Calcolo combinatorio

PROBABILITÁ e
CALCOLO
COMBINATORIO
Prof. Enrico Terrone
A. S: 2008/09
Probabilità e calcolo combinatorio
Abbiamo visto la definizione classica di probabilità:
probabilità dell’evento = (casi favorevoli) / (casi possibili)
p(E) = n(E) / n(S)
Nota: n(X) è il numero di elementi dell’insieme X, che
viene anche detta: cardinalità di X
Per poter applicare questa definizione, occorre una
tecnica che ci permetta di calcolare il numero di elementi
di un insieme in modo da stabilire quanti sono i casi
possibili e quanti i casi favorevoli.
Questa tecnica è il calcolo combinatorio. Le sue forme
che vedremo sono: prodotto cartesiano, permutazioni,
disposizioni, combinazioni, configurazioni.
Il prodotto cartesiano
Si definisce prodotto cartesiano fra due insiemi, l’insieme
formato da tutte le coppie ordinate di elementi, presi
rispettivamente dal primo e dal secondo insieme.
Es. A = {1, 2, 3}, B = {u, v}
C = AxB = { (1, u) (1, v), (2, u) (2, v), (3, u) (3, v) }
Per quanto riguarda il numero di elementi, la regola
generale è la seguente:
n(AxB) = n(A) * n(B)
Il prodotto cartesiano è utile quando si tratta di trovare i
casi possibili per un esperimento multiplo (es. lancio di
due dadi, lancio di tre dadi ecc.)
Le permutazioni
Le permutazioni degli elementi di un insieme X di
cardinalità n sono tutte le possibili sequenze ordinate di
lunghezza n che si possono costruire con gli elementi di
X.
Es X = {a, b, c}
Permutazioni:
(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)
Idea: devo riempire n caselle; alla prima ho n scelte; per
ciascuna di queste scelte me ne rimangono (n-1); al
passaggio successivo me ne rimangono (n-2)…
Il numero di permutazioni di n elementi è dunque:
n! = n*(n-1)*(n-2)… 2*1
Esempi sulle permutazioni
Es X = {a, b, c}
Permutazioni:
(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)
3! = 3*2*1
Nota: per convenzione, si assume che 0! = 1
Es1: In quanti modi diversi posso tenere cinque carte?
Es2: In quanti modi diversi posso mettere in fila dieci
alunni?
Es3: scrivere e usare una funzione C che calcoli il
fattoriale; trovare il valore per cui bisogna passare da int
a double.
Le disposizioni
Le disposizioni degli elementi di un insieme X di
cardinalità n su k caselle sono tutte le possibili sequenze
ordinate di lunghezza k che si possono costruire con gli n
elementi di X.
Es X = {a, b, c, d} k=2
Disposizioni: (a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d),
(c, a), (c, b), (c, d), (d, a), (d, b), (d, c)
Idea: devo riempire k caselle; alla prima ho n scelte; per
ciascuna di queste scelte me ne rimangono (n-1); al
passaggio successivo me ne rimangono (n-2) e mi fermo
dopo k passi, quando mi restano (n-k+1) scelte.
Il numero di disposizioni di n elementi su k caselle:
Dn, k = n*(n-1)*(n-2)…(n-k+1) = (n!) / (n-k)!
Esempi sulle disposizioni
Es X = {a, b, c, d} k=2
Disposizioni: (a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d),
(c, a), (c, b), (c, d), (d, a), (d, b), (d, c)
D4, 2 = 4*3 = 12
Nota: le permutazioni si possono vedere come
disposizioni speciali nelle quali k=n
Es1: In quanti modi diversi posso interrogare tre persone
in una classe di dieci alunni?
Es2: Quante parole di 3 lettere distinte posso formare
usando le cinque vocali e le consonanti {r, s} ?
Es3: scrivere e usare una funzione C che calcoli le
disposizioni.
Le combinazioni
Le combinazioni degli elementi di un insieme X di
cardinalità n su k caselle sono tutte le possibili sequenze
non ordinate di lunghezza k che si possono costruire con
gli n elementi di X.
Es X = {a, b, c, d} k=2
Combinazioni: (a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d),
(c, a), (c, b), (c, d), (d, a), (d, b), (d, c)
Idea: le combinazioni si ottengono dalle disposizioni
dividendo per le possibili permutazioni su k caselle (cioè
togliendo le coppie sottolineate in rosso).
Il numero di combinazioni di n elementi su k caselle:
Cn, k = [n*(n-1)*(n-2)…(n-k+1)] / k! = (n!) / [(n-k)! * k!]
Esempi sulle combinazioni
Es X = {a, b, c, d} k=2
Disposizioni: (a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, c), (b, d),
(c, a), (c, b), (c, d), (d, a), (d, b), (d, c)
C4, 2 = (4*3)/(2!) = 12/2 = 6
Es1: Quante diverse terne di alunni posso interrogare in
una classe di dieci persone?
Es2: Quanti diversi gruppi di 5 carte posso ottenere da
un mazzo di 40 carte?
Es3: scrivere e usare una funzione C che calcoli le
combinazioni.
Le configurazioni
Le “configurazioni” degli elementi di un insieme X di
cardinalità n su k caselle sono tutte le possibili sequenze
ordinate con ripetizioni, di lunghezza k, che si possono
costruire con gli n elementi di X.
Idea: è il prodotto cartesiano n*n*n… ripetuto k volte
È la regola che abbiamo usato tante volte a proposito del
sistema binario.
Il numero di configurazioni di n elementi su k caselle è:
n elevato a k
Es. Trovare quante parole di 3 lettere si possono scrivere
usando un alfabeto di 21 lettere.
Probabilità e calcolo combinatorio
Es1: Si prendono a caso 3 lampadine da una scatola da
15, dove ve ne sono 5 difettose. Calcolare la probabilità
che nessuna delle lampadine prese sia difettosa.
Es2: Si estraggono 2 carte da un mazzo di 52. Calcolare
la probabilità che siano entrambe di picche.
Es3: In una classe di 10 maschi e 7 femmine si
estraggono 4 interrogati. Calcolare la probabilità che
siano interrogati 4 maschi.