Problemi con l`energia 3 - Digilander

PROBLEMI DI ENERGETICA – potenziale Uq e V
Sappiamo già calcolare il Lavoro di una forza costante: L= Fcos()S. Ma cosa accade quando la forza
varia sia come angolo che come modulo? Considera una carica puntiforme Q ed una seconda carica q che si
sposta secondo la traiettoria segnata in figura 1: durante il tragitto, l’angolo  cambia ed inoltre cambia
anche il modulo della forza poiché decresce via via che q si allontana da Q. Come si può calcolare il Lavoro in
questo caso? Il problema sembra difficile ma in realtà è di facile soluzione una volta che uno ha appreso il
calcolo integrale. Poiché per adesso voi non sapete calcolare gli integrali, il Prof benignamente vi anticipa il
risultato:
il Lavoro eseguito dalla forza elettrica su di una carica q che si sposta da una distanza Ri ad una
distanza Rf da una seconda carica Q è:
L=KQq/Ri – KQq/Rf
(1)
L’eq. (1) permette di calcolare immediatamente l’energia potenziale Uq di q: infatti, l’energia potenziale di
un punto P è calcolata come il Lavoro eseguito per andare dal punto iniziale P ad un punto finale di riferimento
O: applicando l’eq. (1) si ottiene immediatamente:
Uq(P) = KQq/RP – KQq/RO
(2a)
Per una carica puntiforme, il punto O è universalmente posto all’infinito, cosicché RO (“RO” significa
“Limite per RO tendente ad infinito”); di conseguenza KQq/RO0. Perciò l’eq. (2a) diventa immediatamente:
Uq(P) = KQq/RP
(2b)
L’energia potenziale Uq è scomponibile in due parti: il termine subente q ed il termine agente V(R) =
KQq/RP. E’ evidente che il termine agente V si ottiene dividendo Uq per q:
V = Uq/q = KQ/RP
(3)
Ogni carica Q genera intorno a sé un campo scalare V(R): nel caso macroscopico, lo spazio è pervaso dai
potenziali V dei miliardi e miliardi di particelle cariche (protoni e neutroni) che riempiono la materia. Quando
noi affermiamo: “la pila del telefonino ha un voltaggio di 1,8 Volt –il voltaggio di una pila per Apple Ipad 2-“
significhiamo che tutte le cariche “-“ presenti sul polo “-“ della pila e tutte le cariche “+” presenti sul polo “+”
della pila insieme generano nello spazio un campo scalare V tale che la sua differenza fra i due poli è 1,8Volt.
Tutto questo è spiegato con maggior dettaglio negli appunti “Potenziale elettrico”.
Adesso… risolvete questi problemi!
Problema 1: disegna il grafico!
Considera un atomo di idrogeno: è formato da un singolo protone al centro.
Disegna –negli spazi già preparati- il grafico V(R) del protone. Considera poi che
un elettrone orbiti intorno al nucleo: disegna il suo grafico Uq(R). Come mai il
primo è sempre positivo ed il secondo sempre negativo?
Problema2: l’elettrone in allontanamento. Considera di avere un protone di massa mP e carica q+.
Considera poi un elettrone che si trova ad una distanza di 0,5RBOHR dal nucleo: quanta energia cinetica deve
spendere l’elettrone per allontanarsi fino a 1,2RBOHR? [“Prof! Non ci ha dato i valori di mP , q+ e RBOHR!!”
“Mimmo, sei maggiorenne, non è più tempo della pappina già masticata in bocca! Cercati i valori su
Internet!”]
Risp: E’ sufficiente calcolare il Lavoro con l’eq. (1) usando Ri=0,5R BOHR e Rf=1,2RBOHR.
Sostituendo i valori si ottiene L=K=-5,0810-18 J
Quale deve essere la minima energia meccanica (E; non confondere l’energia meccanica E con il campo
elettrico E!!!) che l’elettrone deve possedere per poter passare da 0,5RBOHR1,2RBOHR?
Risp: E = Uq + K ; al minimo dell’energia meccanica l’elettrone giunge alla distanza 1,2RBOHR
con energia cinetica nulla  Kf = 0  E = Uqf + Kf = Uqf. Calcolando con l’eq. (2b):
Uqf = -3,6310-18 J
Supponiamo adesso che l’elettrone alla distanza 0,5RBOHR abbia un’energia E = -210-18 J: quale è la sua
energia cinetica? (E = Uq + K  K = E – Uq = 6,6910-18 J)
Problema 3: l’elettrone scatenato. L’energia meccanica (E) di un
elettrone al livello fondamentale 1S ha il valore E = -2,1810-18 J. Qual è
il significato fisico del segno “-“? Potrebbe esistere un elettrone legato al
protone avente un’energia meccanica positiva?
Risp: pensaci… e chiedi al Prof se non hai capito!
Sapendo che al livello 1S l’energia cinetica (K) dell’elettrone è -in valore
assoluto- la metà di quella potenziale Uq, trova il valore di K e di Uq,
dopodiché trova il valore V. A questo punto, usando l’eq. (3), trova il
valore del raggio R1S. Ti ricorda qualcosa?
Risp: hint: usa la formula E = K + Uq per trovare K e Uq.
Ottieni: Uq=-4,3610-18 J , K=+2,1810-18 J ; V=27,2 Volt ; R=…
lo scopri da solo
L’atomo di idrogeno adesso viene urtato! ed acquista energia. L’elettrone salta al livello 2S, che è 4 volte più
distante dal protone di quanto lo sia il livello 1S. Trova il nuovo valore di V e, tenendo conto che anche in
questo caso K= ½ V (in valore assoluto), trova l’energia meccanica dell’elettrone. Quanta energia ha
dovuto acquistare l’elettrone per passare dal livello 1S al 2S ?
Risp: E2S=-5,4510-11 J. E’ un caso che E<0?
Per poter ionizzare un atomo di idrogeno è necessario fornire al singolo atomo un’energia minima Eion
2,1810-18 J. Tenendo conto che vale la relazione E = K + Uq , spiega il significato fisico del valore di
Eion.
Problema 4: semplici voltaggi… Un protone si muove in una regione dove esiste un campo elettrico
diretto verso sinistra, cosicché il potenziale cresce
verso destra (il vettore E ha sempre la punta diretta
verso il “-“ del potenziale, come dimostrato in classe:
non confondere E campo elettrico con E energia
meccanica!). Supponi che fra A e B esista una
differenza di potenziale di 1000V (in questo caso si
pone arbitrariamente il polo più basso al valore “0”:
perciò convenzionalmente VB=0); qual è l’energia
cinetica che guadagna il protone passando da A a B?
E quanto perde di potenziale Uq? Supponendo che
parta da fermo, qual è la sua velocità finale?
(K=1,610-16 J ; Uq = -K , Vf=437.740 m/s)
Cosa cambia se invece è un elettrone a passare da B ad A? (K=1,610-16 J , come per il protone; Vf =
18.742.000 m/s)
Supponi adesso che un protone si sposti da B a A: di quanto cambia la sua energia potenziale e cinetica?
(Uq=1,610-16 J ; K=-1,610-16 J : il protone perde velocità). Supponi che il protone parta da B con
un’energia cinetica Ki=0,810-16 J: riuscirà il protone a giungere in A? (No.) Ad un certo punto C del tragitto,
il protone si ferma: qual è il potenziale VC? (Uq = -K = 0,810-16 J  V=Uq/q = 500 Volt. Ne segue
che VC = 500 Volt + VB = 500 Volt -VB è convenzionalmente posto a “zero”-.)