2005 anno della fisica
introduzione alla teoria della relatività ristretta
Associazione Astrofili Cesenati
www.astrofilicesena.it
www.arrigoamadori.com
15/04/2005
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Sistemi di riferimento
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In fisica occorre sempre definire un
sistema di riferimento per lo spazio ed
un “orologio” per il tempo
Ogni evento è caratterizzato dalla sua
posizione nello spazio e dall’istante di
tempo in cui esso avviene
La descrizione dei fenomeni cambia se
si cambia sistema di riferimento
Il mondo visto da una giostra che ruota
è davvero complicato !
Il sistema di riferimento più semplice è
costituito da un sistema di assi
cartesiani ortogonali tridimensionale
0xyz
Un evento è così rappresentato dai 4
numeri (x, y, z, t)
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Sistemi di riferimento inerziali
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In natura esistono i sistemi di riferimento inerziali (SDRI)
Rispetto ad un SDRI vale il principio d’inerzia (Galileo) :
un corpo non soggetto a forze esterne (o se la risultante delle
forze esterne è nulla) permane nel suo stato di quiete o di
moto rettilineo uniforme
I SDRI in verità sono un’astrazione matematica perché
esistono sempre forze che “disturbano” i corpi ma, entro
certi limiti, certi sistemi possono essere considerati, con
sufficiente approssimazione, inerziali.
Esempi di SDRI :
Un treno che avanza su un binario rettilineo, liscio, a
velocità costante
Una nave che naviga con mare calmo a velocità costante su
di una rotta rettilinea
Il mio tavolo da lavoro su cui la forza di gravità è
neutralizzata dalla reazione del tavolo e gli attriti sono resi
trascurabili
Una navicella spaziale a motori spenti sufficientemente
lontana da ogni corpo celeste
Tutti i SDRI si muovono di moto rettilineo uniforme fra
loro. Il SDRI K’ si muove con velocità costante V (in
intensità direzione e verso) rispetto al SDRI K e viceversa
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Principio di relatività galileiana
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Tutti i SDRI sono meccanicamente equivalenti (Galileo)
Ovvero le leggi della meccanica (escludendo i fenomeni elettromagnetici) sono
le stesse in tutti i SDRI
La “vita” dentro un vagone ferroviario che viaggia con velocità costante su
binari lisci e rettilinei, oppure su di una nave che naviga a velocità costante su di
una rotta rettilinea, oppure qui sulla superficie della Terra, è praticamente la
“stessa”, cioè non ci “accorgiamo” di essere in moto
Viviamo su di un pianeta che ruota vorticosamente su se stesso e nello stesso
tempo ruota attorno al sole il quale si muove rispetto alle altre stelle ecc. e, se
non facciamo esperimenti sofisticati, non ci accorgiamo (fortunatamente) di
nulla …
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Trasformazioni di Galileo
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Consideriamo due SDRI, K e K’, dotati
ciascuno di un orologio ed in moto
relativo con velocità costante V
(costante in intensità, direzione e verso)
ed osserviamo gli eventi rispetto ai due
SDRI separatamente
Storicamente, le prime formule
matematiche che legano spazio e tempo
nei due SDRI sono dovute a Galileo e
sono dette trasformazioni di Galileo
Per esse lo spazio è relativo, cioè le
coordinate di un punto sono diverse nei
due SDRI, mentre il tempo è assoluto,
cioè il tempo scorre nei due orologi (se
identici e sincronizzati) allo stesso
modo, cioè si ha t = t’
In particolare, se un “omino” si muove
rispetto a K’ con velocità v’, esso sarà
visto, secondo Galileo ed il “buon
senso”, muoversi rispetto a K con
velocità v = V + v’
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Principio di costanza della velocità della luce
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Cosa succede se in K’ viene emesso un
fascio di luce ?
Sappiamo che la velocità della luce
(così come di ogni altra radiazione
elettromagnetica) è c = 300.000 km/s
circa (nel vuoto)
Secondo le trasformazioni di Galileo
dovremmo avere che rispetto a K la
luce viaggia con velocità V + c
In natura, invece, si verifica che la
velocità della luce c è la stessa in ogni
SDRI
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Principio di relatività ristretta
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Principio di relatività galileiana + principio di costanza della velocità della luce
= principio di relatività ristretta (Einstein, 1905)
I SDRI sono quindi fisicamente equivalenti (includendo i fenomeni
elettromagnetici)
Ovvero le leggi della fisica sono le stesse in tutti i SDRI
Si dice “relatività ristretta” perché limitata ai soli SDRI
Se consideriamo sistemi di riferimento di qualunque tipo, avremo la teoria della
relatività generale (prossima conferenza)
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Trasformazioni di Lorentz
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Consideriamo due SDRI, K e K’, dotati
ciascuno di un orologio ed in moto relativo
con velocità costante V (costante in intensità,
direzione e verso) ed osserviamo gli eventi
rispetto ai due SDRI separatamente
Le formule matematiche che legano spazio e
tempo nei due SDRI e per le quali c sia
costante sono dette trasformazioni di
Lorentz
Affinché la velocità della luce sia la stessa in
tutti i SDRI, deve essere (lo si ricava
matematicamente) che lo spazio è relativo ed
anche il tempo è relativo
La grande novità, rispetto a Galileo, è che
t ≠ t’ , cioè il tempo scorre diversamente nei
due SDRI
In particolare, se un “omino” si muove
rispetto a K’ con velocità v’, esso sarà visto,
secondo Einstein e contrariamente al “buon
senso”, muoversi rispetto a K con velocità :
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Composizione delle velocità
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Supponiamo che sia V << c ; v’ << c .
In questo caso v’V/c² ≈ 0 per cui si ha
v ≈ v’ + V che è la trasformazione di
Galileo. Per velocità in gioco piccole
rispetto a c la meccanica classica di
Galileo e Newton continua ad essere
valida
Si può affermare che per c ∞ la
teoria della relatività ristretta tende alla
meccanica classica (per Galileo e
Newton l’interazione fra i corpi
viaggiava a velocità infinita)
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Composizione delle velocità
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Supponiamo che sia V ≠ c ; v’ = c . In
questo caso si ottiene con semplici
calcoli v = c
Questo risultato è coerente col fatto che
la velocità della luce c è la stessa in tutti
i SDRI
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Composizione delle velocità
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Supponiamo che sia V = c ; v’ = c . In
questo caso si ottiene con semplici
calcoli v = c
Anche questo risultato è coerente col
fatto che la velocità della luce c è la
stessa in tutti i SDRI
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Contrazione spaziale
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Un segmento in quiete rispetto a K’ se
misurato rispetto a K risulta più corto
Questa è una conseguenza matematica
diretta delle trasformazioni di Lorentz
La formula che lega le “due lunghezze”
è:
Se fosse V = 0 avremmo l l0
Se fosse V = c avremmo l 0
Se fosse l0 1 e V 9 c si avrebbe :
10
2
9
c
81
10
l 1 1 2 1
0, 435
c
100
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Contrazione spaziale (grafico)
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Dilatazione temporale
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Un intervallo di tempo misurato rispetto
a K’ risulta più lungo se misurato
rispetto a K
Questa è una conseguenza matematica
diretta delle trasformazioni di Lorentz
La formula che lega i “due tempi” è :
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Se fosse V = 0 avremmo t t0
Se fosse V = c avremmo t
9
Se fosse t0 1 e V 10 c si avrebbe :
•
t
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1
9
c
10
1 2
c
2
1
81
1
100
2, 294
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Dilatazione temporale (grafico)
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Paradosso dei gemelli
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Supponiamo che vi siano due gemelli, che chiameremo A e B, di cui uno, mettiamo B, un giorno,
parte per un viaggio spaziale alla velocità V 9 c
10
Supponiamo che per B il viaggio duri 10 anni
Per il gemello A il viaggio di B dura invece, a causa della dilatazione del tempo, più di 20 anni
La stessa cosa può affermare B perché i due SDRI in cui i due gemelli si trovano sono, per il
principio di relatività, fisicamente equivalenti
Cosa succederà quando i due gemelli si incontreranno alla fine del viaggio ?
A dirà : io ho visto il tuo orologio andare più lentamente del mio, per cui tu dovresti essere più
giovane di me (il tuo viaggio per me ha durato più di 20 anni mentre per te ha durato 10 anni)
B dirà : io ho visto il tuo orologio andare più lentamente del mio, per cui tu dovresti essere più
giovane di me (il tuo viaggio per me ha durato più di 20 anni mentre per te ha durato 10 anni)
I due gemelli, incontrandosi alla fine del viaggio, dovrebbero verificare che uno si è invecchiato di
meno dell’altro e viceversa. In questo sta il paradosso
Il paradosso, però, non sussiste perché il problema è mal posto. Quando il gemello B inizia il viaggio
e quando, ritornando, lo finisce, il suo sistema di riferimento non è un SDRI perché esso non si
muove rispetto all’altro di moto rettilineo uniforme, bensì accelera
La teoria della relatività ristretta vale solo per i SDRI per cui un tale problema deve essere visto
nell’ottica della teoria della relatività generale che si occupa appunto di sistemi di riferimento
accelerati.
In verità, un gemello sarà più giovane dell’altro. Verifiche di questo sono state fatte anche
recentemente misurando come scorre il tempo su satelliti artificiali per le telecomunicazioni
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Spazio-tempo quadridimensionale
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Lo spazio ed il tempo rappresentano per
Einstein un tutt’uno indistinguibile a 4
dimensioni, il cosiddetto cronotopo
Un evento, infatti, è rappresentato da
un insieme ordinato di 4 numeri
(x,y,z,t)
Un punto si muove nello spazio-tempo
quadridimensionale lungo una linea
detta linea d’universo
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L’energia secondo Einstein
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Secondo la meccanica classica un
corpo in quiete possiede energia
cinetica nulla
Secondo la teoria della relatività
ristretta un corpo in quiete possiede
l’energia :
E mc 2
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Siccome c è molto grande, questa
energia è enorme (energia nucleare di
fissione e fusione, energie delle stelle)
Per esempio, una massa di 1 kg
produce (se trasformata
completamente) una energia pari a :
E 1 300.000.0002 90.000.000.000.000.000 j
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