Esercizio pagina 1442 numero 8
L'insieme I = {1,2} è un intervallo
L'insieme
{
FALSO
}
2
A= x∈ R: x= , n∈N −{0 }
n
è un intervallo
FALSO
Un intervallo limitato è un insieme formato da un numero finito di elementi FALSO
Un insieme con infiniti elementi è un intervallo
FALSO
L'insieme dei numeri naturali dispari è un intervallo limitato inferiormente
FALSO
Un intervallo chiuso è limitato
VERO
Un intervallo limitato è chiuso
FALSO
Esercizio pagina 1443 numero 22
siano δ , ϵ numeri reali positivi.
a) ∣x−3∣ è un intorno circolare di 3. Vero perchè
∣x−3∣<δ ha come soluzioni
x−3≤0
o {
{x−3>0
−( x−3)<δ
x−3<δ
Nel primo caso
x>3
{x<3+δ
e quindi 3< x<3+δ=] 3 ; 3+δ [
Nel secondo caso
{−(x−3≤0
x−3)<δ
e quindi
x≤3
{−x+3<δ
ovvero
x≤3
{x−3>−δ
e quindi
3−δ< x≤3= ] 3−δ ; 3 ]
L'unione dei due intervalli restituisce l'insieme ] 3−δ ; 3+δ [ , che è un intorno circolare di 3
b) ∣−x−4∣<δ è un intorno circolare di -4 di raggio δ
Osserviamo che la disequazione si riscrive
∣−( x+4)∣<δ ovvero
∣x+4∣<δ che risolta dà
{x+4>0
x+4<δ
oppure
{−(x+4≤0
x+4)<δ
Nel primo caso
x>−4
{x<−4+δ
da cui −4<x<−4+δ
Nel secondo caso
x≤−4
{( x+4)>−δ
da cui
x≤−4
{x>−4−δ
da cui −4−δ< x≤−4
l'unione delle soluzioni é l'intervallo
]−4−δ ;−4+δ [
che è un intorno circolare di centro -4 e raggio δ .
c)
−5−2 δ<x<−5+2 δ è un intorno circolare di -5 e di raggio δ
Sicuramente questo intervallo è un intorno completo di -5, siccome è
−5−2 δ<−5<−5+2 δ
vediamo se è un intorno circolare di -5
Il punto medio tra i due estremi è -5, quindi è un intorno circolare, come si vede anche in figura
vediamo quanto misura il raggio,che è la metà dell'ampiezza. Quest'ultima vale
∣−5+2 δ−(−5−2 δ)∣=∣−5−2 δ+5−2 δ∣=∣−4 δ∣=4 δ
quindi il raggio è
d)
x>2 non è un intervallo e quindi non può essere alcun intorno. La risposta quindi è
Falso
−ϵ
< x<2 ϵ
ϵ+1
risposta è Vero
e)
δ . La risposta è quindi Falso
è un intervallo che contiene lo zero, quindi è un intorno completo di 0- La
Esercizio pagina 1443 numero 23
L'insieme { x∈R:∣x+5∣<δ }
con δ numero positivo, è un intervallo?
Risolviamo la disequazione.
{x+5>0
x +5<δ
{−(x+5≤0
x+5)<δ
O
Nel primo caso si ha
x>−5
{x<−5+δ
e quindi −5<x<−5+δ
Nel secondo caso
x+5≤0
{( x+5)>−δ
e quindi
x≤−5
{x>−5−δ
e quindi −5−δ<x≤−5
L'unione delle soluzioni è l'intervallo ]−5−δ ;−5+δ [ che è anche un intorno circolare di -5, e
quindi NON di 5. Un intorno circolare è anche un intorno completo ed è ovviamente un intorno
completo di infiniti punti. Quindi, non è intorno completo di un solo punto.
Esercizio pagina 1445 numero 37
Il dominio della funzione è illimitato.
Il codominio della funzione è illlimitato
