V - Dipartimento di Ingegneria dell`Energia elettrica e dell`Informazione

Trasformatore
www.die.ing.unibo.it/pers/mastri/didattica.htm
(versione del 3-12-2010)
Schema di principio
● Il trasformatore è una macchina elettrica statica
(priva di parti in movimento)
● E’ costituito da due avvolgimenti (detti primario e secondario) aventi
rispettivamente N1 e N2 spire avvolti su un nucleo di materiale
ferromagnetico
● E’ un componente a due porte che consente di trasferire potenza
elettrica tra due circuiti elettrici non collegati tra loro, ma accoppiati per
mezzo di un circuito magnetico
2
Ipotesi sul campo magnetico
● Se gli avvolgimenti sono percorsi da corrente viene generato un campo
magnetico
● Si assume che le linee di flusso abbiano andamenti qualitativi
corrispondenti ai tre tipi indicati in figura
 linee che si sviluppano interamente nel nucleo e si concatenano con
entrambi gli avvolgimenti
 linee che si sviluppano in parte in aria e si concatenano con un solo
avvolgimento
3
Flussi di induzione magnetica (1)
● Il flusso di induzione magnetica  dovuto a linee di campo che si
concatenano con entrambi gli avvolgimenti è detto flusso principale
● I flussi concatenati con il solo avvolgimento primario o il solo
avvolgimento secondario sono detti flussi di dispersione
 La riluttanza dei tubi di flusso di dispersione è determinata
prevalentemente dai tratti in aria
 è sempre lecito trascurare gli effetti di non linearità del nucleo e
assumere che i flussi di dispersione siano proporzionali alle correnti
d 1  Ld 1i1
d 2  Ld 2i2
Ld1, Ld2  induttanze di dispersione
 Ld1 e Ld2 sono correlate ai soli flussi dispersi, quindi non
rappresentano le induttanze dei due avvolgimenti
4
Flussi di induzione magnetica (2)
● Flussi totali concatenati con gli avvolgimenti
 c1  N1  d 1  N1  Ld 1i1
 c 2   N 2    d 2   N 2   Ld 2i2
5
Equazioni interne
● Circuito primario
v1 (t )  R1 i1 (t ) 
d c1
di
d
 R1 i1 (t )  Ld 1 1  N1
dt
dt
dt
R1  resistenza dell’avvolgimento primario
● Circuito secondario
v 2 (t )   R2 i 2 (t ) 
d c 2
di
d
  R2 i 2 (t )  Ld 2 2  N 2
dt
dt
dt
R2  resistenza dell’avvolgimento secondario
● Circuito magnetico
N1 i1  N 2 i 2  R
R  riluttanza del nucleo
6
Equazioni in condizioni di regime sinusoidale
● Ipotesi
 Il primario è alimentato da una tensione v1(t) sinusoidale
 Il secondario è collegato a un carico lineare
 E’ possibile trascurare gli effetti non lineari nel nucleo
 In condizioni di regime tutte le grandezze dipendenti dal tempo
variano con legge sinusoidale
 E’ possibile applicare la trasformata di Steinmetz alle equazioni
interne
V1  ( R1  jLd 1 )I1  jN1Φ
V2  ( R2  jLd 2 )I 2  jN 2Φ
N 1 I 1  N 2 I 2  RΦ
7
Effetti dissipativi in un trasformatore
● Nel modello sviluppato fino a a questo punto si è tenuto conto solo degli
effetti dissipativi dovuti alle resistenze degli avvolgimenti
 “perdite nel rame”
● Altri fenomeni dissipativi avvengono all’interno del nucleo magnetico
 “perdite nel ferro”
 Perdite per correnti parassite (correnti di Foucault)
 Se il flusso di induzione magnetica nel nucleo varia nel tempo
all’interno del nucleo si hanno delle forze elettromotrici indotte
 A causa della conducibilità del materiale ferromagnetico
all’interno del nucleo si hanno delle correnti
Dissipazione di energia per effetto Joule
 Perdite per isteresi
8
Correnti parassite (1)
● Induzione magnetica B uniforme, ortogonale alle sezioni trasversali e
variabile con legge sinusoidale
B(t )  BM cos t
● Si può pensare che in ogni sezione trasversale del nucleo esistano dei
circuiti elettrici elementari
● Se S indica l’area della sezione racchiusa da un circuito elementare, il
flusso concatenato è
  SBM cos t
 Forza elettromotrice indotta
e
d
 SBM sen t  EM sen t
dt
 Se R è la resistenza di un circuito elementare,
la potenza media dissipata in un periodo è
1 EM2 2 S 2 BM2
Pd 

2 R
2R
9
Correnti parassite (2)
● La trattazione precedente giustifica intuitivamente la formula
semiempirica
pCP  K CP f 2 BM2




pCP 
f 
BM 
KCP 
potenza dissipata per unità di peso del materiale
frequenza
induzione massima
costante dipendente dalla forma della sezione e dal
materiale (inversamente proporzionale alla resistività)
● Per ridurre le perdite dovute alle correnti parassite
 si utilizzano leghe ad elevata resistività (ferro-silicio)
 si ricorre alla laminazione del nucleo
10
Laminazione del nucleo (1)
● Il nucleo è formato da sottili lamierini sovrapposti e isolati tra loro
● Le correnti parassite si possono richiudere solo all’interno dei lamierini
 i percorsi interessati dalle correnti parassite hanno sezione minore
 resistenza più elevata
 a parità di f.e.m. indotta si hanno correnti minori
 l’area delimitata dalle linee di corrente è minore
 riduzione del flusso concatenato e quindi della f.e.m. indotta
11
Laminazione del nucleo (2)
● Nel caso di un nucleo laminato, la potenza dissipata per unità di
peso può essere espressa mediante la relazione
pCP  kCP  2 f 2 BM2





pCP
f
BM

kCP





potenza dissipata per unità di peso del materiale
frequenza
induzione massima
spessore di un lamierino
costante dipendente dal materiale
12
Perdite per isteresi (1)
● Si considera una bobina formata da N spire avvolta su un nucleo
toroidale di materiale ferromagnetico
● l  lunghezza media del circuito magnetico
● S  area della sezione trasversale
● R  resistenza dell’avvolgimento
● Vale la relazione
v  Ri
d C
dt
● Il flusso concatenato con l’avvolgimento è
 C  NS B
● Dalla legge di Ampere si ottiene
H l Ni
13
Perdite per isteresi (2)
● In un intervallo infinitesimo dt l’energia assorbita
dall’avvolgimento è
vi dt  R i 2 dt  i d C
● Questa relazione può essere posta nella forma
vi dt  R i 2 dt 
Hl
NSd B  R i 2 dt   H d B
N
 lS = volume del nucleo
 Il primo addendo è l’energia dissipata per effetto Joule
 HdB rappresenta l’energia per unità di volume assorbita dal
campo magnetico
14
Perdite per isteresi (3)
● Si fa variare periodicamente la corrente in
modo che il materiale ferromagnetico sia
soggetto a cicli di isteresi
● Complessivamente in ogni ciclo viene assorbita, per unità di volume, l’energia
w  Hd B

 Dissipazione di energia (convertita in calore)
● Il valore dell’energia dissipata in un
ciclo corrisponde all’area delimitata
dal ciclo di isteresi
15
Perdite per isteresi (4)
12
21
Hd B
12
Hd B
21
16
Perdite per isteresi (5)
● Ad ogni ciclo di isteresi corrisponde un’energia dissipata per unità di
volume pari all’area racchiusa dal ciclo stesso
 Le perdite per isteresi nel nucleo di un trasformatore dipendono
 dal numero di cicli di isteresi nell’unita di tempo, determinato dalla
frequenza f
 dall’area del ciclo di isteresi, determinata dal valore massimo
dell’induzione magnetica BM
 La potenza dissipata può essere espressa mediante la formula
semiempirica
pI  k I f BM1.6




pI
f
BM
kI




potenza dissipata per unità di peso
frequenza
induzione massima
costante dipendente dal materiale
17
Dipendenza dalle tensioni e dalla frequenza
2 2 2
● Perdite per correnti parassite: pCP  kCP  f BM
1.6
● Perdite per isteresi: p I  k I f BM
● Se si trascura la caduta di tensione su R1 e Ld1 si ha
V1  jN1Φ  j 2f N1SB
 Se V1 è fissata, il valore massimo dell’induzione magnetica BM è
circa inversamente proporzionale alla frequenza
le perdite per correnti parassite sono praticamente costanti al
variare di f
le perdite per isteresi diminuiscono al crescere di f
 Se f è fissata, BM è direttamente proporzionale all’ampiezza di v1(t)
le perdite aumentano all’aumentare dell’ampiezza di v1(t)
18
Rappresentazione delle perdite nel ferro
● Per tenere conto delle perdite nel ferro si può modificare il modello
introducendo un terzo avvolgimento fittizio caricato da una resistenza Rf
● Il valore della resistenza e il numero di spire dell’avvolgimento vanno
scelti in modo che la potenza dissipata su Rf coincida con la potenza
dissipata a causa delle perdite nel ferro
19
Rappresentazione delle perdite nel ferro
● Per l’avvolgimento fittizio vale la relazione
R f I f  jN f Φ  0
 I f   j
Nf
Rf
Φ
● Con il terzo avvolgimento l’equazione del circuito magnetico diviene
N1 I 1  N 2 I 2  N f I f  R Φ
cioè
N1I1  N 2 I 2  R  jK f Φ
Kf 
N 2f
Rf
 Le equazioni interne diventano
V1  ( R1  jLd 1 )I1  jN1Φ
V2  ( R2  jLd 2 )I 2  jN 2Φ
N1I1  N 2 I 2  R  jK f Φ
20
Trasformatore ideale (1)
● Il trasformatore ideale è caratterizzato dalle seguenti proprietà:
 avvolgimenti con resistenza nulla  R1  R2  0
 assenza di flussi dispersi  Ld1 = Ld2  0
 nucleo con permeabilità infinita      R  0
 assenza di effetti dissipativi nel nucleo  Kf  0
● In queste condizioni le equazioni interne divengono
V1  jN1Φ
V1 
N1
V2
N2
I1 
N2
I2
N1
V2  jN 2Φ
N1I1  N 2 I 2  0
21
Trasformatore ideale (2)
Equazioni caratteristiche
Simbolo
v1 (t )  K v 2 (t )
i1 (t ) 
K
1
i 2 (t )
K
N1
N2
rapporto di trasformazione (rapporto spire)
Potenza assorbita

1
p(t )  v1 (t ) i1 (t )  v 2 (t ) i 2 (t )  K v 2 (t )  i 2 (t )  v 2 (t ) i 2 (t )  0

K
 La potenza assorbita a primario viene trasferita integralmente in
uscita al secondario
22
Trasformazione dell’impedenza di carico
N
V1  1 V2
N2
I1 
N2
I2
N1
V2  Z C I 2
2
N 
N
V1  1 Z C I 2   1  Z C I1
N2
 N2 
2
V N 
Z eq  1   1  Z C
I1  N 2 
L’impedenza equivalente ai terminali del primario di un trasformatore
ideale con il secondario caricato da un impedenza ZC è pari all’impedenza di carico moltiplicata per il quadrato del rapporto spire
23
Trasferimento di impedenza (1)
N1
N
V2  1 V2  ZI 2 
N2
N2
N
I 2  1 I1
N2
V1 
2
N 
N
V1  1 V2   1  ZI1
N2
N

  2
 V
1
Un impedenza in serie al secondario può essere portata in serie
al primario moltiplicata per il quadrato del rapporto spire
24
Trasferimento di impedenza (2)
N2
N 
V 
I2  2  I 2  2 
N1
N1 
Z
N
V2  2 V1
N1
I1 
I1 
N2
V1
I2 
2
N1
  N1  Z
N 
 I
1  2
Un impedenza in parallelo al secondario può essere portata in
parallelo al primario moltiplicata per il quadrato del rapporto spire
25
Corrente magnetizzante e corrente attiva (1)
● L’equazione del circuito magnetico può essere posta nella forma
N1I1  N 2 I 2  R  jK f Φ
I1 
N2
I 2  I  I a
N1
 Corrente magnetizzante
I 
RΦ
N1
 La corrente magnetizzante coincide con la corrente che circolando nell’avvolgimento primario con I2  0 produrrebbe il flusso 
N1I   RΦ
 Corrente attiva
I a  j
Kf
N1
Φ
 La corrente attiva determina le perdite nel nucleo
26
Corrente magnetizzante e corrente attiva (2)
● Si indicano con E1 e E2 le f.e.m. dovute al flusso principale
E1  jN1Φ
E 2  jN 2 Φ
● La corrente attiva Ia è in quadratura con   è in fase con E1
 Si può porre
E1
jN1Φ
N12


R0 
Kf
Ia
Kf
Φ
j
N1
R0 = resistenza di perdita del nucleo
● La corrente magnetizzante I è in fase con   è in quadratura con E1
 Si può porre
E1 jN1Φ
N12
jX 0 

 j
R
Φ
R
I
N1
X0 = reattanza magnetizzante
27
Circuito equivalente (1)
● Si riscrivono le equazioni interne facendo uso delle definizioni
precedenti
V1  ( R1  jLd 1 )I1  jN1Φ
V2  ( R2  jLd 2 )I 2  jN 2Φ
N1I1  N 2 I 2  R  jK f Φ
E1  jN1Φ
I 
RΦ
N1
I a  j
j
Kf
N1
E1
X0
Φ
E1
R0
V1  ( R1  jLd 1 )I1  E1
V2  ( R2  jLd 2 )I 2 
I1 
N2
E1
N1
 1
1 
N2
E1
I 2  I   I a    j
N1
X0 
 R0
E’ possibile rappresentare
queste equazioni mediante
un circuito equivalente
28
Circuito equivalente (2)
V1  ( R1  jLd 1 )I1  E1
V2  ( R2  jLd 2 )I 2 
I1 
N2
E1
N1
 1
N2
1 
E1
I 2  I   I a    j
N1
R
X
0 
 0
29
Circuito equivalente riferito a primario
Si utilizza la proprietà di
trasferimento dell’impedenza
N12
R12  R2 2
N2
Ld 12
N12
 Ld 2 2
N2
V12  V2
I12  I 2
N1
N2
N2
N1
30
Circuiti equivalenti semplificati (1)
● Di solito la caduta di tensione su R1 e Ld1 è molto piccola
● In queste condizioni si ha E1  V1
 Si può semplificare il circuito equivalente, spostando il ramo R0 - X0
 In questo modo R1 e Ld1 risultano in serie con R12 e L12
R1cc
N12
 R1  R12  R1  R2 2
N2
L1cc
N12
 Ld 1  L12  Ld 1  Ld 2 2
N2
31
Circuiti equivalenti semplificati (2)
● Facendo uso della proprietà di trasferimento dell’impedenza, il ramo
R1cc L1cc può essere sostituito con un ramo posto in serie al secondario
R2 cc  R1cc
N 22
N 22
 R1 2  R2
2
N1
N1
L2 cc  L1cc
N 22
N 22
 Ld 1 2  Ld 2
N12
N1
32
Circuiti equivalenti semplificati (3)
● Se I0 è trascurabile rispetto a
I1 (come avviene in generale
per un trasformatore in condizioni nominali) è possibile semplificare ulteriormente i circuiti
equivalenti eliminando il ramo
formato da R0 e X0
 reti equivalenti di Kapp
33
Dati di targa
● Un trasformatore è caratterizzato da un insieme di valori nominali che
ne definiscono le prestazioni ai fini delle garanzie e del collaudo
● Questi valori, assieme ad altre informazioni, sono riportati su una targa
apposta sul trasformatore (dati di targa)
● Alcuni dei principali dati di targa sono:
 Frequenza nominale: fn [Hz]
 Tensione nominale primaria (valore efficace): V1n [V]
 Tensione nominale secondaria a vuoto (valore efficace): V20 [V]
Rapporto nominale di trasformazione: K0  V1n / V20
 Potenza nominale (apparente): Sn  V1n · I1n  V20·I2n [VA]
Corrente nominale primaria (valore efficace): I1n [A]
Corrente nominale secondaria (valore efficace): I2n [A]
34
Prova a vuoto (1)
● Al primario viene applicata una tensione di valore nominale
● Il secondario viene lasciato aperto I2  0
● Corrente del primario
I1  I   I a  I 0
 il valore è molto inferiore al valore nominale
 le perdite nel rame sono trascurabili
● La caduta di tensione su R2 e Ld2 è nulla
● La caduta di tensione su R1 e Ld1 e molto piccola rispetto al valore in
condizioni nominali
 il rapporto V1/V2 si identifica con quello di un trasformatore ideale
V1 N1

 K 0 (rapporto di trasformazione nominale)
V2 N 2
● E1 e quindi Ia hanno praticamente i valori nominali
 le perdite nel ferro coincidono con quelle relative al funzionamento
nominale
35
Prova a vuoto (2)
● Il comportamento a vuoto del trasformatore può essere descritto
mediante i parametri:
 Corrente a vuoto percentuale
I
i0 %  10 100
I10 = corrente a vuoto del primario
I1 n
 Potenza a vuoto percentuale
P
P0 %  0 100
P0 = potenza attiva assorbita a vuoto
Sn
 Fattore di potenza a vuoto
P
cos 0  0
V1n I10
● I tre parametri non sono indipendenti tra loro dato che risulta
V I cos 0
P0 %  1 n 10
 100  i0 %  cos 0
V1 n I1n
36
Prova a vuoto (3)
● Noti i parametri Sn, V1n, i0% e cos0, facendo riferimento al circuiti
equivalenti semplificati, è possibile calcolare i valori di R0 e X0
P0 
i0 %  cos 0
Sn
100
Q0  P0 tan(arccos 0 )
V12n
R0 
P0
V12n
X0 
Q0
37
Prova in cortocircuito (1)
● Se il secondario è chiuso in cortocircuito V2 = 0  V12 = 0
● L’impedenza R0 X0 è in parallelo con l’impedenza R12 Ld12
 R0 e X0 possono essere trascurate perché normalmente R12 e Ld12
sono molto piccole
 Corrente del primario
I1 
V1
V1

R1  jLd 1  R12  jLd 12 R1cc  jL1cc
38
Prova in cortocircuito (2)
● Le impedenze dovute alle resistenze di degli avvolgimenti e alle
induttanze di dispersione sono molto piccole
● Se la tensione a primario ha valore nominale le correnti possono
risultare molto grandi rispetto ai valori nominali
 eccessivo surriscaldamento dovuto all’effetto Joule
 possibili danni dovuti alle forze tra gli avvolgimenti prodotte
dalle correnti
● Nella prova in cortocircuito il trasformatore viene alimentato con
una tensione V1cc , di valore efficace inferiore a V1, tale da fare
circolare nel secondario una corrente di valore nominale
39
Prova in cortocircuito (3)
● Le correnti I1 e I2 hanno valore nominale (a rigore questo vale
solo per il I2, ma con ottima approssimazione si può ritenere
verificato anche per I1)
 le perdite nel rame sono praticamente coincidenti con quelle
relative al funzionamento nominale
● V1 ha un valore molto inferiori a quello nominale
 la corrente Ia e I hanno valori molto piccoli rispetto ai valori
in condizioni nominali
 le perdite nel ferro sono trascurabili
 il rapporto I1/I2 si identifica con quello di un trasformatore
ideale
I1 N 2

I 2 N1
40
Prova in cortocircuito (4)
● Il comportamento del trasformatore in cortocircuito può essere
descritto mediante i parametri:
 Tensione di cortocircuito percentuale
V
vcc %  1cc  100
(V1cc = Tensione di cortocircuito del primario)
V1 n
 Potenza di cortocircuito percentuale
P
Pcc %  cc  100
(Pcc = potenza attiva assorbita in cortocircuito)
Sn
 Fattore di potenza in cortocircuito
P
cos cc  cc
V1cc I1 n
● I tre parametri non sono indipendenti tra loro dato che risulta
V I cos cc
Pcc %  1cc 1n
100  vcc %  cos cc
V1n I1n
41
Prova in cortocircuito (5)
● Noti i parametri Sn, V1n, V20, vcc% e coscc, facendo riferimento ai circuiti
equivalenti semplificati, è possibile calcolare i valori di R1cc e X1cc o di
R2cc e X2cc
Pcc 
vcc %  cos cc
Sn
100
Qcc  Pcc tan(arccos cc )
Sn
V1n
P
R1cc  cc2
I1 n
Q
X 1cc  2cc
I1 n
I1 n 
Sn
V20
P
R2 cc  2cc
I 2n
Q
X 2 cc  2cc
I2n
I2n 
42
Rendimento
● Trasformatore alimentato a primario da una tensione sinusoidale
con il secondario collegato ad un impedenza di carico
● Rendimento

P2
P1
P1  potenza attiva assorbita dal primario
P2  potenza attiva ceduta al carico
● I trasformatori, essendo macchine statiche, hanno rendimenti
molto elevati (oltre il 99.5% per i trasformatori di grande potenza)
 La definizione non è adatta per la misura del rendimento
 P1 e P2 sono poco diverse tra loro  la valutazione del
rapporto è molto sensibile agli errori di misura
 Le potenze in gioco possono essere molto elevate
43
Rendimento convenzionale
● Il rendimento convenzionale è definito dalla relazione
C 
Sn
S n  PCu  PFe
 Sn  potenza nominale del trasformatore
 PCu  potenza dissipata a causa delle perdite nel rame
 PFe  potenza dissipata a causa delle perdite nel ferro
● La misura del rendimento convenzionale del trasformatore
richiede la valutazione delle perdite nel rame e nel ferro
 può essere effettuata mediante una prova in cortocircuito e una
prova a vuoto
44