Meccanica
quantistica (5)
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Oscillatore armonico
Se una massa è sottoposta ad una forza di richiamo
proporzionale allo spostamento da un posizione di
equilibrio
F = −kx
dV
F
=
−
il potenziale (
dx
) sarà la parabola (potenziale
armonico)
V ( x ) = 12 kx 2
La costante k,
(
d 2V ( x)
dx 2
) determina la curvatura e quindi
la larghezza della curva
La frequenza è
ω=
k
m
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Oscillatore armonico
Quantistico
Per una massa m sottoposta ad un potenziale armonico
l’eq. di Schroedinger è:
h 2 d 2ψ ( x) 1 2
−
+ 2 kx ψ ( x) = Eψ ( x)
2
2m dx
Dove x è lo spostamento dalla posizione di equilibrio
Perché la ψ (x) abbia il comportamento corretto
all’infinto
Limψ ( x) = 0
x → ±∞
Ovvero gli spostamenti molto grandi sono molto
improbabili
La soluzione deve allora essere del tipo:
H v ( x)e
− cx 2
Dove H v ( y ) è un polinomio di grado v ( polinomi di
Hermite).
(qualsiasi polinomio per x→±∞ va a ∞ più lentamente di
− yx
va a 0)
quanto e
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Le condizioni poste alla funzione d’onda
portano a
E = ( v + ) hω
1
2
ω=
k
m
v non negativo intero
Gli stati sono a intervalli costanti di energia hω
All’aumentare dell’energia la frequenza ω non
cambia
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Energia di punto zero
E = (v + 12 )hω
v non negativo intero
L’energia dell’oscillatore non può mai essere nulla
L’oscillatore è sempre in moto
Viene rispettato il principio di indeterminazione
Se fosse fermo:
• il momento cinetico sarebbe identicamente nullo con
varianza nulla
• lo spostamento sarebbe identicamente nullo e quindi
la posizione avrebbe varianza nulla
L’energia minima:
È detta:
E = 12 hω
Energia di punto zero
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Funzione d’onda
Il numero di nodi è dato dal grado del polinomio
I polinomi di grado
pari sono simmetrici:
H(-x) = H(x)
dispari sono antisimmetrici: H(-x) = - H(x)
All’aumentare dell’energia
aumenta lo spostamento più probabile
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Probabilità
La distribuzione di probabilità per l’oscillatore classico
ha una posizione limite:
c’è uno spostamento massimo rispettoalla posizione di
equilibrio
La distribuzione di probabilità per l’oscillatore quantstico
va a zero all’infinito:
qualsiasi spostamento è possibile
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Equazione di Schrödinger
in 3D
h2 2
−
∇ ψ ( x, y, z) + Vψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
2m
( ∇ 2 è detto operatore Laplaciano)
Dove
• In coordinate cartesiane ortogonali
V = V ( x, y , z )
ψ = ψ ( x, y , z )
∂2
∂2
∂2
2
∇ = 2+ 2+ 2
∂x
∂y
∂z
• In coordinate polari sferiche:
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cosθ
0≤r ≤∞
0 ≤θ ≤π
0 ≤ ϕ ≤ 2π
V = V (r , θ , ϕ )
ψ = ψ (r , θ , ϕ )
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1 ∂2
1 1 ∂
∂
1 ∂2
∇ =
r + 2
sin θ
+
2
2
2
r ∂r
∂θ sin θ ∂ϕ
r sin θ ∂θ
2
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Moto rotazionale
(moto centrale)
m×v=p
Energia cinetica
p2
E=
2m
Grandezza del momento angolare
Momento d’inerzia:
L = pr
L2
E=
2mr 2
I = mr 2
L2
E=
2I
Per rappresentare il moto rotazionale è conveniente usare
coordinate polari sferiche
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Rotazione in 3D
Si consideri il moto su una superficie sferica di raggio r
Essendo r costante le derivate in r si annullano
Il potenziale V è costante è può essere assunto 0
h2 1 ∂
∂
1 ∂2
ψ (θ ,ϕ ) = Eψ (θ ,ϕ )
−
sinθ
+
∂θ sin 2 θ ∂ϕ 2
2mr 2 sinθ ∂θ
Tenendo conto che I = mr 2 è il momento d’inerzia
1 ∂
∂
1 ∂2
2IE
+ 2
sinθ
ψ
(
θ
,
ϕ
)
ψ (θ ,ϕ )
=
−
2
2
∂
∂
sin
θ
θ
θ
∂
h
sin
θ
ϕ
Risolvendo l’equazione tenendo conto che ψ (θ , ϕ ) deve
essere finita, continua e con derivate continue dappertutto
ψ (0,θ ) = ψ (2π ,θ )
ψ ' (0,θ ) = ψ ' (2π ,θ )
ψ (ϕ ,0) < ∞
ψ (ϕ , π ) < ∞
si ha che le soluzioni dipendono da 2 parametri interi:
l = 0, 1, 2, ...;
l ≥ ml ;
ml = 0, ± 1, ± 2, ...
Le autofunzioni sono:
Gli autovalori:
Yl ml (θ , ϕ )
− l (l + 1)
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Armoniche sferiche
1 ∂
∂
1
∂2
le autofunzioni di: sin θ ∂θ sin θ ∂θ + sin 2 θ ∂ϕ 2
Yl ml (θ ,ϕ ) = N Θl l (θ )Φ ml (ϕ )
m
sono:
l = 0, 1, 2, ...;
ml = l , l − 1, K, .0, ..., . − l + 1, . − l
Hanno l superfici nodali
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Superfici nodali
l ml
Funzione
N°
nodi
0
0
1 -1
1
1
0
1
1
1
1
0
2 -2
z
x
2
2 -1
2
2
0
2
2
1
2
2
2
2
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Momento angolare
Essendo
2 IE
= l (l + 1)
h2
l (l + 1)
E = h2
2I
l = 0,1,2,….
L’energia rotazionale
• è quantizzata
• dipende solo da l
• può essere nulla
Quindi tutti gli stati rotazionali con lo stesso l hanno la
stessa energia
L2
Ma E =
e quindi
2I
L2 = h 2l (l + 1)
Il modulo del momento angolare L, è
quantizzato
r
Anche la componente z di L è quantizzata:
L z = ml h
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Momento angolare
Al variare di ml cambia l’orientazione rispetto a z
Ci sono 2l+1 orientazioni
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Indeterminazione
di
L
r
Siccome le componenti x e y di L possono assumere
qualsiasi valore
Qualsiasi vettore sulla superficie di un cono è
soluzione del moto rotatorio con una data L z
Il momento angolare di un sistema quantistico ha modulo
definito e orientazione definita solo in parte
Si può determinare esattamente una sola
componente del momento angolare
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Spin
Le particelle elementari sono caratterizzate da tre
proprietà: Mass a , Ca r ica ele ttr ica e Spin
Massa:
Carica elettrica:
Spin:
scalare senza segno
scalare con segno
vettoriale
m
±q
r
S
Lo spin si comporta matematicamente come il Momento
Angolare:
S 2 = h 2 s ( s + 1)
s = 0, 1, 2, ... ;
Dato che non si hanno condizioni di continuità, s può
essere non intero:
1 3 5
s = , , , ...
2 2 3
ms = s, s − 1, ..., . − s + 1, . − s
S z = ms h
• Lo spin è determinato dal numero s
• s è una proprietà intrinseca della
particella (non può cambiare)
• l’orientamento (ms) invece può cambiare
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Tutte le particelle elementari si dividono in:
Bosoni
s = 0, 1, 2, ...
Fermioni
1 3 5
s = , , , ...
2 2 3
fotone
elettrone
protone
neutrone
m (Kg)
0
9.1×10−31
1.7×10−27
1.7×10−27
q (e)
0
-1
+1
0
s
1
1/2
1/2
1/2
I nuclei essendo composti di protoni e neutroni hanno
uno spin totale che può essere 0, intero, semi-intero
(isotopi diversi hanno spin diverso)
1
1
Quando s = : ms = ± sono possibili solo 2
2
2
3
1
orientazioni, quindi S z = ± h
S=
h
2
2
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-
Momento magnetico di e
r
Allo spin è associato un dipolo magnetico µ
In un campo magnetico gli elettroni vengono deflessi in
modo opposto secondo l’orientazione s
E’ un
momento magnetico intrinsico
della particella
Non è legato ad una effettiva rotazione della particella
Dal momento magnetico dell’elettrone si ricaverrebbe una
velocità lineare massima (un punto sull’equatore dell’elettrone)
di 137 volte la velocità della luce !!!!!!!
Lo Spin non è descrivibile come una
particella carica che ruota su se stessa
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