Equazione globale dell`idrodinamica

Corso di Idraulica
ed Idrologia Forestale
Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone
Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema
Lezione n. 8: Equazioni fondamentali
dell’idrodinamica
Anno Accademico 2008-2009
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Indice
Equazione indefinita dell’equilibrio idrodinamico
Equazione globale dell’idrodinamica
Applicazione
Materiale didattico
Slides delle lezioni frontali
Citrini-Noseda (pagg. 90-102)
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Equazione indefinita dell’equilibrio idrodinamico
Detta R la risultante delle forze, m la massa e A
l’accelerazione, per la prima equazione cardinale della
dinamica deve risultare
R =mA
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Equazione indefinita dell’equilibrio idrodinamico
Detta F la forza di massa per unità di massa e Φx, Φy e
Φz gli sforzi agenti sulle superfici, risulterà:
 ∂Φ x ∂Φ y ∂Φ z
+
ρ F dx dy dz − 
+
∂y
∂z
 ∂x

 dx dy dz = ρ dx dy dz A


da cui si ottiene:
∂Φ y
∂Φ x
∂Φ z
+
ρ (F − A ) =
+
∂y
∂z
∂x
Equazione indefinita
dell’equilibrio idrodinamico
o equazione di Eulero
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Equazione indefinita dell’equilibrio idrodinamico
Nell’ipotesi che esistano solo sforzi normali, le
particelle non subiscono azioni tangenziali (fluido
perfetto), per cui, essendo:
Φ xx = Φ yy = Φ zz = p
si ha:
ρ (F - A ) = grad p
con:
∂p
∂p
∂p
grad p =
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
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Equazione indefinita dell’equilibrio idrodinamico
Nel campo di gravità, essendo F = g, si ha:
g = − g grad z
l’equazione indefinita dell’equilibrio idrodinamico diventa:
− ρ g grad z − grad p = ρ A
e, se si considera il fluido incomprimibile, dividendo per
ρ g:

p
1 dv
grad  z +  = −
γ
g dt

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Equazione globale dell’idrodinamica
Consideriamo una massa
fluida in moto, che in un
certo istante t1 occupi il
volume Σ1 ds1
Sia v1 la velocità all’istante t1; immaginiamo ora che,
all’istante t2 = t1+dt, la massa considerata vada ad
occupare il volume Σ2ds2 e possegga la velocità v2.
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Equazione globale dell’idrodinamica
Ricordando che nella Meccanica la quantità di moto di
un corpo è un vettore dato dal prodotto della massa del
corpo per la sua velocità, poiché ρΣ1 ds1 è la massa
fluida interessata, potremo dire che la quantità di moto
iniziale è:
ρΣ1 ds1 v1
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Equazione globale dell’idrodinamica
La quantità di moto finale è allo stesso modo:
ρΣ2 ds2 v2
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Equazione globale dell’idrodinamica
Le forze che agiscono sulla massa fluida sono le forze
di massa, G, e le forze di superficie, Π
La risultante è:
G+Π
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Equazione globale dell’idrodinamica
L’impulso della forza risultante (pari al prodotto fra la
forza e l’intervallo temporale durante cui essa viene
applicata, dt) è:
(G+Π) dt
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Equazione globale dell’idrodinamica
Per il teorema dell’impulso, l’impulso di una forza che
durante un intervallo dt agisce su un corpo è uguale alla
variazione della quantita di moto del corpo stesso;
pertanto:
(G+Π) dt = ρΣ2 ds2 v2 - ρΣ1 ds1 v1
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Equazione globale dell’idrodinamica
Dividendo ambo i membri per dt:
G+Π = ρΣ2 v2 v2 - ρΣ1 v1 v1
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Equazione globale dell’idrodinamica
Ricordando la definizione di portata si ottiene:
G+Π = ρQv2 - ρQv1
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Equazione globale dell’idrodinamica
L’uguaglianza dei vettori G+Π e ρQ(v2 - v1) è mostrata
dalla figura
Poniamo:
ρQv1 = M1
ρQv2 = M2
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Equazione globale dell’idrodinamica
Pertanto risulta:
G+Π + M1- M2 = 0
Equazione globale
dell’idrodinamica
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Equazione globale dell’idrodinamica
Si noti che M1 e M2, che in idraulica chiamiamo “quantità
di moto”, hanno le dimensioni di una forza; esse sono in
effetti una quantità di moto nell’unità di tempo (flusso
della quantità di moto):
ds
M = ρΣ v
dt
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Equazione globale dell’idrodinamica
Π è la risultante delle forze di superficie, quindi tiene
conto sia di quelle che agiscono sulla superficie della
tubazione, sia di quelle che agiscono sulle superfici Σ1 e
Σ2 da cui il fluido rispettivamente entra ed esce
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Equazione globale dell’idrodinamica: applicazione
Tratto di tubazione curva in un piano orizzontale, in cui
defluisca, in moto permanente, un fluido incomprimibile
Determinare la spinta che il liquido esercita sulla parete
della curva stessa
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Equazione globale dell’idrodinamica: applicazione
Applichiamo l’equazione globale al volume contenuto
nella curva. Risulta:
G+Π + M1- M2 = 0
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Equazione globale dell’idrodinamica: applicazione
La spinta Π che la superficie
di contorno esercita sul fluido
all’interno della curva si può
scomporre come segue:
Π = Π1 + Π2 +ΠL
dove Π1 è la spinta applicata
dalla superficie Σ1, Π2 quella
applicata dalla superficie Σ2,
ΠL quella applicata dalla
superficie laterale L
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Equazione globale dell’idrodinamica: applicazione
L’equazione globale si scrive quindi come:
G + Π1 + Π2 + ΠL + M1- M2 = 0
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Equazione globale dell’idrodinamica: applicazione
La spinta S che si vuole determinare è uguale e contraria
a quella esercitata dalla parete della curva, quindi:
S = - ΠL = G + Π1 + Π2 + M1- M2
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Equazione globale dell’idrodinamica: applicazione
Consideriamo le forze che agiscono sul
orizzontale; l’equazione precedente diventa:
piano
So = Π1 + Π2 + M1- M2
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Equazione globale dell’idrodinamica: applicazione
I moduli dei vettori che compaiono nella precedente
equazione risultano:
ρQv1 = M1; ρQv2 = M2; Π1 = p Σ1; Π2 = p Σ2
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Equazione globale dell’idrodinamica: applicazione
Effettuando la composizione dei vettori, si evince che la
componente orizzontale della spinta esercitata dal fluido
sulla superficie del tubo (So) è diretta verso l’esterno
della curva
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Equazione globale dell’idrodinamica: applicazione
Per tale motivo, nelle condotte in pressione, si
dispongono dei blocchi d’ancoraggio all’esterno delle
curve
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