1) Numeri complessi: Considerato il numero complesso z = 1 + i 3 1

1) Numeri complessi:
Considerato il numero complesso z = 1 + i 3
1. Determinare la sua parte reale, la sua parte immaginaria ed il coefficiente della parte immaginaria;
2. Determinare il suo modulo ed il suo argomento;
3. Scriverlo in forma trigonometrica ed esponenziale;
4. Determinare il suo opposto ed il suo inverso;
5. Determinare z 5 ;
6. Risolvere l’equazione x 6 ? z = 0;
7. Determinare i coefficienti a ed b tali che
2
2+i 2 = z
a + ib
2) Equazioni differenziali:
Risolvere il sistema di equazioni:
3x vv ÝtÞ + 17xÝtÞ + 3yÝtÞ ? 16zÝtÞ = 0,
3y vv ÝtÞ ? 10xÝtÞ + 6yÝtÞ + 32zÝtÞ = 0,
6z vv ÝtÞ ? 10xÝtÞ + 3yÝtÞ + 38zÝtÞ = 0
Svolgimento:
Il sistema può essere posto nella forma normale
x vv ÝtÞ +
17 xÝtÞ
3
+ yÝtÞ ?
16 zÝtÞ
3
y vv ÝtÞ ?
10 xÝtÞ
3
+ 2yÝtÞ +
32 zÝtÞ
3
= 0,
z vv ÝtÞ ? 53 xÝtÞ + 12 yÝtÞ +
19 zÝtÞ
3
=0
= 0,
ed, in forma matriciale,
x vv +Cx = 0
#
con
1 ? 163
17
3
C=
? 103 2
32
3
? 53
19
3
1
2
.
Si determinano, quindi, gli autovalori della matrice C dalla condizione
17
3
det
?V
? 103
?
5
3
1
? 163
2?V
32
3
1
2
19
3
La matrice C come autovalori 1, 4 e 9 tutti reali e positivi.
L’autovettore della matrice C corrispondente all’autovalore 1 è
è
T
2 2 1
ed, infine, quello corrispondente all’autovalore 9 è
Considerata la matrice
=0
?V
T
2 ?4 1
?1 2 1
T
.
, quello corrispondente all’autovalore 4
2
R=
2 ?1
?4 2 2
1
1 1
questa diagonalizza la matrice C.
Infatti vale la relazione
1 0 0
R ?1 CR =
0 4 0
:= D.
0 0 9
Moltiplicando a sinistra il sistema (1) per R ?1 iI sistema diventa
R ?1 x vv +R ?1 CRR ?1 x = 0
quindi
R ?1 x vv +DR ?1 x = 0
posto R ?1 x := y il nostro sistema diventa
x! vv ÝtÞ + x! ÝtÞ = 0,
vv
ÝtÞ + 4 ÝtÞ = 0,
z! vv ÝtÞ + 9z! ÝtÞ = 0
che ammette come soluzione
!xÝtÞ = A1cosÝt + C1Þ,
ÝtÞ = A2cosÝ2t + C2Þ,
z! ÝtÞ = A3cosÝ3t + C3Þ
con A1, A2, A3, C1, C2 e C3 costanti arbitrarie.
La soluzione x del sistema iniziale sarà data da x = Ry e, quindi, dal prodotto
2
x=
2 ?1
A1cosÝt + C1Þ,
?4 2 2
A2cosÝ2t + C2Þ,
1
A3cosÝ3t + C3Þ
1 1
da cui segue la soluzione
!xÝtÞ = 2A1cosÝt + C1Þ + 2A2cosÝ2t + C2Þ ? A3cosÝ3t + C3Þ,
ÝtÞ = ?4A1cosÝt + C1Þ + 2A2cosÝ2t + C2Þ + 2A3cosÝ3t + C3Þ,
z! ÝtÞ = A1cosÝt + C1Þ + A2cosÝ2t + C2Þ + A3cosÝ3t + C3Þ