1
IL CAMPO ELETTROSTATICO
La conoscenza dei fenomeni elettrici e magnetici, nella forma presentata in
questo corso, è relativamente recente. Tuttavia, fenomeni legati all’elettricità
ed al magnetismo erano noti anche ai popoli della Grecia che già conoscevano la resina fossile, detta ambra e la magnetite. Per arrivare ad una prima
conoscenza dei fenomeni magnetici come li intendiamo oggi bisogna attendere
il libro dell’inglese William Gilbert, del 1600. In esso si parla del magnetismo
terrestre e dell’orientamento degli aghi magnetici, nonché dell’elettricità per
strofinio. La nascita dell’elettricità moderna si fonda, in ogni caso, sui lavori del
francese Charles Augustin Coulomb (1736-1806).
La storia dell’elettricità e del magnetismo, come tutte le storie relative al
progresso della conoscenza umana, non è mai il contributo di pochi ed è difficile
compendiare gli sforzi dei molti che ci hanno consegnato i loro risultati. In
particolare, vogliamo rilevare che la storia dell’elettricità e del magnetismo si
è mescolata con la storia della costituzione della materia e con la storia della
natura della luce.
Durante questo corso conosceremo alcuni dei protagonisti ed il lavoro da
essi svolto. Non procederemo in maniera storica, perché un tale approccio non
spetta a questo corso, ma partiremo quasi dalla fine, ovvero dalla costituzione
della materia, in una forma semplificata.
Tutti i corpi sono costituiti di atomi. Gli atomi sono costituiti da un nucleo,
ove risiedono i neutroni ed i protoni, e da elettroni che sono localizzati intorno
al nucleo. Questo modello fu proposto nel 1917 dall’inglese Rutherford e dal
danese Bohr. Elettroni e protoni posseggono una carica elettrica che indicheremo, rispettivamente, con qe e qp . Per convenzione, la carica dell’elettrone è
stata assunta negativa. Il protone, possiede una carica di valore pari a quella
dell’elettrone ma di segno opposto; la carica dell’elettrone e del protone è detta
carica fondamentale o lementare e il suo valore è
qe = −1, 6 × 10−19 C
qp = 1, 6 × 10−19 C
dove C sta per Coulomb, ed è l’unità di misura della carica elettrica, nel
Sistema Internazionale. Un corpo è carico quando vi è un eccesso di cariche
positive o negative. Tutti i corpi carichi risultano avere una carica che è un
multiplo intero della carica fondamentale.
L’elettrone fu scoperto nel 1897 dall’inglese Joseph John Thomson (18561940).
2
La legge di Coulomb
Il contributo più rilevante di Coulomb è stato la determinazione, per via sperimentale, di quella che oggi è nota come legge di Coulomb (1785). In particolare,
essa stabilisce che due corpi carichi puntiformi, posti nel vuoto ad una distanza
1
r, esercitano l’uno sull’altro una forza la cui intensità, è data da
Q1 Q2
r2
dove Q1 e Q2 sono le cariche possedute dai corpi e k0 è una costante, detta
costante di Coulomb, che nel Sistema Internazionale vale circa
F0 = k0
N m2
C2
La direzione della forza F0 è lungo la congiungente i due corpi e risulta attrattiva,se le due cariche sono di segno opposto, o repulsiva, se sono dello stesso
segno:
k0 = 9 × 109
Nel Sistema Internazionale si usa riscrivere la costante k0 nel modo seguente
1
4π 0
dove 0 è una costante, detta costante dielettrica del vuoto, (o permettività
assoluta del vuoto). Il suo valore, nel Sistema Internazionale è circa
k0 =
0
2.1
= 8, 9 × 10−12
C2
N m2
Il campo coulombiano
Si considerino due cariche puntiformi, Q e q ed un sistema di riferimento con
l’origine sulla carica Q. Secondo la legge di Coulomb, sulla carica puntiforme q
verrà esercitata, da parte della carica puntiforme Q, una forza la cui espressione
è
F0 = ±k0
Qq
ur
r2
(1)
dove ur è il versore del vettore posizione
r
r
Nella (1) il segno positivo va preso se le due cariche sono dello stesso segno,
mentre il segno negativo va preso se le due cariche hanno segno opposto.
ur =
2
Assumeremo, in tutta la restante sezione, che entrambe le cariche siano
positive. Il vettore
E=
F0
q
(2a)
è detto campo elettrico generato dalla carica Q. Usando la (1), possiamo
ottenere la forma esplicita del campo:
Q
ur
(2b)
r2
Come si vede, il campo elettrico dipende dalla carica Q e dalla sua distanza
dalla carica q.
E = k0
Indipendentemente dalla presenza effettiva della carica q, ad ogni punto dello
spazio intorno alla carica Q si può associare un vettore, la cui direzione è lungo
la congiungente la carica Q e la carica q, il cui verso è quello del versore posizione
e la cui intensità è data da
E = k0
3
Q
r2
(3)
L’insieme dei vettori associabili ai punti dello spazio, con le modalità appena
descritte, costituiscono il campo coulombiano della carica puntiforme Q. L’unità
di misura del campo elettrico è quella di una forza per unità di carica
[E] =
[f orza]
N
=
[carica]
C
Un tipico valore del campo elettrico è 104 N/C.
Il campo coulombiano generato da Q non dipende dalla carica q. Tuttavia, per misurare il campo coulombiano E0 , dobbiamo, secondo la (2), prima
conoscere la forza F0 agente sulla carica q e poi dividere la forza stessa per
il valore di q. Per evitare che ci sia una dipendenza dalla carica, q usata per
determinare il campo coulombiano, occorre che essa sia una carica di prova.
Per carica di prova si intende una carica che sia puntiforme e sufficientemente
piccola se paragonata con Q, in maniera tale che il campo coulombiano di Q
non sia modificato apprezzabilmente da essa. Allora, possiamo scrivere
E=
F0
Q
= k0 2 ur
q
r
q¿Q
(4)
La carica di prova sarà indicata con q e assunta sempre positiva.
Una volta determinato il campo coulombiano di una carica puntiforme Q,
usando la carica di prova, possiamo determinare la forza esercitata dalla carica
Q su una qualunque carica puntiforme Q1 ; basterà moltiplicare il campo, dato
dalla (4), per la quantità Q1 :
F0 = Q1 E
(5)
Se la carica Q non è nell’origine, ma occupa una posizione r1 , allora il campo
elettrico da essa generato nel punto P, la cui posizione è r, sarà:
E (r) =
2.2
1
Q
(r − r1 )
4πε0 |r − r1 |3
(6)
Uso delle coordinate cartesiane
In maniera esplicita, ora otterremo i risultati in forma generale, ma usando le
coordinate cartesiane.
4
Con riferimento alla figura, il campo elettrico coulombiano in P dovuto alla
carica Q è
E0 = k0 Q
1
uR
R2
dove
r − r1 = R
Introducendo le coordinate cartesiane dei punto P e Q :
r1 = x1 ux + y1 uy + z1 uz
r = xux + yuy + zuz
troviamo
R = (x − x1 ) ux + (y − y1 ) uy + (z − z1 ) uz
e
|R|2 = (x − x1 )2 + (y − y1 )2 + (z − z1 )2
Inoltre, poiché
uR =
avremo
uR =
R
|R|
(x − x1 ) ux + (y − y1 ) uy + (z − z1 ) uz
q
2
2
2
(x − x1 ) + (y − y1 ) + (z − z1 )
In definitiva, il campo coulombiano sarà dato
E0 = k0 Q
(x − x1 ) ux + (y − y1 ) uy + (z − z1 ) uz
2
2
2 3/2
[(x − x1 ) + (y − y1 ) + (z − z1 ) ]
Se la carica Q è posta nell’origine del sistema di riferimento avremo
5
E0 = k0 Q
3
xux + yuy + zuz
[x2 + y 2 + z 2 ]3/2
Il campo prodotto da più cariche puntiformi
Vale, per il campo elettrico, il seguente principio di sovrapposizione:
Il campo elettrico di due o più cariche puntiformi è uguale al vettore somma
dei campi elettrici di ognuna di queste cariche prese separatamente.
In forma matematica scriveremo, per N cariche puntiformi :
E=
N
X
En
(1)
n=1
ovvero
E=
N
1 X Qn
(r − rn )
4π 0 n=1 |r − rn |3
(2)
dove Qn è la carica posta nella posizione rn ed r è la posizione del punto P, in
cui si vuole calcolare il campo coulombiano.
4
Le linee di forza del campo elettrostatico
Per visualizzare il campo si usa introdurre le linee di forza del campo. Una
tale descrizione, precisiamo subito, è solo approssimativa e serve solo ad avere,
al livello in cui opereremo, un aiuto "visivo" alla nostra rappresentazione del
campo. Una linea di forza di un campo elettrico è una linea che ha per tangente
in ogni suo punto un vettore che coincide con il campo nel punto considerato.
Le linee di forza di cariche puntiformi positive e negative sono mostrate
sotto. Esse sono sempre dirette dalle cariche positive (da cui "escono") a quelle
6
negative (in cui "entrano"). Esempi di linee di forza di cariche positive e negative
sono mostrate nella figura sotto:
Il verso delle linee di forza si comprende immaginando nei vari punti la carica
di prova. Si può immaginare che il numero di linee di forza sia proporzionale
all’intensità del campo e quindi visualizzare una maggiore o minore intensità del
campo, in una certa regione, aumentando o diminuendo, rispetto ad un’altra
regione il numero di linee di forza. In ogni caso, non bisogna dimenticare che il
campo è una funzione continua dello spazio e quindi l’uso, naturalmente discreto
delle linee di forza, può essere fuorviante.
Un modo analitico per determinare le linee di forza, ovvero per determinare
le equazioni di tali linee è quello di usare la condizione di parallelismo tra il
campo E e la tangente dl alla linea di forza in un punto:
E ∧ dl =0
ovvero, in termini di componenti
dx
dy
dz
=
=
Ex
Ey
Ez
5
Esempi
Esempio 1:Si determini il rapporto tra la forza di Coulomb e la forza gravitazionale che un protone esercita su un elettrone.
Ambedue le forze sono attrattive. La forza di Coulomb esercitata dal protone
sull’elettrone è data da
Qp Qe
r2
dove k0 è la costante di Coulomb ed r la distanza tra le due cariche. La forza
gravitazionale esercitata dal protone sull’elettrone è data da
F0 = k0
Mp Me
r2
dove G è la costante di gravitazione universale ed Mp ed Me la massa del
protone e dell’elettrone, rispettivamente. Facendo il rapporto tra le due forze
FG = G
7
k0 Qp Qe
F0
=
FG
G Mp Me
e sostituendo i valori numerici (Mp = 1, 7 × 10−27 kg, Me = 9, 1 × 10−30 kg) e
(G = 6, 7 × 10−11 N m2 /kg 2 , Qi = 1, 6 × 10−19 C) alle varie quantità , si trova
F0
= 2, 3 × 1039
FG
La forza di Coulomb è enormemente più intensa della forza gravitazionale.
Esempio 2: Trovare il campo coulombiano nel punto P di coordinate (0,0,5)
prodotte da due cariche puntiformi di uguale valore, Q1 = Q2 = Q poste nei
punti di coordinate (3,0,0) e (0,4,0).
Poiché
r1 = x1 ux + y1 uy + z1 uz
r2 = x2 ux + y2 uy + z2 uz
r = xux + yuy + zuz
troviamo
r1 = 3ux
r2 = 4uy
R1 = r − r1 = (−3) ux + (5) uz
q
√
2
2
|R1 | = (−3) + (5) = 34
R2 = r − r2 = (−4) uy + (5) uz
q
√
2
2
|R2 | = (−4) + (5) = 41
Inoltre, poiché
r − r1
|r − r1 |
uR2 =
r − r2
|r − r2 |
(−3) ux + (5) uz
√
34
uR2 =
(−4) uy + (5) uz
√
41
uR1 =
avremo
uR1 =
r = 5uz
8
Il campo coulombiano in P, dovuto alla carica Q1 , sarà dato da
E1 = k0 Q
1
(|R1 |)2
uR1
e quello dovuto alla carica Q2 sarà dato da
E2 = k0 Q
1
2 uR2
(|R2 |)
Usando le relazioni precedenti troviamo
E1 = k0 Q
−3ux + 5uz
E2 = k0 Q
3/2
(34)
−4uy + 5uz
(41)3/2
Il campo risultante sarà
E = E1 + E2 = k0 Q (−0, 01ux − 0, 01uy + 0, 04uz )
Esempio 3: Due cariche Q1 = 50µC e Q2 = 10µC sono poste nei punti di
coordinate (−1, 1, −3) m e (3, 1, 0) m. Si determini la forza agente su Q1 .
Possiamo scrivere i vettori posizione delle due cariche, avendo le componenti,
come
r1 = −ux + uy − 3uz
r2 = 3ux + uy
da cui, facendo la semplice differenza delle componenti omologhe, avremo
p
R = r1 − r2 = −4ux − 3uz
|R| = 42 + 32 = 5
Infine
uR =
La forza agente su Q1 sarà
F12 =
1
r1 − r2
= (−4ux − 3uz )
5
|r1 − r2 |
1 Q1 Q2
uR = 0, 18 (−0, 8ux − 0, 6uz ) N
2
4π 0 r12
Esempio 4: (Dipolo elettrico) Due cariche, uguali ma di segno opposto, sono
tenute ferme lungo l’asse z, ad una distanza l, uguale per entrambe, dall’origine
del sistema di riferimento. Si determini il campo E in un punto P dell’asse y.
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Nella figura precedente, con E+ ed E− abbiamo indicato il campo elettrico generato in P dalle cariche positiva e negativa rispettivamente. Il campo
generato dal dipolo in un punto arbitrario P è in generale, come mostreremo
successivamente, abbastanza complesso. Qui la semplicità del calcolo è realizzata mediante la limitazione al solo asse y, che è un asse di simmetria per le due
cariche.
Il campo E+ generato dalla carica Q è repulsivo, mentre il campo E− è
attrattivo. La distanza d, di P da Q, è uguale alla distanza di P da (−Q) ed
entrambe sono uguali a
d2 = l2 + y 2
(1)
I due campi hanno uguale intensità:
E+ = E− =
1
|Q|
4π 0 l2 + y 2
(2)
Le componenti lungo l’asse y sono uguali e di segno contrario. Le componenti
lungo l’asse z sono uguali e dello stesso segno; il loro modulo è, rispettivamente:
l
E+,z = E+ cos α = E+ p
2
l + y2
l
E−,z = E− cos α = E− p
2
l + y2
allora, la risultante componente lungo l’asse z è
Ez = E+,z + E−,z =
2
|Q| l
4π 0 (l2 + y 2 )3/2
(3)
Nel caso in cui y À l (approssimazione di dipolo), si può trascurare l2 nel
denominatore e la precedente relazione diventa
Ez ∼
=
2 |Q| l
4π 0 y 3
10
(4)
Se introduciamo la quantità dQ
dQ = 2lQ
(5)
detta, momento di dipolo elettrico, avremo
Ez ∼
=
1 dQ
4π 0 y 3
(6)
Esempio 5: Moto in un campo elettrico longitudinale.
Con riferimento alla figura precedente, determinare la velocità di arrivo
dell’elettrone sullo schermo, sapendo che il campo elettrico uniforme è presente
solo nel tratto d .
Il teorema dell’energia cinetica, nel tratto d, si scrive
qe Ed =
da cui
vf =
1
1
Me vf2 − Me v 2
2
2
r
v2 +
2qe Ed
Me
Poiché nel tratto l il moto è rettilineo uniforme, la precedente espressione rappresenta anche la velocità di arrivo sullo schermo.
Esempio 6: Moto in un campo elettrico trasverso; Determinare il punto di
arrivo sullo schermo dell’elettrone mostrato nella figura seguente e calcolarela
velocità con cui vi arriva
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Le equazioni utili sono
Me ax (t) = 0
Me ay (t) = −qe (−E)
da cui
vx (t) = v
vy (t) =
x (t) = vt
qe E
t
Me
→
y (t) =
1 qe E 2
t
2 Me
Eliminando il tempo tra le equazioni delle coordinate si ottiene
y=
1 qe E 1 2
x
2 Me v 2
(1)
che è l’espressione di una parabola. Poiché, dopo aver attraversato il tratto
d la particella si muove di moto rettilineo uniforme, la velocità di arrivo sullo
schermo è uguale alla velocità di arrivo in h. Il valore di h è
h=
1 qe E 1 2
d
2 Me v 2
(2)
La velocità in h avrà un modulo che otterremo dal teorema dell’energia cinetica
Z
1
1
F · dr = Me vf2 − Me v 2
2
2
Poiché
avremo
Z
F · dr =
Z
Fx dx + Fy dy =
Z
Fy dy = qe Eh
1
1
Me vf2 = Me v 2 + qe Eh
2
2
da cui
vf =
r
v2 + 2
12
qe Eh
Me
(3)
Per ottenere la direzione della velocità basta trovare la tangente alla traiettoria,
nel punto di coordinate (d, h). Facendo la derivata della (1), si trova
dy
qe E 1
x
=
dx
Me v 2
Ponendo x = d, si ottiene
tan α =
qe E 1
d
Me v 2
(4)
Rimane la determinazione di h1 . Geometricamente, si ha
h1 = h + l tan α
da cui
1 qe E 1 2
qe E 1
qe E d
h1 =
d +l
d=
2
2
2 Me v
Me v
Me v 2
13
µ
d
+l
2
¶
(5)
