meccanica 2png = wg
Oscillazioni forzate
Un circuito RLC è un circuito in cui è
possibile avere oscillazioni periodiche
della carica, della tensione o della
corrente. La frequenza o meglio la
pulsazione angolare è data da
w = (LC)-2
e questa è la pulsazione del circuito.
Esiste però anche la possibilità di imporre una frequenza estera al
circuito, in questo caso come risponderà il circuito RLC e come
risponderanno i singoli componenti alle frequenze oscillanti?
Risponderemo studiando le risposte di tre semplici circuiti. Uno
resistivo, uno capacitivo ed uno induttivo.
