1. Si considerino: l`insieme A degli iscritti all`Universit`a di Pavia e l

1. Si considerino: l’insieme A degli iscritti all’Università di Pavia e l’insieme B dei residenti a Pavia. Descrivere
A ∩ B,
A ∪ B,
A \ B,
B \ A.
2.
Si considerino: l’insieme A dei multipli di 4 e l’insieme B dei multipli
di 5. Descrivere l’insieme A ∩ B. Come sarebbe l’insieme A ∩ B se B fosse
costituito dai multipli di 6 anziché di 5?
3. Un piccolo albergo dispone di 3 piani con 4 stanze ciascuno. La stanza
numero n del piano numero m è etichettata come (m, n). Un sisma rende
inagibili le stanze (m, n) con n + m = 4. Descrivere l’insieme delle stanze
inagibili e l’insieme complementare.
∼·∼·∼·∼·∼·∼·∼
4.
Eseguire le operazioni indicate:
a)
8 1
1
1
− 2− 3 ,
3 2 2
2
c) 8 − (−2)3 · (−0.25)2 ,
5.
f) −
b) (1.41)2 ,
n
,
n+1
g) −
d)
7
1 2 2 5
16 +
−
.
27
3
1 − 17
c) 0.8,
n+1
,
n+2
h)
d)
6
,
7
2
,
3
e)
4
,
5
i) 2.
Sono vere le seguenti disuguaglianze?
a) (23 )4 − 26 ≥ 25 ;
c) 1 − 1 −
7.
210 − 29
,
24 + 16
Porre in ordine crescente i seguenti numeri razionali:
a) 0.88,
6.
b)
b)
1
1 1
−
+
≤ −0.5;
2 + 23
2 8
1 2
1
≥ 2.
n
n
Scrivere in forma decimale i seguenti numeri reali:
a)
3
;
4
b)
3
;
400
c)
0.23
;
4
d)
10
;
7
e) (0.3)3 ; f )
∼·∼·∼·∼·∼·∼·∼
1
5 2
.
4
8.
Trasformare la seguente espressione riducendola ad una sola linea di
frazione:
a+b
.
a
b
x + y
9.
È vero che:
a+b
4a
a−b
− 2
=
?
ab − b2
a − b2
ab + b2
10.
Qual è la differenza tra l’area di un rettangolo di dimensioni a + 1 e
b + 1 e l’area di un rettangolo di dimensioni a e b?
11. Se la base di un rettangolo aumenta del 10% e l’altezza diminuisce del
10% qual è in percentuale la variazione dell’area?
12.
Semplificare le seguenti espressioni:
(x + 2y)2 − 2(x2 − 4y 2 ) + (x − 2y)2 ;
a
1+a+
13.
sione:
!
2a2
+1
1−a
:
a
−
a2 + 4
.
a+2
Riconoscere che le seguenti espressioni sono il quadrato di una espresx2 + 10x + 25;
x2 +
1
+ x.
4
Fattorizzare le seguenti espressioni:
4a2 − b2 + 6a + 3b;
15.
a+8
a+4
9+2a
a−3
4a+a2 − a2
1+
1
1 ;
1 − a+1
a4 + 4a2 b + 4b2 ;
14.
x2 − x − 2xy + 2y
;
x2 − 2xy
La frazione
a2 + b2 + a + b + 2ab
a2 + 6a + 9 − 4b2 .
a−4 − b−4
è uguale a:
a−2 − b−2
a) a−6 − b−6 ;
b) a−2 − b−2 ;
d) a2 + b2 ;
e) a2 − b2 .
2
c) a−2 + b−2 ;
16.
Semplificare:
−1
−1
(b − a)−1 ;
;
b) a−1 − b−1
a) a−1 + b−1
c) 1 + a−1
−1
+ (1 + a)−1 .
∼·∼·∼·∼·∼·∼·∼
17.
Qual è il maggiore fra i numeri 51/3 e 31/2 ?
18.
Porre in ordine crescente i seguenti numeri reali:
1 3
,
2
19.
8−1/
√
3
Calcolare:
p
1
4
1 −1/2
,
4
,
√
2
,
1 −1
.
8
3
2/3 √
3
|8 − a2 |
− 3 ,
√
quando a = 4 2.
20. Siano a, b due numeri reali positivi. È vero che:
p
i) 3 (a2 + b2 )3/2 − a − b = 0?
p
√
√
ii) se a > b allora a + b a − b − 3 (a2 − b2 )3/2 = 0?
p
iii) 3 (a2 + b2 )3/2 − a − b ≥ 0?
∼·∼·∼·∼·∼·∼·∼
21.
Individuare il rapporto che deve sussistere fra i lati di un rettangolo
affinché lo si possa dividere in due parti rettangolari uguali fra loro e simili al
rettangolo originario.
22.
(Sezione aurea) Individuare il rapporto che deve sussistere fra i lati
di un rettangolo affinché da esso si possa togliere un quadrato ottenendo un
rettangolo simile al rettangolo originario.
23.
Un numero naturale di due cifre è tale che, moltiplicandolo per il
numero che si ottiene scambiando le cifre si ottiene 1944. Se la somma delle
cifre è 9, qual è il numero?
24.
Risolvere le seguenti disequazioni:
a) 2x2 − 3x + 1 > 0
c)
b) 3x2 − 2x − 1 < 0
x−1
<0
x−2
d)
e) (x2 − 2x + 3)(2x + 5) < 0.
3
(x − 1)(2x + 3)
>0
x−2
25.
Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni:
a) 2x2 − 3x − 2 > 0;
c)
26.
b) x(2x2 − 3x − 2) > 0;
x2 − 1
< 0;
− 3x − 2
d) x3 − x2 ≥ 0.
2x2
Risolvere le seguenti disequazioni e sistemi di disequazioni:
a) 3x2 − 7x + 4 < 0;
(
b) x4 − 3x2 + 2 > 0;
x2 − 1 > 0
c)
;
d)
x2 − 2 < 0
27.
2
< 1.
1+x
È vero che:
a) (a + 1)4 − (a − 1)4 ≥ 0 per ogni a ∈ R?
b) a (a + 1)4 − (a − 1)4 ≥ 0 per ogni a ∈ R?
∼·∼·∼·∼·∼·∼·∼
28.
Determinare il punto di intersezione delle rette di equazione:
x + y − 3 = 0,
29.
x − 3y + 1 = 0.
Stabilire se le seguenti terne di punti sono allineate:
(5, 4), (0, 2, ), (−10, −2);
(−5, 0), (10, 6), (3, 3).
30.
Verificare che i seguenti punti costituiscono i vertici di un parallelogramma:
A = (0, 1), B = (2, 0), C = (6, 2), D = (4, 3).
Calcolare inoltre il perimetro del parallelogramma.
31. Individuare gli eventuali punti di intersezione fra la retta r di equazione
x − 2y + 3 = 0 e la circonferenza C di equazione x2 + y 2 = 5.
32. Determinare quel valore α > 0 per il quale il perimetro del quadrilatero
di vertici i punti (−3, 4), (3, 4), (0, 0) e (0, 4 + α) è 20.
4
33.
Per quali valori di α > 0 l’insieme:
{(x, y) : x2 + y 2 < α} ∩ {(x, y) : x + y > 1}
non è vuoto?
∼·∼·∼·∼·∼·∼·∼
Esercizi vari
34.
Semplificare le seguenti espressioni:
a)
35.
(a2 − 1)2
;
a+1
a4 − b4
;
a2 − b2
q
√
c) a 3 a.
È vero che:
a) (a−2 )3 = a2 /a3
c) x < 2
36.
b)
⇒
6
b) −
1
∈ {x ∈ R : |x − 1| < 3/2}
3
x2 < 4
Verificare che se r +
37.
Date le due frazioni
compresa fra esse.
1 2
1
= 3 allora r3 + 3 = 0.
r
r
3
7
e
4
5,
trovare una frazione che sia strettamente
38. Un’azienda, in un momento di difficile congiuntura, abbassa lo stipendio di tutti i dipendenti dell’8%; superata questa difficoltà, alza tutti gli stipendi
dell’8%. Come è, dopo di ciò, la situazione dei dipendenti?
39. Se 2.3 ≤ x ≤ 2.5 ed è −1.6 ≤ y ≤ −1.4, fra quali limiti sono compresi
i numeri x + y, x − y, xy e x/y?
40.
Semplificare la seguente espressione: (y 2 − x2 )(y 2 + x2 − 1) − y 4 + x4 .
41.
Trasformare (se possibile) le seguenti espressioni in somme di quadrati:
3x2 − 2xy + 2y 2 ;
3x2 − 6xy + 2y 2 .
42.
Dati due numeri positivi
√ a e b, è più grande la loro media aritmetica
o la loro media geometrica ab?
a+b
2
5
43.
Il numero
√
0.9 è uguale a:
a) 0.3:
b) 0.81;
c) un numero compreso fra 0.81 e 0.9;
d) un numero compreso fra 0.9 e 1.
e) nessuna delle risposte precedenti è esatta.
44. Posto K = 98075/12783456, risulta:
a) 10−2 < K < 10−1 ;
b) 10−3 < K < 10−2 ;
c) 10−4 < K < 10−3 ;
d) 10−5 < K < 10−4 ;
e) nessuna delle risposte precedenti è esatta.
45. Si stima che attualmente la popolazione mondiale aumenti dell’1,7% ogni
anno. Indicata con P la popolazione mondiale attuale e con Q la popolazione
mondiale stimata tra un anno, il legame fra P e Q è espresso da:
a) Q = 1, 0017P ;
b) Q = 1, 017P ;
c) Q = 1, 17P ;
d) Q = 1, 7P ;
e) nessuna delle risposte precedenti è esatta.
46. Ogni diagonale di un cubo di lato 1 m misura:
√
a) 2 m;
√
b) 3 m;
√
c) 3 3 m;
√
d) 3 2 m;
e) nessuna delle risposte precedenti è esatta.
47. Calcolare la lunghezza del lato del triangolo equilatero inscritto in una
circonferenza di raggio r.
6