F10
Polinomi di Hermite ed autofunzioni dell’oscillatore armonico quantistico
(1) Sapendo che
2
R
R
/2
e−x
√
2π
Z
+∞
I2n :=
−∞
= 1 (come si dimostra?), dimostrare che per ogni intero positivo n si ha
Z +∞ −x2 /2
2
e−x /2 2n
e
√
√
x dx = (2n − 1)!!
I2n−1 :=
x2n−1 dx = 0
2π
2π
−∞
in cui n!! è il prodotto di tutti i naturali minori o uguali a n che hanno la stessa parità di n. Es:
2
2
6!! = 2·4·6, 7!! = 3·5·7. Nel caso pari si ha (2n)!! = 2n n!. [Sugg: scrivere e−x /2 x2n = (e−x /2 x) x2n−1
e ottenere una relazione di ricorrenza integrando per parti].
2
(2) (Polinomi di Hermite). Si consideri lo spazio euclideo pesato C2 (R, e−x dx), ricordando che
Z
√ (2n − 1)!!
2
.
e−x x2n dx = π
2n
R
(a) Ortogonalizzare i polinomi: 1, x, x2 , x3 con il procedimento di Gram-Schmidt.
(b) Si definiscano i polinomi di Hermite come
2
2
Hn (x) := (−1)n ex Dn e−x
e si dimostri che
Hn0 (x) = 2xHn (x) − Hn+1 (x) .
(c) Utilizzando l’identità ottenuta al punto precedente, dimostrare per induzione che
Hn0 (x) = 2nHn−1 (x) .
Da questo segue la formula di ricorrenza
Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x) .
Dopo aver calcolato H0 e H1 a partire dalla definizione, calcolare con la formula di ricorrenza
H2 , H3 , H4 , H5 . Verificare che H0 , H1 , H2 e H3 coincidono, a parte la normalizzazione, con i
polinomi ottenuti al punto (a).
(d) Dimostrare che Hn soddisfa l’equazione differenziale: Hn00 (x) − 2xHn0 (x) + 2nHn (x) = 0.
(e) Osservare che
2
2
e−x Hn (x) = −D(e−x Hn−1 (x))
À
e dimostrare che
hHn , Hm i =
√
π 2n n! δn,m .
In particolare quindi (Hn )∞
n=1 è un sistema ortogonale. [Sugg: sia In,m := hHn , Hm i. Se m = 0 e
n > 0 (o viceversa), l’ortogonalità segue dalla À. Se m e n sono entrambi positivi si può integrare
per parti usando la À ottenendo una relazione fra In,m e In−1,m−1
√ . Questa relazione implica
In,m = 0 se n 6= m, mentre, se n = m si ottiene, iterando, In,n = π 2n n!].
(f) Osservare che, se γ è un cammino chiuso nel piano complesso che gira una volta in senso antiorario
attorno al punto x, grazie alla formula integrale di Cauchy posso scrivere
Z
2
2 n!
e−z
Hn (x) = (−1)n ex
dz .
2πi γ (z − x)n+1
Dimostrare quindi che la funzione generatrice dei polinomi di Hermite è data da
F (t, x) :=
∞
X
n=0
Hn (x)
2
tn
= e2xt−t .
n!
[Sugg: scambiare la serie con l’integrale ed usare nuovamente la formula integrale di Cauchy per
calcolare l’integrale risultante].
(g) Le funzioni di Hermite sono definite come
√
2
ψn (x) := Cn e−x /2 Hn (x)
in cui Cn = ( π 2n n!)−1/2 .
Dimostrare che (ψn )∞
n=0 è un sistema ortonormale nello spazio euclideo C2 (R). Dimostrare che
ψn soddisfa l’equazione di Schrödinger dell’oscillatore armonico, data da (accatagliati a parte)
h 1 d2
x2 i
1
−
+
ψn (x) = λ ψn (x) .
con λ = n + .
2
2 dx
2
2
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Un modo per calcolare ζ(2k)
(1) Siano Bn i numeri di Bernoulli, definiti implicitamente dalla relazione
∞
X
z
Bn n
=
z
ez − 1 n=0 n!
|z| < 2π .
Verificare che valgono gli sviluppi in serie di Taylor
∞
X
(a) tan z =
(−1)n+1
n=1
∞
X
(b) z cot z =
(−1)n
n=0
22n (22n − 1)
B2n z 2n−1
(2n)!
22n
B2n z 2n
(2n)!
|z| ≤
π
2
|z| ≤ π .
[Sugg: si dimostri prima (b). Per dimostrare (a) usare l’identità tan z = cot z − 2 cot(2z) (da dimostrare)].
I
(2) (Sviluppo in fratti semplici per la cotangente). Dimostrare che
∞
π cot(πz) =
1 X 2z
+
z n=1 z 2 − n2
∀z ∈ C\Z
Istruzioni:
(1) Dato un intero positivo n, si consideri (e si disegni sul piano complesso!) il cammino rettangolare
1
1
1
1
1
γn := n + + ni, −n − + ni, −n − − ni, n + − ni, n + + ni
2
2
2
2
2
e sia
Z
In :=
γn
π cot(πw)
dw
(w − z)2
(2) Ponendo w = s + it e usando le identità
| sin w|2 = sin2 s + sinh2 t
| cos w|2 = cos2 s + sinh2 t
si dimostri che, per n abbastanza grande, si ha | cot(πw)|2 ≤ 2 per ogni w ∈ {γn }. Da questo
segue che limn→∞ In = 0.
(3) Si calcoli poi il valore di In usando il teorema dei residui e si imponga la condizione precedentemente ottenuta In → 0.
I
(3) Dimostrare che il valore della funzione zeta di Riemann, quando l’argomento è un intero positivo pari,
può essere espresso in funzione dei numeri di Bernoulli tramite la formula
ζ(2k) :=
∞
2k
X
1
B2k
k+1 (2π)
=
(−1)
.
2k
n
2 (2k)!
n=1
Calcolare ζ(2), ζ(4) e ζ(6). [Sugg: confrontare lo sviluppo in fratti semplici e lo sviluppo in serie di
Taylor della funzione f (z) = πz cot(πz)].
2
