RELATIVITA’ RISTRETTA O RELATIVITA
SPECIALE
La teoria della relatività ristretta o relatività speciale, come viene chiamata nei paesi anglosassoni,
trae origine dagli studi di Albert Einstein formalizzati in un articolo del 1905.
Per poter dare un’occhiata a questa teoria e a come essa ha rivoluzionato il mondo della fisica
occorre tornare un po’ indietro nel tempo e risalire fino a Newton e al suo problema della ricerca
del sistema di riferimento assoluto. Per poter descrivere qualsiasi fenomeno fisico sotto forma di
legge è necessario avere un sistema di riferimento e occorre che tale sistema di riferimento non
alteri in alcun modo la nostra descrizione del fenomeno. Nella nostra vita quotidiana siamo portati
spontaneamente a fare riferimenti quando facciamo delle misure, o quando diamo delle
indicazioni. Per descrivere le leggi della fisica dobbiamo definire una categoria di sistemi di
riferimento, detti inerziali. Nei sistemi di riferimento inerziali vale il principio d’inerzia o prima legge
della dinamica che afferma che se un corpo non è soggetto a forze fisiche esso rimane nel suo stato
di quiete o di moto rettilineo uniforme.
Principio di relatività ristretta
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Principio di relatività galileiana + principio di costanza della velocità della luce = principio di
relatività ristretta (Einstein, 1905)
I SDRI sono quindi fisicamente equivalenti (includendo i fenomeni elettromagnetici)
Ovvero le leggi della fisica sono le stesse in tutti i SDRI
Si dice “relatività ristretta” perché limitata ai soli SDRI
Se consideriamo sistemi di riferimento di qualunque tipo, avremo la teoria della relatività
generale (prossima conferenza.)
I postulati della relatività ristretta
Nel 1905, come più volte detto, Einstein enuncia nel suo lavoro i due postulati di relatività,
all’apparenza semplici ma che cambieranno la fisica. Questo lavoro del 1905 va sotto il nome di
"relatività ristretta" o "relatività speciale" come viene chiamata nei paesi di lingua anglosassone,
per distinguerlo dal lavoro del 1915 denominato "teoria generale della relatività" di concezione
ancora più rivoluzionaria.
1. Tutte le leggi della fisica incluse quelle della meccanica e dell’elettromagnetismo, hanno la
stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali (cioè esse sono invarianti). Perciò
tutti i sistemi inerziali sono equivalenti.
2. La velocità della luce nel vuoto è una costante (c = 299 792 458 m/s), indipendente dal
sistema inerziale nel quale essa è misurata, dal moto della sorgente di luce o da quello
dell’osservatore.
Da questi due semplici postulati si possono fare alcune considerazioni. Il postulato della costanza
della velocità della luce afferma che tale velocità è la stessa in ogni sistema di riferimento inerziale
e che essa non può essere sommata "secondo Galileo" a qualsiasi altra velocità perché ciò che si
ottiene è sempre lo stesso valore. Tutto ciò può essere espresso in un altro modo: la velocità della
luce è la velocità limite in natura. Nessun corpo materiale e nessun segnale elettromagnetico
possono superare tale velocità e solo le onde elettromagnetiche possono raggiungerla mentre
nessun corpo materiale può essere accelerato fino a tale velocità. Il concetto appena espresso
senz’altro urta contro il nostro buon senso o meglio il senso comune delle cose perché siamo
abituati ad aspettarci che ciò che è limite oggi non lo sia in futuro. Questo è l’errore che si
commette quando si confonde la fisica con la tecnologia. La tecnologia è figlia della fisica e può
realizzare solo ciò che la fisica mostra realizzabile. Inoltre in natura ha molto più senso una velocità
limite che una velocità illimitata. A ben pensarci urta più il nostro senso comune il pensiero che un
segnale possa propagarsi istantaneamente da un capo all’altro dell’Universo che non il contrario.
Da quando il postulato della costanza della velocità della luce fu enunciato sono state eseguite
quantità innumerevoli di esperimenti per verificare tale costanza e sempre il risultato è stato il
medesimo. Ma la costanza della velocità della luce porta con sé un altro fatto sconvolgente, sempre
per il nostro senso comune di intendere il mondo che ci circonda. Secondo Galileo e Newton, il
tempo scorre in modo assoluto, quindi un intervallo di tempo misurato in un certo sistema di
riferimento inerziale sarà il medesimo se misurato in un altro sistema inerziale in moto relativo
rispetto al primo. Il postulato della costanza della velocità della luce stravolge tutto ciò e mostra
che gli intervalli di tempo sono relativi e anzi, per un osservatore in moto uniforme con velocità
prossima a quella della luce il tempo scorre più lentamente rispetto a un osservatore fermo!
Tutto ciò può essere compreso meglio con una figura. La figura seguente
Mostra un orologio visto da due sistemi inerziali in moto relativo. Nella parte alta della figura
l’orologio è in quiete rispetto all’osservatore. Tale orologio funziona a lampi di luce: un segnale
luminoso parte dal basso dell’orologio, si riflette in uno specchietto e ritorna alla sorgente che l’ha
emesso. Questo viaggio di andata e ritorno segna un’unità di tempo di tale orologio. Passiamo poi a
un altro sistema di riferimento che non è più in quiete con il nostro orologio. Questa volta, dal
punto di vista dell’osservatore, l’orologio si muoverà da sinistra a destra con velocità costante di
conseguenza il lampo di luce parte, ma quando raggiunge lo specchio riflettente questo si sarà
spostato quindi il cammino percorso dalla luce dalla sorgente allo specchietto sarà maggiore
rispetto al caso precedente in cui l’osservatore era in quiete con l’orologio. Poi dopo la riflessione il
raggio luminoso tornerà al punto di partenza, che a sua volta si sarà spostato sempre nel verso di
percorrenza dell’orologio. Tutto ciò è mostrato nella parte bassa della figura. Conclusione: quando
un osservatore è in quiete con l’orologio, il cammino della luce ha una certa lunghezza, quando
l’osservatore non è in quiete con l’orologio il cammino della luce ha una lunghezza maggiore. Dato
che la velocità della luce è la medesima nei due sistemi di riferimento allora nel secondo caso dovrà
percorrere uno spazio maggiore e di conseguenza impiegherà più tempo. Gli intervalli di tempo,
misurati nei due sistemi di riferimento, non sono gli stessi. L’osservatore che vede l’orologio in
moto relativo misura un tempo, di quell’orologio, dilatato rispetto alla misura fatta quando era in
quiete con l’orologio stesso! Ci si può chiedere come sia stato possibile non accorgersi di tale
fenomeno fino all’epoca di Einstein. La risposta è semplice: tale effetto dilatatorio del tempo
diventa evidente solo se le velocità in gioco sono dell’ordine della velocità della luce. Alle velocità
nostre abituali tale effetto è trascurabile e gli orologi che usiamo sono inadeguati a misurare questo
effetto.
Relatività ristretta e meccanica newtoniana
Molte delle conclusioni della relatività ristretta a prima vista non sembrano plausibili sulla base
dell’esperienza comune. Anche il secondo postulato di Einstein sembra violare il senso comune. I
dati sperimentali dimostrano che la luce ha la stessa velocità in ogni caso, a sostegno del postulato
di Einstein. La soluzione di questo dilemma si ottiene quando si capisce che la base sperimentale
del nostro «senso comune» è estremamente limitata. Essa è ristretta a velocità v tali che v << c,
dove c è la velocità della luce. Per esempio, la velocità di un satellite in orbita intorno alla Terra può
essere dell’ordine di 8000 m/s, che ci sembra enorme; ma rispetto alla velocità della luce (3,0 108
m/s), essa è solo 0,000027c. Semplice,ente non abbiamo assolutamente nessuna esperienza
personale di grandi velocità relative a noi. Ma le particele della fisica (elettroni, mesoni, protoni,
ecc.) possono essere accelerate facilmente fino ad alte velocità. Gli elettroni uscenti
dell’acceleratore, lungo 2 miglia, dell’Università di Stanford possono avere velocità come
0,9999999997c, per esempio. Nell’ambito della fisica particellare, la relatività ristretta è
assolutamente necessaria per risolvere problemi di meccanica.
In questa teoria si ottiene che in natura esiste una velocità finita che non può essere
superata e si dice velocità limite. Questa velocità limite è la velocità della luce, c, la massima
velocità con la quale si possono trasmettere i segnali. La fisica classica ammette che i segnali
possano essere trasmessi con velocità infinita, ma la natura contraddice questa ipotesi, e in realtà
appare utopistico che possano esistere segnali di quel tipo.
I dati sperimentali confermano che la velocità limite è c, per cui in un certo senso la velocità
della luce ha nella relatività lo stesso ruolo che ha la velocità infinita in fisica classica. Non è allora
difficile capire che la velocità finita di una sorgente di luce non può modificare il valore
sperimentale della velocità di un segnale emesso già con velocità limite.
Il mondo in cui viviamo ed esplichiamo le nostre percezioni sensoriali è un mondo in cui v<<
c e quindi si può usare la meccanica newtoniana. In effetti è stato dimostrato che la meccanica
newtoniana è un caso particolare della relatività ristretta nel limite delle piccole velocità. In effetti il
controllo della relatività ristretta è quello di far tendere c e osservare che si ottengono le
corrispondenti formule della meccanica newtoniana.
La meccanica newtoniana, pur essendo un caso particolare, è un caso di estrema
importanza. Essa descrive i moti fondamentali del nostro sistema solare, le maree, le nostre
imprese spaziali, il comportamento delle palle da baseball, delle macchine utensili, e così via. Essa
funziona magnificamente nell’ambito estremamente importante delle velocità v << c. Ma essa cade
in difetto quando le velocità si avvicinano a quella della luce.
Poche teorie sono state sottoposte a controlli sperimentali più rigorosi di quelli eseguiti per
la relatività ristretta. Tra i controlli più importanti vi è il funzionamento degli acceleratori di
particelle. Essi sono progettati usando la relatività ristretta a livello ingegneristico e tecnologico. Un
acceleratore progettato usando la meccanica newtoniana non funzionerebbe per niente. I reattori
nucleari e, ahimè, le bombe nucleari confermano la validità della relatività ristretta.
Einstein disse una volta che non c’è numero di esperimenti positivi sufficiente per provare
l’esattezza della sua teoria, mentre basterebbe un solo esperimento negativo per dimostrare che
essa è errata. Quest’unico esperimento finora non si è trovato.
Sistemi di riferimento
•
In fisica occorre sempre definire un sistema di riferimento per lo spazio e un “orologio” per
il tempo
•
Ogni evento è caratterizzato dalla sua posizione nello spazio e dall’istante di tempo in cui
esso avviene
•
La descrizione dei fenomeni cambia se si cambia sistema di riferimento
•
Il mondo visto da una giostra che ruota è davvero complicato !
•
Il sistema di riferimento più semplice è costituito da un sistema di assi cartesiani ortogonali
tridimensionale 0xyz
•
Un evento è così rappresentato dai 4 numeri (x, y, z, t)
Sistemi di riferimento inerziali
•
In natura esistono i sistemi di riferimento inerziali (SDRI)
•
Rispetto a un SDRI vale il principio d’inerzia (Galileo) : un corpo non soggetto a forze esterne
(o se la risultante delle forze esterne è nulla) permane nel suo stato di quiete o di moto
rettilineo uniforme
•
I SDRI in verità sono un’astrazione matematica perché esistono sempre forze che
“disturbano” i corpi ma, entro certi limiti, certi sistemi possono essere considerati, con
sufficiente approssimazione, inerziali.
•
Esempi di SDRI :
Un treno che avanza su un binario rettilineo, liscio, a velocità costante
Una nave che naviga con mare calmo a velocità costante su di una rotta rettilinea
Il mio tavolo da lavoro su cui la forza di gravità è neutralizzata dalla reazione del tavolo e gli
attriti sono resi trascurabili
Una navicella spaziale a motori spenti sufficientemente lontana da ogni corpo celeste
•
Tutti i SDRI si muovono di moto rettilineo uniforme fra loro. Il SDRI K’ si muove con velocità
costante V (in intensità direzione e verso) rispetto al SDRI K e viceversa
Principio di relatività galileiana
•
Tutti i SDRI sono meccanicamente equivalenti (Galileo)
•
Ovvero le leggi della meccanica (escludendo i fenomeni elettromagnetici) sono le stesse in
tutti i SDRI
•
La “vita” dentro un vagone ferroviario che viaggia con velocità costante su binari lisci e
rettilinei, oppure su di una nave che naviga a velocità costante su di una rotta rettilinea,
oppure qui sulla superficie della Terra, è praticamente la “stessa”, cioè non ci “accorgiamo”
di essere in moto
•
Viviamo su di un pianeta che ruota vorticosamente su se stesso e nello stesso tempo ruota
attorno al sole il quale si muove rispetto alle altre stelle ecc. e, se non facciamo esperimenti
sofisticati, non ci accorgiamo (fortunatamente) di nulla.
Trasformazioni di Galileo
•
Consideriamo due SDRI, K e K’, dotati ciascuno di un orologio e in moto relativo con velocità
costante V (costante in intensità, direzione e verso) e osserviamo gli eventi rispetto ai due
SDRI separatamente
•
Storicamente, le prime formule matematiche che legano spazio e tempo nei due SDRI sono
dovute a Galileo e sono dette trasformazioni di Galileo
•
Per esse lo spazio è relativo, cioè le coordinate di un punto sono diverse nei due SDRI,
mentre il tempo è assoluto, cioè il tempo scorre nei due orologi (se identici e sincronizzati)
allo stesso modo, cioè si ha t = t’
•
In particolare, se un oggetto si muove rispetto a K’ con velocità v’, esso sarà visto, secondo
Galileo e il “buon senso”, muoversi rispetto a K con velocità v = V + v’
x' x v0 t
y' y
z' z
t ' t
Trasformazioni di Lorentz
•
Consideriamo due SDRI, K e K’, dotati ciascuno di un orologio e in moto relativo con velocità
costante V (costante in intensità, direzione e verso) e osserviamo gli eventi rispetto ai due
SDRI separatamente
•
Le formule matematiche che legano spazio e tempo nei due SDRI e per le quali c sia costante
sono dette trasformazioni di Lorentz
•
Affinché la velocità della luce sia la stessa in tutti i SDRI, deve essere (lo si ricava
matematicamente) che lo spazio è relativo ed anche il tempo è relativo
•
La grande novità, rispetto a Galileo, è che t ≠ t’ , cioè il tempo scorre diversamente nei due
SDRI
•
In particolare, se un oggetto si muove rispetto a K’ con velocità v’, esso sarà visto, secondo
Einstein e contrariamente al “buon senso”, muoversi rispetto a K con velocità:
x vt
x
'
x vt
2
v
1 2
c
y ' y
z' z
vx
t 2
t '
c t x
2
c
v
1 2
c
1
1
v2
c2
Composizione delle velocità
•
Supponiamo che sia V << c ; v’ << c . In questo caso v’V/c² ≈ 0 per cui si ha v ≈ v’ + V che è la
trasformazione di Galileo. Per velocità in gioco piccole rispetto a c la meccanica classica di
Galileo e Newton continua a essere valida
•
Si può affermare che per c ∞ la teoria della relatività ristretta tende alla meccanica
classica (per Galileo e Newton l’interazione fra i corpi viaggiava a velocità infinita)
•
Supponiamo che sia V ≠ c ; v’ = c . In questo caso si ottiene con semplici calcoli v = c
•
Questo risultato è coerente col fatto che la velocità della luce c è la stessa in tutti i SDRI
•
•
Supponiamo che sia V = c ; v’ = c . In questo caso si ottiene con semplici calcoli v = c
Anche questo risultato è coerente col fatto che la velocità della luce c è la stessa in tutti i
SDRI
Contrazione spaziale
•
Un segmento in quiete rispetto a K’ se misurato rispetto a K risulta più corto
•
Questa è una conseguenza matematica diretta delle trasformazioni di Lorentz
•
La formula che lega le “due lunghezze” è :
•
Se fosse V = 0 avremmo l=l0
•
Se fosse V = c avremmo l=0
•
Se fosse l0=1 e V=9/10c si avrebbe :
2
9
c
81
10
l 1 1 2 1
0, 435
c
100
Contrazione spaziale (grafico)
Dilatazione temporale
•
Un intervallo di tempo misurato rispetto a K’ risulta più lungo se misurato rispetto a K
•
Questa è una conseguenza matematica diretta delle trasformazioni di Lorentz
•
La formula che lega i “due tempi” è :
•
Se fosse V = 0 avremmo t=t0
•
Se fosse V = c avremmo t=∞
•
Se fosse t0=1 e V=9/10c si avrebbe :
t
1
9
c
10
1 2
c
2
1
81
1
100
2, 294
Dilatazione temporale (grafico)
Paradosso dei gemelli
•
Supponiamo che vi siano due gemelli, che chiameremo A e B, di cui uno, mettiamo B, un
giorno, parte per un viaggio spaziale alla velocità
•
Supponiamo che per B il viaggio duri 10 anni
•
Per il gemello A il viaggio di B dura invece, a causa della dilatazione del tempo, più di 20 anni
•
La stessa cosa può affermare B perché i due SDRI in cui i due gemelli si trovano sono, per il
principio di relatività, fisicamente equivalenti
•
Cosa succederà quando i due gemelli si incontreranno alla fine del viaggio ?
•
A dirà : io ho visto il tuo orologio andare più lentamente del mio, per cui tu dovresti essere
più giovane di me (il tuo viaggio per me ha durato più di 20 anni mentre per te ha durato 10
anni)
•
B dirà : io ho visto il tuo orologio andare più lentamente del mio, per cui tu dovresti essere
più giovane di me (il tuo viaggio per me ha durato più di 20 anni mentre per te ha durato 10
anni)
•
I due gemelli, incontrandosi alla fine del viaggio, dovrebbero verificare che uno si è
invecchiato di meno dell’altro e viceversa. In questo sta il paradosso
•
Il paradosso, però, non sussiste perché il problema è mal posto. Quando il gemello B inizia il
viaggio e quando, ritornando, lo finisce, il suo sistema di riferimento non è un SDRI perché
esso non si muove rispetto all’altro di moto rettilineo uniforme, bensì accelera
•
La teoria della relatività ristretta vale solo per i SDRI per cui un tale problema deve essere
visto nell’ottica della teoria della relatività generale che si occupa appunto di sistemi di
riferimento accelerati.
•
In verità, un gemello sarà più giovane dell’altro. Verifiche di questo sono state fatte anche
recentemente misurando come scorre il tempo su satelliti artificiali per le
telecomunicazioni.
