Momenti
• Momento di inerzia,
• momento di una forza,
• momento angolare
Conce&o di Momento • I momenti in fisica sono cose molto diverse fra loro.
• Certamente non hanno sempre la stessa unità di misura; ed
avremo cura di definirli volta per volta
• Esistono momenti di inerzia, momenti di forze, momento della
quantità di moto (anche detti momenti angolari), momenti
torcenti, momento elettrici e momenti magnetici, etc.etc.
• Comunque, si introduce il concetto di momento quando una
certa grandezza fisica già definita nei moti lineari viene ridefinita
nei moti rotatori. Non possiamo essere più precisi nella
definizione di «momento» perché di per se il significato non è
univoco.
• In questa parte del corso noi ci interesseremo solo del
ü Momento di una forza,
ü Momento di inerzia,
ü Momento della quantità di moto (o momento angolare)
Momento di una Forza Momento di una forza • Supponiamo di avere una porta vista dall’alto e
supponiamo che sia incardinata su un lato, diciamo in A.
• Se applicassimo la stessa forza F in punti diversi, come
nei punti 1, 2, 3, 4, 5 e 6; osserveremmo che il moto della
porta sarebbe diverso a secondo della direzione della
forza e del suo punto di applicazione.
• In qualche caso non si muoverebbe affatto, in altri si
muoverebbe in senso orario e in qualche caso in senso
antiorario
• In conclusione l’effetto di una forza che agisca (su un
oggetto basculante o comunque incernierato) in un punto
lontano dall’asse di rotazione dipende fortemente dal suo
punto di applicazione e dalla direzione della forza
A 1
2
3
4
5
6
Prodo&o ve&oriale • Per comprendere come agisce una azione applicata ad un punto
qualsiasi (diverso dal centro di massa) di un corpo rigido è
necessario introdurre una nuova operazione che si può fare con i
vettori.
• L’algoritmo che descrivere l’effetto di un’azione applicata in un
punto arbitrario di un corpo rigido è il prodotto vettoriale che si
indica con
τ = r x F (-­‐ τ = F x r ) 1. il modulo di tale prodotto vale, |τ| = |r||F|senθ,
dove θ è l’angolo individuato dai vettori r ed
F, quando sono traslati nello stesso punto
d’origine
2. la direzione di τ è perpendicolare al piano
individuato dai vettori r ed F
3. il verso segue la regola della mano destra
τ
r F I momen> nelle leve • Se la direzione delle forze (potenza P o
R P F resistenza R) e il vettore r , distanza
dall’asse di rotazione sono perpendicolari,
r come nel caso delle leve, il calcolo dei
r momenti rispetto al fulcro è semplice;
infatti in questi casi θ = 90° e senθ = 1.
b1 P • Il momento della forza τ è
semplicemente il prodotto del braccio per il
F modulo della forza τ = r · F o τ = F · r
b2 R • Per l’equilibrio di una leva τ = 0 e quindi
deve valere la relazione:
P b1 P · b1 = R · b2 ovvero b1/b2 = R/P
Se ne conclude che per
b1 > b2 allora R > P oppure se
F R b2 b2 > b1 allora P > R
Le Leve nel corpo umano Le leve si dividono in tre categorie
1. Leve di primo genere,
indifferenti (articolazione della
testa)
2. Leve di secondo genere, sempre
vantaggiose (sollevamento del
calcagno)
3. Leve di terzo genere, sempre
svantaggiose (sollevamento
dell’avambraccio)
Momento di Inerzia Energia cinetica rotazionale
• Abbiamo visto che
Ek = ½ m v2 è l’energia cinetica riferita al moto
di un punto materiale m che si muove con velocità v.
• Nel caso di un corpo in rotazione dovremo fare la somma delle Ek
di tutti i punti del corpo in rotazione: Ek = Σi ½ mi vi2
• Se volessimo utilizzare la velocità angolare ω = v/ri, avremo per
ciascun punto.
• Quindi:
Ek = Σi ½ mi ω2ri2
ovvero
Ek = ½ ω2 Σi mi r2i
In questo modo la forma dell’energia cinetica in un moto rotatorio
diviene omomorfa all’energia cinetica dei moti rettilinei e la
grandezza Σi mi ri2 = I , si chiama momento di inerzia ed è
l’equivalente rotazionale della massa inerziale nei moti lineari.
Momento di Inerzia • Come la massa si oppone alla variazione della velocità, così
il Momento di inerzia si oppone alla variazione della velocità
angolare, ma l’efficacia della sua opposizione dipende da
come la massa è distribuita attorno all’asse di rotazione
• Se l’oggetto di cui vogliamo conoscere il momento di inerzia
I è un sistema discreto di n punti basterà applicare per ogni
punto la definizione di I = mr2 e poi sommare i vari contributi
per ottenere in momento di inerzia totale.
n
I = ∑1 mi ri 2
• Se invece l’oggetto è una grandezza
continua allora sarà più semplice
calcolare:
I= ∫
rma x
rmin
2
r dm
Casi par>colari: cilindro cavo dm = ρdV
dV = (2πrdr ) L
dm = 2πrdrLρ
2
R2
2
R2
I = ∫ r dm = ∫ r ⋅2πrdrLρ = 2πLρ ∫ r 3 dr
R1
R1
R24 − R14 1
I = 2πLρ
= ρπ ( R22 − R12 ) L( R22 + R12 )
4
2
1
I = M ( R22 + R12 )
2
M = ρV = ρπ ( R22 − R12 ) L
Momento di inerzia di una sfera • Si voglia calcolare il Momento di Inerzia di una sfera di massa M e
raggio R
M
la sua densità
• Sia ρ =
3
4 3πR
• Se poniamo l’origine degli assi al centro della sfera, avremo che il
dischetto di spessore dz a distanza z dal centro avrà una massa pari
a dm = ρ p r2 dz dove r2 = R2 - z2 ed R è il raggio del dischetto.
dI =
1
1
1
2
dmr 2 = ρπr 4 dz = ρπ (R 2 − z 2 ) dz
2
2
2
1
I = ρπ
2
I = ρπ
∫
R
0
R
∫ dz(R
−R
2
−z
2
2
)
R
4
⎡
dz (R − 2 R z + z ) = ρπ R dz − 2 R 2
⎢⎣ 0
4
2
dz
2
4
∫
∫
R
0
2
z dz +
∫
R
0
z 4 dz ⎤
⎥⎦
R
⎡ 4
2 2 3 z 5 ⎤
16 8
I = ρπ ⎢ R z − R z + ⎥ = ρπR 5
= ρπR 5
3
5 ⎦ 0
15 15
⎣
2
I = MR 2
5
ρ=
M
4 3 πR 3
r
z
R
Momen> di Inerzia Si riportano alcuni corpi rigidi modello di cui sono no> i momen> di inerzia Teorema degli assi paralleli § I Momen> di Inerzia dei corpi modello sono molto u>li, ma sono tuH calcola> per un asse di rotazione passante per il centro di massa. § Se invece volessimo calcolare il momento di inerzia di un corpo rispe&o ad un asse parallelo all’asse di rotazione passante per il baricentro allora dovremmo fare il seguente calcolo:
I = ∫ r 2 dm = ∫ [( x − a) 2 + ( y − b) 2 ]dm =
= ∫ ( x 2 + y 2 )dm + ∫ (a 2 + b 2 )dm − 2a ∫ xdm − 2b ∫ ydm =
I = I cm + Mh 2
ques> integrali valgono zero Momento Angolare Momento angolare § Come l’energia meccanica e la quantità di
moto, il momento della quantità di moto (o
momento angolare) è una grandezza fisica
che si conserva.
§ Il momento angolare è una grandezza
vettoriale definita dal prodotto vettoriale fra
la distanza r da un punto fisso e dal vettore
quantità di moto p.
L = r x p = m (r x v)
§ Come calcolare il modulo, la direzione ed
il verso è già stato detto nel calcolo del
momento di una forza τ
Momento della quan>tà di moto • Supponiamo di avere un punto di massa m
che si muove con velocità v, quindi la sua
quantità di moto è p = mv.
• Il momento di questa quantità di moto
rispetto ad un asse di rotazione passante per
un punto qualunque q sarà
L = r x p = r i x m v j = mvr k
e in coordinate rotazionali sarà :
L = m (v/r) r2 = m ω r2
• Se invece di un solo punto ne dovessimo
considerare un numero molto grande allora:
dL = rvdm = ωr 2 dm
r2
r2
r1
r1
2
L = ∫ dL = ∫ ωr dm = ω
∫
r2
r1
2
r dm
I q
L=Iω
p = mv
Conservazione di L Conosciamo la 2a legge della dinamica nella forma Fext = dp/dt e
quindi possiamo dedurre che τext = dl/dt
!
! !
La descrizione fin qui fatta ha
l = m( r × v )
riguardato il moto di un punto
!
!
!
materiale attorno ad un punto
!
!
dl
d
v
d
r
⎛
⎞
fisso, ma anche per un corpo
= m⎜ r ×
+ × v ⎟
esteso si arriva alle stesse
dt
dt dt
⎝
⎠
conclusioni.
!
! ! ! ! !
!
dl
= m(r × a + v × v ) = r × ma τtot= dL/dt L= l1+l2+… ln dt
Se una derivata vale zero
!
vuol dire che la sua funzione
!
dl ! !
= r × Ftot = τ
primitiva è costante.
dt
Se il momento delle forze applicato ad un corpo è nullo τ = 0, allora il
momento angolare L di quel corpo si conserva
