Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale

Corso di Idraulica
ed Idrologia Forestale
Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone
Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema
Lezione n. 7: Il moto dei fluidi reali
Anno Accademico 2008-2009
1
Indice
Regimi di moto
Cadente e cadente piezometrica
Sforzo tangenziale e perdita di carico
Formule pratiche di moto uniforme
Formule per il moto laminare
Formule per il moto turbolento
Moto puramente turbolento
Moto turbolento in tubi lisci
Moto turbolento di transizione
Abaco di Moody
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2
Indice
Perdite di carico localizzate come fenomeni
turbolenti
Perdita nei divergenti
Perdita d’imbocco
Perdita d’imbocco nel caso di tubazione ben
immersa nel serbatoio
Sbocco con diffusore
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3
Materiale didattico
Slides delle lezioni frontali
Citrini-Noseda (pagg. 180 + 186-187 + 197-201 + 208216 + 224-240)
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4
Regimi di moto
Nel moto di un fluido reale, rispetto ad un fluido ideale
intervengono due azioni interne:
viscosità
dà luogo ad azioni tangenziali
tra le particelle di fluido e tra esse e la tubazione (azione
di trascinamento-resistenza del condotto)
agitazione turbolenta
dà luogo ad urti
ed a scambio di quantità di moto tra le particelle
Entrambe tali azioni provocano una
perdita di energia meccanica
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5
Regimi di moto
Il moto di un fluido si può svolgere in presenza delle
sole azioni viscose: in tal caso si parla di moto in
regime laminare (o moto laminare)
Quando è presente l’agitazione turbolenta si parla di
moto in regime turbolento (o moto turbolento)
Nel moto turbolento possono coesistere le azioni
viscose e l’agitazione turbolenta: in generale
quest’ultima prevale sulle azioni viscose
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6
Regimi di moto
Nel campo di moto turbolento possiamo immaginare
“sovrapposti” due movimenti:
l’uno, cosiddetto “di trasporto”, che determina lo
spostamento d’insieme della massa fluida
l’altro, cosiddetto “di agitazione”, che comporta
scambi di massa da zona a zona del campo di moto,
dovuto a componenti della velocità del fluido
(“componenti di agitazione”) non parallele alla direzione
della corrente
Le componenti di agitazione non danno alcun contributo
al trasporto di massa, ma determinano unicamente una
irregolare oscillazione dei caratteri del moto intorno ai
valori medi di trasporto
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7
Regimi di moto
Reynolds mostrò che, introducendo un filetto fluido
colorato in una tubazione con acqua in moto, fino a una
certa velocità V1 il filetto si mantiene rettilineo, mentre,
per velocità V2>V1, esso si disperde nella massa fluida
Nel primo caso il moto è laminare; nel secondo è
turbolento
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Cadente
Se esiste una forza tangenziale o azione di
trascinamento (ossia un’azione esercitata dal liquido
sulla superficie del condotto), si origina una differenza
dH tra le quote piezometriche
p1
v12
p2
v22
dH = ( z1 + + α
) − ( z2 +
+α
)
γ
2g
γ
2g
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Cadente
L’energia perduta per unità di peso e per unità di
percorso (o perdita unitaria) è:
dH
J=
ds
cadente
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[-]
10
Cadente piezometrica
Nel caso di moto uniforme (v1 = v2)

p1  
p2 
dH =  z1 +  −  z 2 +  = dh
γ  
γ 

dH dh
J=
=
cadente piezometrica
ds ds
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Sforzo tangenziale e perdita di carico
Indichiamo con R l’azione di trascinamento, che ha la
seguente
espressione
(derivata
dall’applicazione
dell’equazione globale dell’idrodinamica al volume di
controllo)
R = γ σ dH
σ = sezione del volume di controllo
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12
Sforzo tangenziale e perdita di carico
Possiamo facilmente esprimere lo sforzo tangenziale
alla parete, τ0, dividendo per C ds, dove C è il contorno
del prisma di sezione σ e lunghezza ds (“contorno
bagnato”), trovando:
τ0 =
γ σ ds J
C ds
Posto σ/C = Ri (raggio idraulico), si ha:
τ0= γ Ri J
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Sforzo tangenziale e perdita di carico
da cui:
τ0
J=
γ Ri
Possiamo inoltre considerare che τ0 risulterà funzione
della velocità, in base alla sua definizione (legge di
Newton)
Sarà quindi:
J = f (v )
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Sforzo tangenziale e perdita di carico
Applicazione: condotta a diametro costante che
collega due serbatoi di quota zA e zB
v2
v2
v2
v2
z A − z B = ∆H +
+ ΣC
= JL +
+ ΣC
2g
2g
2g
2g
v2
ΣC
2g
somma delle perdite concentrate (per esempio di
imbocco
e
di
brusco
allargamento)
eventualmente presenti
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Sforzo tangenziale e perdita di carico
Applicazione: condotta a diametro costante che
collega due serbatoi di quota zA e zB
Basterà dunque, conoscere τ0 = τ0(v), per conoscere
anche J = J(v) e poter porre:
2
v
z A − z B = J (v ) L + k
2g
risolvendo il problema del moto rispetto alla sola
incognita v
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Formule pratiche di moto uniforme
Formula di Darcy-Weisbach
2
v
J= f
2 gD
f = indice di resistenza, usualmente compreso tra 0,01 e
0,1
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Formule pratiche di moto uniforme
Pertanto si ha:
v2
v2
z A − z B = JL +
+ ΣC
2g
2g
2
2
2
f
v
v
v
zA − zB = L
+
+ ΣC
D 2g 2g
2g
e infine:
2
f
v


z A − zB =  L + 1 + ΣC 
D
 2g
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Formule per il moto laminare
Per il moto laminare e per sezione circolare vale la
formula di Hagen e Poiseuille, in base alla quale la
cadente J è funzione della viscosità dinamica µ, della
velocità v, del diametro D della tubazione e del peso
specifico del fluido γ:
32 µ v
J=
γ D2
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Formule per il moto laminare
Dal confronto con la formula di Darcy−Weisbach
risulta:
f v 2 32 µ v
=
2g D γ D 2
f = 64
µ
ρvD
L’espressione ρνD/µ è anch’esso adimensionale ed è
denominato numero di Reynolds:
ρvD
Re =
µ
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Formule per il moto laminare
Pertanto si ha:
ƒ = 64/Re
log ƒ = log 64 – log Re
0,1
f
0,01
100
1000
Re 10000
Il moto laminare è stabile per Re = 800÷2000
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Formule per il moto turbolento
Al contrario di quanto accade per il moto laminare, le
formule di moto uniforme per il regime turbolento sono
valide sia per le condotte, sia per i canali, dipendendo
poco dalla forma della sezione
Si usa pertanto esprimere in tali formule J in funzione
del raggio idraulico della generica sezione
A
Ri =
C
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Formule per il moto turbolento
23
i
12
Formula di Gauckler−Strickler
v=KR
Formula di Manning
1 23 12
v = Ri J
n
J
K è un coefficiente di velocità con dimensioni [L1/3 T-1]
n è un coefficiente di scabrezza con dimensioni [L-1/3 T]
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Formule per il moto turbolento
Per le condotte metalliche degli acquedotti (175 mm < D <
400 mm) valgono le formule seguenti:
Q2
J =β 5
D
Formula di Darcy
0,000042
β = 0,00164 +
D
Si osservi che [β] = [L5] [L-6 T2] = [L-1 T2], cioè 1/β = [L T-2]
(β ha le dimensioni del reciproco di una accelerazione)
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Formule per il moto turbolento
f =
1

 1 ε 
 − 2 log
 
 3,715 D  

2
Formula di Prandtl
dove D è il diametro della tubazione ed ε una variabile
che ne caratterizza la scabrezza
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Formule per il moto turbolento
Pertanto ƒ non dipende dal numero di Reynolds, ma è
sempre decrescente col diametro e crescente con la
scabrezza
0.1
f
D1<D2<D3
D1
D2
D3
0.01
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
1.E+06
1.E+07
Re
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1.E+08
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Formule per il moto turbolento
 2,51
= −2 log
 Re f
f

1




Formula di Von Kàrman
 1 ε
2,51

= −2 log
+
 3,715 D Re f
f

1

Formula di

 Colebrook e White

Il moto puramente turbolento è caratterizzato da valori
del numero di Reynolds molto elevati, dell’ordine di 105
o 106
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Moto turbolento in tubi lisci
(in materiale plastico)
f = 0,316 Re −0, 25
Formula di Blasius
 2,51
= −2,03 log
 Re f
f

1




Formula di
Prandtl-Von Kármán
0.1
f
ε/D=0,05
ε/D=0,01
ε/D=0,001
0.01
1.E+02
1.E+03
1.E+04
1.E+05
1.E+06
1.E+07 Re
1.E+08
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Moto turbolento di transizione
Regime intermedio tra quello puramente turbolento e
quello turbolento in tubi lisci
 2,51

ε

= −2,03 log
+
 Re f 3,715 D 
f


1
Formula di
Colebrook e White
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Abaco di Moody
Completa rappresentazione delle diverse leggi di moto
0.1
f
Mo to la m in a re
Mo to Tu rb o le n to
d i tra n s izio n e
M o to a sso lu ta m e n te
T u rb o le n to
Tu b o lis cio
0.01
1.E + 02
1.E + 03
1.E + 04
1.E + 05
1.E + 06
1.E + 07
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Re
1.E + 08
30
Perdite di carico localizzate
come fenomeni turbolenti
Poiché le perdite di carico localizzate sono associate
ad agitazione turbolenta, esse sono espresse come:
V2
∆H = ξ
2g
dove V è la velocità che si stabilisce in una sezione
caratteristica e ξ è un coefficiente che dipende dalla
geometria
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31
Perdite localizzate
Quando nelle tubazioni si verificano dei cambiamenti di
sezione o di direzione, la corrente non può essere
considerata come gradualmente variata e si verificano
delle perdite di carico localizzate
b) Brusco restringimento
c) curva
d) saracinesca
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32
Brusco allargamento (perdita di Borda)
∆H
Carichi totali
2
v2 /2g
Piezometrica
p 1/γ
p2 /γ
D1
D2
1
2
p1
V12
p2
V22
+ α1
− ∆H = z 2 +
+ α2
z1 +
γ
γ
2g
2g
1
1
∆H = ( p1 − p 2 ) +
V12 − V22
γ
2g
(
)
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[1]
33
Brusco allargamento (perdita di Borda)
Applichiamo
l’equazione
globale
dell’equilibrio
idrodinamico in condizioni di moto permanente al
volume fluido compreso fra le sezioni fra le quali è stato
applicato il teorema di Bernoulli
Essa fornisce:
G +Π + M1 − M 2 = 0
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34
Brusco allargamento (perdita di Borda)
scomponendo P nelle varie aliquote:
G + Π1 + Π cc + Π 2 + Π 0 + M 1 − M 2 = 0
dove con Π1 si è indicata l’azione che la superficie 1,
appartenente alla tubazione con diametro D1, esercita sul
volume fluido, con Πcc quella esercitata dalla corona
circolare, con Π2 quella esercitata dalla sezione 2 ed,
infine, con Π0 quella esercitata dalla superficie di
contorno
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35
Brusco allargamento (perdita di Borda)
Questa Π0 poichè si è visto che non si può considerare il
liquido perfetto, avrà anche una componente tangenziale
Proiettando l’ultima equazione sull’orizzontale, possiamo
trascurare la componente orizzontale di Π0 , ottenendo:
Π1 + Π cc + M 1 + Π 2 − M 2 = 0
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36
Brusco allargamento (perdita di Borda)
Le quantità di moto M1 ed -M2 sono applicate nei
baricentri delle relative sezioni; le spinte Π1, Πcc e Π2
sono applicate, a rigore, nei centri di spinta, ma, nei
casi pratici, a causa delle piccole distanze fra essi e i
corrispondenti baricentri non si commette sensibile
errore considerandole applicate in questi ultimi
I moduli valgono :
Π1=p1A1, Π2=p2A2, Πcc=p1(A1-A2), M1=ρQV1 e M2=ρQV2
Nel calcolare il modulo di Πcc si è ipotizzato che la
distribuzione delle pressioni sulla corona circolare sia
idrostatica e con valori uguali a quelli che competono
alla sezione 1
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37
Brusco allargamento (perdita di Borda)
Effettuando le sostituzioni si ottiene l’equazione scalare:
p1 A1 + p1 ( A2 − A1 ) + ρQV1 = p2 A2 + ρQV2
da cui, considerando Q=A2V2, dopo aver semplificato
risulta:
p2 − p1 = ρV2 (V1 − V2 )
Questa espressione fornisce il legame cercato fra la
variazione di pressione e le velocità
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38
Brusco allargamento (perdita di Borda)
∆H
Carichi totali
2
v2 /2g
Piezometrica
p 1/γ
p2 /γ
D1
D2
1
2
Inoltre essa permette di evidenziare che la pressione p2 è
maggiore di p1 dal momento che V1>V2
Pertanto, in corrispondenza di un brusco allargamento si
ha un abbassamento della linea dei carichi totali e un
aumento della quota piezometrica
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39
Brusco allargamento (perdita di Borda)
∆H
Carichi totali
2
v2 /2g
Piezometrica
p 1/γ
p2 /γ
D1
D2
1
2
Sostituendo nella [1], si ottiene dunque:
(
V
∆H =
1
− V2 )
2g
2
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40
Perdita d’imbocco
2
0,5 v /2g
2
p /γ
1
1
A
h
2
v /2g
2
B
z
p /γ
2
1
2
z
2
z=0
v2
∆H = 0 ,5
2g
Nella condotta collegante due serbatoi, la linea dei carichi
totali si dovrà condurre da monte, a distanza 0,5 v2/2g
rispetto all’orizzontale passante per la superficie libera
del serbatoio A
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41
Perdita d’imbocco
L’imbocco di una condotta da un serbatoio può essere
realizzato secondo due diverse modalità: con uno
spigolo vivo oppure ben raccordato
Mentre in quest’ultimo caso non si hanno apprezzabili
perdite di carico nel primo caso esse sono presenti e
per le brevi condotte hanno valore tutt’altro che
trascurabile
Nel caso dell’imbocco a spigolo vivo l’efflusso fino alla
sezione contratta non differisce da quello libero; a valle
di essa si ha la brusca espansione della vena liquida
secondo le modalità illustrate per l’appunto nel caso di
brusco allargamento
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42
Perdita d’imbocco
Tale perdita localizzata è dunque la somma di due diverse
aliquote:
∆H1, fino alla sezione
principalmente alla viscosità
contratta
ed
è
dovuta
ed
è
dovuta
V2
Vc2
∆H1 = 0.04
= 0. 1
2g
2g
∆H2, per il brusco
all’agitazione turbolenta
allargamento
V2
Vc2
∆H 2 = 0 . 4
= 0.15
2g
2g
Vc2
V2
∆H = ∆H1 + ∆H 2 = 0.19
= 0.5
2g
2g
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43
Perdita d’imbocco nel caso di tubazione
ben immersa nel serbatoio
Il più piccolo valore assunto dal coefficiente di
contrazione dà luogo però a delle perdite di carico
localizzate di entità più rilevanti
Vc2
V2
∆H1 = 0.04
= 0.16
2g
2g
Vc2 V 2
∆H 2 = 0.25
=
2g 2g
Vc2
V2
∆H = 0.29
= 1.16
2g
2g
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44
Perdita di sbocco
2
0,5 v /2g
2
p /γ
1
1
A
h
2
v /2g
2
B
z
p /γ
2
1
2
z
2
z=0
Come caso particolare della perdita per brusco
allargamento si può considerare la perdita di sbocco: in
questo caso si può considerare il serbatoio come la
tubazione a diametro più grande e si può ritenere
trascurabile la velocità ad essa relativa
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45
Perdita di sbocco
2
0,5 v /2g
2
p /γ
1
1
A
h
2
v /2g
2
B
z
p /γ
2
1
2
z
2
z=0
Di conseguenza la perdita di energia è pari all’energia
cinetica all’uscita, cioè:
2
V2
∆H = α
2g
V2 è la velocità di sbocco ed α tiene conto della sua non
uniforme distribuzione
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46
Perdita nei divergenti
Se il passaggio dalla tubazione a diametro D1 a quella a
diametro D2 non avviene in maniera brusca ma
graduale, per esempio mediante un divergente o, nel
caso di sbocco in un serbatoio, mediante un diffusore,
la perdita di carico che si realizza in essi è dovuta sia
alla separazione della corrente, sia alle perdite di carico
continue
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47
Perdita nei divergenti
Da un punto di vista costruttivo, per ridurre la perdita di
carico è conveniente rastremare i diffusori nella parte
iniziale come indicato qualitativamente nella figura a o
realizzare un primo tratto tronco conico con angolo di
apertura minore e successivamente un brusco
allargamento come in figura
In entrambi i casi infatti la separazione della corrente
avviene più a valle, quando la vena liquida ha già subito
un primo rallentamento
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48
Sbocco con diffusore
Imbocco non raccordato
v12
h = J (v1 ) +
2g
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49
Sbocco con diffusore
Inserimento del diffusore
2
(
v1 − v2 )
h = J (v1 ) L +
+
Si può notare che si ha:
v22
2g
2g
2
(v1 − v 2 ) v 22 v12
+
<
2g
2g 2g
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50