Corso di Idraulica
ed Idrologia Forestale
Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone
Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema
Lezione n. 5: Cinematica dei fluidi
Anno Accademico 2008-2009
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Indice
Approcci Euleriano e Lagrangiano
Regola di derivazione Euleriana della velocità
Traiettorie e linee di corrente
Moto permanente e vario
Portata e velocità media
Correnti
Equazione di continuità per le correnti
Materiale didattico
Slides delle lezioni frontali
Citrini-Noseda (pagg. 75-80 e 83-87)
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Approcci Euleriano e Lagrangiano
Il moto di una particella è caratterizzata dalla velocità V,
funzione del punto in cui la particella di fluido si trova e
del tempo:
V = V (x, y, z, t)
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Approcci Euleriano e Lagrangiano
Pertanto:
fissato un istante di tempo t0, le componenti
definiscono il moto in tutti i punti dello spazio occupato
dal fluido
fissato un punto dello spazio, di coordinate x0, y0 e z0,
esse forniscono la “storia” di quanto accade al fluido nel
punto considerato
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Approcci Euleriano e Lagrangiano
Il vettore velocità V può essere espresso tramite le
componenti u, v e w:
u = u (x, y, z, t)
v = v (x, y, z, t)
w = w (x, y, z, t)
Le componenti della velocità sono definite come segue:
dx
u=
dt
dy
v=
dt
dz
w=
dt
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Regola di derivazione Euleriana della velocità
In generale:
dV ∂V dx ∂V dy ∂V dz ∂V
A=
=
+
+
+
dt
∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
componente di
velocità
accelerazione
locale
∂V
∂V
∂V ∂V
a=u
+v
+w
+
∂x
∂y
∂z
∂t
accelerazione
(sostanziale)
componente
dell’accelerazione
convettiva
accelerazione
convettiva
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Approccio Lagrangiano
Consideriamo un gruppo di palline di ping-pong
trasportate dalla corrente di un fiume
La posizione del baricentro di ogni pallina sarà
individuabile dalle coordinate x, y e z nei diversi istanti
temporali t
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Approccio Lagrangiano
Fissiamo l’attenzione su una di esse, che indichiamo
con A, e scattiamo delle fotografie in successivi istanti
1, 2, 3, 4, rilevando le sue posizioni e velocità
Tale approccio, che segue, come detto, le “vicende” di
ogni singola pallina, viene scarsamente utilizzato
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Approccio Euleriano
Invece di seguire una singola pallina, fermiamoci in un
punto di coordinate x0, y0 e z0 e scattiamo delle
fotografie ad intervalli di tempo t
Il vettore velocità apparirà diverso da istante a istante;
naturalmente le particelle che fotografiamo saranno
diverse da istante a istante
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Approccio Euleriano
Ai fini pratici, perseguiti dall’idraulica, alla quale
interessa non tanto la vicenda della singola particella di
fluido in moto, ma i valori delle grandezze fisiche che
riguardano il fluido (velocità, pressione, ecc.) in
determinati punti di esso o lungo determinate linee o
superfici
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Traiettorie e linee di corrente
Il luogo dei punti occupati dalla particella di fluido in
movimento (ossia nel nostro esempio dalla pallina) nei
successivi istanti è detto traiettoria
La curva tangente in ciascuno dei suoi punti al vettore
velocità nel punto considerato è detta linea di corrente
a)
D
C
A
B
v(x ,y ,z ,t )
C
v(x ,y ,z ,t )
A
A
A
1
C
C
v(x ,y ,z ,t )
D
D
D
1
1
v(x ,y ,z ,t )
B
B
B
1
b)
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Moto permanente e moto vario
z
t
B
D
1
A
C
x
y
z
E
B
t
A
2
D
C
x
y
Se la velocità è effettivamente funzione del tempo, cioè se
V = V (x, y, z, t), il moto si definisce vario
Se invece la velocità non è funzione del tempo, cioè se V
= V (x, y, z), il moto si definisce permanente
Nel moto vario le traiettorie non coincidono con le linee di
corrente; nel moto permanente invece le traiettorie
coincidono con le linee di corrente
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Moto permanente (esempio)
Il vettore velocità varia da punto a punto, ma, in istanti
diversi, è uguale nello stesso punto
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Portata e velocità media
Σ
Consideriamo una linea chiusa Σ che non sia una linea
di corrente ed osserviamo le linee di corrente che
passano per tale linea chiusa in un certo istante t1
L’insieme delle linee di corrente forma un “tubo di
flusso”
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Portata e velocità media
dσ
Sulla superficie elementare dσ il vettore V ha una
componente normale Vn e una componente tangenziale Vt
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Portata e velocità media
Il prodotto
Vn dσ = dQ
è detto portata elementare e rappresenta il volume di
fluido che attraversa la superficie dσ nell’unità di tempo
Infatti, se ds è lo spazio percorso da una particella che
attraversa dσ nel tempo infinitesimo dt, risulta
dτ
dσ
Vn = ds/dt
e
Σ
ds dτ
=
dQ = dσ Vn = dσ
dt dt
dσ ds = dτ è il volume che attraversa
dσ nell’intervallo di tempo dt
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Portata e velocità media
Integrando la portata elementare dQ sulla superficie
finita Σ, di cui dσ è parte, si ottiene:
Q = ∫ Vn dσ
Σ
detta “portata del tubo di flusso” o semplicemente portata
La portata è pertanto il volume di fluido che attraversa Σ
nell’unità di tempo
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Portata e velocità media
Si definisce velocità media Vm il rapporto
Q
Vm =
Σ
[L3 T-1][L-2]=[LT-1]
La portata in massa è l’integrale
QM = ∫ ρ Vn dσ
Σ
Esso fornisce la massa di fluido che attraversa Σ
nell’unità di tempo
La massa che attraversa Σ in un tempo elementare dt è:
dM =
[∫ ρ V dσ ]dt
Σ
n
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Portata e velocità media
Vn
n
n
V>0
n
Vn
n
τ
V<0
n
n
Per convenzione, assunto un tubo di flusso e tagliato lo
stesso con due sezioni, in modo da definire un volume τ,
assumiamo positiva la normale entrante n
La Vn sarà positiva, se attraverso la superficie che si
considera entra una massa fluida nel volume definito;
sarà negativa se esce una massa fluida
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Correnti
Definiamo “corrente” una massa fluida in moto con una
direzione privilegiata (una corrente d’aria, una corrente
marina, ecc.); quindi il moto di tutte le particelle passanti
per una sezione segue una direzione preferenziale
A
A
x ,y ,z ,t
1
1
1
1
A
x ,y ,z ,t
2
2
2
2
A
x ,y ,z ,t
3
3
3
3
x ,y ,z ,t
4
4
4
4
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Equazione di continuità per le correnti
Consideriamo una corrente che, in un istante t,
attraversa una superficie Σ; spostandoci di una distanza
ds nella direzione della corrente, definiremo un volume
dτ dato da Σ ds
All’interno di questo volume, dalla superficie
nell’intervallo dt, entra la massa dM e = ρ Q dt
Σ
dM =(ρ Q+ δρQ/δs ds)dt
u
ds
dτ
Σ
dM = ρ Q dt
e
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Equazione di continuità per le correnti
Nello stesso intervallo, dalla superficie a distanza ds da
Σ, esce la massa
∂ρQ
dM u = ρ Q +
ds dt
∂s
∂ρQ
La differenza dMe− dMu è data da dM = −
ds dt
∂s
dM =(ρ Q+ δρQ/δs ds)dt
u
ds
dτ
Σ
dM = ρ Q dt
e
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Equazione di continuità per le correnti
D’altra parte, all’interno del volume dτ la variazione dM
di massa in dt è:
∂
dM = ( ρ Σ ds ) dt
∂t
poiché è dM = dMe− dMu, risulta
ossia:
∂ρQ
∂
−
ds = ( ρ Σ ds )
∂s
∂t
∂ρQ ∂ρ Σ
+
=0
∂s
∂t
Equazione di continuità
in forma globale
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Equazione di continuità per le correnti
Per i fluidi incomprimibili (ρ = costante), essa diventa:
∂Q ∂ Σ
+
=0
∂t
∂s
e per il moto permanente:
∂Q
=0
∂s
cioè Q è costante lungo una traiettoria s
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