Momenti
• Momento di una forza,
• momento di inerzia,
• momento angolare
Momento di una forza • Supponiamo di avere una porta vista dall’alto e supponiamo che sia incardinata su un lato, diciamo in A. • Se applicassimo la stessa forza F in pun: diversi, come nei pun: 1, 2, 3, 4, 5 e 6 osserveremmo che il moto della porta sarebbe diverso a secondo della direzione della forza e del suo punto di applicazione. • In qualche caso non si muoverebbe affaEo, in altri si muoverebbe in senso orario e in qualche caso in senso an:orario • In conclusione l’effeEo di una forza che agisca (su un oggeEo basculante o comunque incernierato) in un punto lontano dall’asse di rotazione dipende fortemente dal suo punto di applicazione e dalla direzione della forza A 1
2
3
4
5
6
I momen: nelle leve P • Se la direzione delle forze (potenza P applicata o resistenza R) e il veEore distanza dall’asse di rotazione r sono perpendicolari, come nel caso delle leve, il calcolo dei momen: è par:colarmente semplice; infaK in ques: casi θ = 90° e senθ = 1. • Il momento della forza τ è semplicemente il prodoEo del braccio per il modulo della forza τ = r · F o τ = F · r r r b1 P P R F b2 R • Per l’equilibrio di una leva τ = 0 e quindi deve valere la relazione: P · b1 = R · b2 ovvero b1/b2 = R/P Se ne conclude che per b1 > b2 allora R > P oppure se b2 > b1 allora P > R R F b1 b2 F Le Leve nel corpo umano Le leve si dividono in tre categorie 1. Leve di primo genere, indifferen: (ar:colazione della testa) 2. Leve di secondo genere, sempre vantaggiose (sollevamento del calcagno) 3. Leve di terzo genere, sempre svantaggiose (sollevamento dell’avambraccio) Momento di Inerzia Energia cinetica rotazionale
•
Ek = ½ m v2 è l’energia cine:ca riferita al moto di un punto che si muove con velocità il cui modulo sia v. •
Nel caso di un corpo in rotazione dovremo fare la somma delle Ek di tuK i pun: del corpo in rotazione: Ek = Σi ½ mi vi2 •
Volendo u:lizzare la velocità angolare ω, anch’essa costante, avremo per ciascun punto sarebbe vi = ωri. •
Quindi: Ek=Σi ½ mi ω2ri2 ovvero Ek=½ω2 Σi mi r2i La grandezza I = Σi mi ri2 si chiama momento di inerzia ed agisce come l’equivalente rotazionale della massa nei mo: lineari. Il momento di inerzia si oppone alla variazione della velocità angolare come la massa si oppone alla variazione della velocità lineare Momento di Inerzia • Come la massa si oppone alla variazione della velocità, così il Momento di Inerzia si oppone alla variazione della velocità angolare, ma l’efficacia della sua opposizione dipende anche da come la massa è distribuita aEorno all’asse di rotazione • Se l’oggeEo di cui vogliamo conoscere il momento di inerzia I è un sistema discreto di n pun: basterà applicare per ogni punto la definizione di I = mr2 e poi sommare i vari contribu: per oEenere in momento di inerzia totale. n
I = ∑1 mi ri 2
• Se invece l’oggeEo è una grandezza con:nua allora sarà più semplice calcolare: I= ∫
rmax
rmin
r 2 dm
Casi par:colari: cilindro cavo dm = ρdV
dV = (2πrdr ) L
dm = 2πrdrLρ
2
R2
2
R2
I = ∫ r dm = ∫ r ⋅2πrdrLρ = 2πLρ ∫ r 3 dr
R1
R1
R24 − R14 1
I = 2πLρ
= ρπ ( R22 − R12 ) L( R22 + R12 )
4
2
1
I = M ( R22 + R12 )
2
M = ρV = ρπ ( R22 − R12 ) L
Momento di inerzia di una sfera • Si voglia calcolare il Momento di Inerzia di una sfera di massa M e raggio R
M
Sia ρ =
la sua densità
r
4 3πR 3
dz
z
• Se poniamo l’origine degli assi al centro della sfera, avremo
R
che il dischetto di spessore dz a distanza z dal centro avrà una
massa pari a dm = ρ π r2 dz dove r2 = R2 - z2 ed R è il raggio
del dischetto.
dI =
1
1
1
2
dmr 2 = ρπr 4 dz = ρπ (R 2 − z 2 ) dz
2
2
2
1
I = ρπ
2
I = ρπ
∫
R
0
R
∫ dz(R
−R
2
−z
2
2
)
R
dz (R 4 − 2 R 2 z 2 + z 4 ) = ρπ ⎡ R 4 dz − 2 R 2
⎢⎣ 0
∫
∫
R
0
z 2 dz +
∫
R
0
z 4 dz ⎤
⎥⎦
R
⎡ 4
2 2 3 z 5 ⎤
16 8
I = ρπ ⎢ R z − R z + ⎥ = ρπR 5
= ρπR 5
3
5 ⎦ 0
15 15
⎣
2
I = MR 2
5
ρ=
M
4 3 πR 3
Momen: di Inerzia Si riportano alcuni corpi rigidi modello di cui sono no: i momen: di inerzia Teorema degli assi paralleli § I Momen: di Inerzia dei corpi modello sono molto u:li, ma sono tuK calcola: per un asse di rotazione passante per il centro di massa. § Se invece volessimo calcolare il momento di inerzia di un corpo rispeEo ad un asse parallelo all’asse di rotazione passante per il baricentro allora dovremmo fare il seguente calcolo:
I = ∫ r 2 dm = ∫ [( x − a) 2 + ( y − b) 2 ]dm =
= ∫ ( x 2 + y 2 )dm + ∫ (a 2 + b 2 )dm − 2a ∫ xdm − 2b ∫ ydm =
I = I cm + Mh 2
ques: integrali valgono zero Momento Angolare Momento della quan:tà di moto • Supponiamo di avere un punto di massa m che si muove con velocità v, quindi la sua quan:tà di moto è p = mv. • Il momento di questa quan:tà di moto rispeEo ad un asse di rotazione passante per un punto q sarà i
j
q
k
L = r x p = r x m v = mvr e in coordinate rotazionali sarà : L = m (v/r) r2 = m ω r2 • Se invece di un solo punto ne dovessimo considerare un numero infinitamente grande allora: dL = rvdm = ωr 2 dm
L=
∫
r2
r1
dL =
∫
r2
r1
2
r2
ωr dm = ω ∫ r 2 dm
r1
L=Iω
p = mv
Momento angolare § Come l’energia meccanica e la quan:tà di moto, il momento della quan:tà di moto (o momento angolare) è una grandezza fisica che si conserva. § Il momento angolare è una grandezza veEoriale definita dal prodoEo veEoriale fra la distanza r da un punto fisso e dal veEore quan:tà di moto p. L = r x p = m (r x v) § Come calcolare il modulo, la direzione ed il verso è già stato deEo nel calcolo del momento di una forza τ
Conservazione del momento angolare Conosciamo la 2a legge della dinamica nella forma Fext = dp/dt e quindi possiamo dedurre che τext = dl/dt !
La descrizione fin qui faEa ha ! !
l = m( r × v )
riguardato il moto di un punto !
!
!
materiale aEorno ad un punto dl
( ! dv dr ! %
fisso, ma anche per un corpo = m& r ×
+ ×v#
dt
dt dt
'
$
esteso si arriva alle stesse !
conclusioni. ! ! ! ! !
!
dl
= m(r × a + v × v ) = r × ma
dt
!
!
dl ! !
= r × Ftot = τ
dt
τtot= dL/dt L= l1+l2+… ln Se una derivata vale zero vuol dire che la sua funzione primi:va è costante. Se il momento delle forze applicato ad un corpo è nullo τ = 0, allora il momento angolare L di quel corpo si conserva ProdoEo veEoriale • Per comprendere come agisce una azione applicata ad un punto qualsiasi (diverso dal centro di massa) di un corpo rigido è necessario introdurre una nuova operazione che si può fare con i veEori. • L’algoritmo che descrivere l’effeEo di un’azione applicata in un punto arbitrario di un corpo rigido è il prodoEo veEoriale che si indica con τ = r x F (-­‐ τ = F x r ) 1. il modulo di tale prodoEo vale, |τ| = |r||F|
senθ ; dove θ è l’angolo individuato dai veEori r ed F, quando sono trasla: nello stesso punto d’origine
2. la direzione di τ è perpendicolare al piano individuato dai veEori r ed F 3. il verso segue la regola della mano destra τ
r F
