Liceo delle Scienze Umane Programma di Matematica

Liceo delle Scienze Umane
Programma di Matematica
Modulo
1. Topologia in R
2. Funzioni in R
3. Limite e continuità
di una funzione
Unità didattiche
Struttura algebrica di R
Insiemi reali limitati e illimitati
Intorno di un punto
Intervalli chiusi e aperti
Estremi di un insieme reale
Massimi e minimi di un insieme reale
Punto di accumulazione
Funzioni reali
Funzioni algebriche e trascendenti
Funzioni periodiche
Funzioni pari e dispari
Determinazione del dominio di una funzione
Limite di una funzione in un punto infinito
Limite di una funzione all’infinito
Limite destro e limite sinistro
Teoremi sui limiti
Forme indeterminate
Limiti notevoli
Funzioni continue
Funzioni discontinue
Modulo
4. Derivata
5. Studio di una funzione
6. Metodi di integrazione
Unità didattiche
Rapporto incrementale
Definizione di derivata
Significato geometrico della derivata
Continuità e derivabilità
Derivata di alcune funzioni elementari
Operazioni con le derivate
Derivate di funzioni composte e inverse
Derivate successive
Differenziale di una funzione
Teoremi fondamentali sulle derivate,
derivabilità e continuità
Teorema di De L’Hospital
Massimi e minimi di una funzione e
loro determinazione
Concavità e convessità
Flessi orizzontali e obliqui
Asintoti di una funzione
Rappresentazione grafica della curva di
equazione y=f(x)
Intregazione decomposizione di somma
Integrazione per scomposizione
Integrazione per sostituzione
Integrali di funzioni trigononometriche
Integrazione delle funzioni razionali
Integrazione del tipo
Integrazione delle funzioni irrazionali
Integrazione per parti
Modulo 1: Topologia in R
INTRODUZIONE ALLO STUDIO DELL’ANALISI
Attualmente l'analisi è una branca molto sviluppata della matematica, ed è
fondamentale per lo studio delle funzioni
Prima di tutto definiamo intuitivamente una funzione: consideriamo due insiemi,
diciamo funzione una relazione che associ a ogni elemento del primo insieme uno e
un solo elemento del secondo insieme, il primo insieme è detto dominio della
funzione, il secondo codominio o insieme immagine; lo studio di funzione serve
solitamente per disegnare il grafico di una funzione, vediamo a grandi linee come si
svolge questo processo.
Per prima cosa è necessario individuare il dominio della funzione, questo può
coincidere con l'insieme dei numeri reali oppure no, come nel caso della radice
quadrata, che nei reali è definita solo per numeri positivi.
Spesso è utile, ma talvolta molto difficile, individuare anche il codominio della
funzione, se riesce a fare ciò, si trova nel piano cartesiano una regione, magari
infinita, nella quale è contenuto tutto il grafico della funzione, questo è ovviamente
utile per disegnarne il grafico.
In seguito si studia l'andamento della funzione ai limiti del campo del dominio, cioè
nelle vicinanze degli estremi degli intervalli in cui la funzione non è definita, per
esempio la radice quadrata è definita solo per i positivi, quindi si studierà il
comportamento nelle vicinanze del punto 0, trovando che la radice quadrata di 0 vale
0, ma le cose non sono sempre così semplici, la funzione y = 1/x non è definita
quando x = 0, nelle vicinanze di questo punto la funzione cresce quanto si vuole,
basta fare avvicinare sempre di più x a 0, quindi in il grafico crescerà all'infinito,
nelle vicinanze del punto x = 0, senza tuttavia toccare mai la retta di equazione x = 0,
anche se ci si avvicina sempre di più, una retta di questo tipo è detta asintoto, notiamo
che questa sarà sempre verticale, se è nelle vicinanze di un punto dove la funzione
non è definita. Dopo si va a studiare l'andamento della funzione quando x cresce
all'infinito, in questo caso la y può crescere anch'essa all'infinito, oppure può
avvicinarsi sempre di più a un valore, senza tuttavia mai raggiungerlo, troviamo
quindi un altro asintoto, ma questa volta orizzontale.
Si individua poi i punti nei quali la funzione assume valore massimo e valore
minimo, questi valori possono essere il massimo o il minimo della funzione
considerata su tutto il suo dominio, e allora sono detti rispettivamente massimo e
minimo assoluti, oppure se, per esempio, un punto ha l'ascissa maggiore di tutti i
punti vicini a questo (sia a destra che a sinistra), senza essere tuttavia il punto di
massimo della funzione (magari la funzione è illimitata, cioè cresce all'infinito, il suo
codominio coincide con l'insieme dei numeri reali), questo è detto massimo relativo
della funzione, considerazioni analoghe per il minimo relativo.
Si cerca anche in quali tratti la funzione è crescente e in quali è decrescente, dove
cioè per x maggiori si ottengono y maggiori e viceversa, per x maggiori si ottengono
y minori. Si determina anche dove la funzione è concava, dove cioè presi due punti
qualsiasi della curva essa sta sotto la retta che li congiunge, e dove è convessa, dove
sta sopra la retta. Esistono, per alcune curve, dei punti detti flessi, nei quali la curva
passa da concava a convessa, o ovviamente viceversa, in questi punti la tangente alla
curva la attraversa, per disegnare correttamente il grafico si una funzione è necessario
trovare anche questi punti.
Si procede poi alla ricerca, se esistono, di asintoti obliqui, cioè non paralleli agli assi,
anche questo è chiaramente indispensabile per la corretta rappresentazione del grafico
di una curva.
In teoria tutto ciò basta per disegnare correttamente il grafico di una curva, ma quasi
sempre è utile anche determinare dei punti, per facilitare il disegno, solitamente si
scelgono le intersezioni con gli assi cartesiani, se ci sono, comunque tutti i punti sono
utili, e più se ne determinano, più semplice sarà disegnare correttamente la curva.
Esistono poi molti metodi per semplificare il lavoro, per esempio è molto usato il
metodo di osservare se la curva presenta delle simmetrie, per esempio se la curva è
simmetrica rispetto all'origine sarà sufficiente disegnare la curva in un solo quadrante
per poi riprodurla identica, ribaltata, negli altri quadranti, oppure trovare simmetrie
assiali eccetera. Se poi la curva è periodica, cioè si ripete sempre uguale a sé stessa
dopo un certo periodo sarà sufficiente studiare un periodo solo. Inoltre se si può
semplificare molto l'equazione della curva mediante una trasformazione che lasci
invariata la sua forma, ma magari la sposti o la ruoti (questi tipi di trasformazioni
sono dette similitudini), si studia la curva più semplice e poi la si sposta. Spessissimo
si tratta proprio di una rotazione, perché complica molto l'equazione della curva,
quindi la si disegna riferita agli assi, e poi la si ruota. A volte si usano anche altri tipi
di trasformazioni, che deformano anche la curva, ma in modo di poterla poi disegnare
giusta facilmente, ma è molto difficile individuare la trasformazione più comoda, con
il rischio di complicare la situazione invece di semplificarla.
In analisi sono molto studiati anche i così detti integrali, essi permettono di calcolare
aree sottese a curve, volumi di solidi di rotazione ottenuti da curve, superfici eccetera.
Anche la così detta derivata assume un aspetto molto importante in analisi, questo
calcolo ci permette di trovare la retta tangente a una curva in un suo punto mediante
un processo che ci fa evitare numerosi calcoli.
CONCETTO DI INFINITO
Il concetto di infinito è sicuramente uno dei concetti più affascinanti di tutta la
matematica, infatti la nostra normale intuizione non è in grado di studiare
correttamente l'infinito, anche la matematica lo fa entro certi limiti, vediamo come.
Quando la nostra mente pensa all'infinito quasi sempre pensa all'infinità di numeri, in
effetti i diversi insiemi di numeri sono i soli insiemi infiniti che si incontrano
continuamente.
L'insieme più semplice di numeri che possiamo immaginare è quello dei numeri
naturali, esso è chiaramente infinito, tuttavia noi diciamo che anche l'insieme dei
numeri pari o quello dei numeri dispari è infinito, questo ci pone davanti alla
questione di valutare se sono di più i numeri pari o quelli dispari, oppure i naturali e i
pari. Alla prima questione viene naturale rispondere che ci sono tanti pari quanti
dispari, perché quando contiamo troviamo un pari e un dispari, alternati; la seconda
domanda pone maggiori difficoltà, infatti ci verrebbe da rispondere che ci sono più
naturali che pari, dato l'insieme dei numeri pari è contenuto in quello dei numeri
naturali, ma allora in che senso sono entrambi infiniti? Qualcuno potrebbe rispondere
che sono domande senza senso, ma in realtà la matematica può rispondere in maniera
rigorosa a queste domande.
Vediamo prima un po' di teoria degli insiemi finiti, per poi passare a quelli infiniti, se
un insieme contiene k elementi si dice che la cardinalità di quell'insieme è k; inoltre
se presi due insiemi essi possono essere messi in corrispondenza biunivoca, a ogni
elemento del primo insieme corrisponde uno e un solo elemento del secondo insieme
e viceversa, allora i due insiemi hanno la stessa cardinalità, oppure si dice anche che
sono equipotenti.
Se un insieme, finito, è contenuto in un altro insieme, senza che i due insiemi
coincidano, allora il primo insieme può essere messo in corrispondenza biunivoca
con un sotto insieme del secondo, e il secondo insieme avrà più elementi del primo, e
la cardinalità del primo sarà minore della cardinalità del secondo. In questo modo
possiamo dare una nuova definizione di numero, indipendente dall'assiomatizzazione
di Peano, un numero è ciò che hanno in comune tutti gli insiemi che sono in
corrispondenza biunivoca con un certo insieme A. Questa definizione è molto più
intuitiva di quella di Peano, dove il numero non viene definito, ma preso come ente
primitivo, ma in questo modo abbiamo preso come enti primitivi il concetto di
insieme e quello di corrispondenza, cioè abbiamo solo aggirato, non risolto, il
problema.
Passiamo ora agli insiemi infiniti. Il grande matematico G. Cantor intuì che proprio
attraverso una corrispondenza biunivoca si può stabilire una gerarchia tra gli insiemi
infiniti. Utilizzando questa strada chiamiamo numerabile ogni insieme, infinito
ovviamente, che possa essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei
numeri naturali, per il quale cioè si possa fornire un procedimento che consenta di
contare i suoi elementi, o meglio, di ordinarli in una successione. Tutto ciò però pone
il grave problema di definire un insieme infinito e uno finito, una volta definito uno,
per esempio l'insieme finito, si potrà definire l'altro come il contrario del primo, un
insieme infinito sarebbe dunque uno non finito. Il problema è cioè definire uno di
questi due tipi di insieme. Paradossalmente è più facile definire un insieme infinito:
un insieme infinito è un insieme che può essere messo in corrispondenza biunivoca
con un suo sottoinsieme proprio (cioè diverso dall'insieme di partenza). Secondo
questa definizione l'insieme dei numeri naturali , che è infinito, può essere messo in
corrispondenza biunivoca con, per esempio, l'insieme dei numeri pari.
Possiamo, a questo punto, parlare di cardinalità o potenza di un insieme infinito, in
particolare l'insieme dei numeri naturali si dice che ha cardinalità, o potenza, del
numerabile. Si può dimostrare che ogni sottoinsieme dei numeri naturali, a patto che
ovviamente sia infinito, è numerabile, così sono insiemi numerabili quello dei numeri
pari, dei dispari, dei numeri primi, dei quadrati perfetti... in pratica esistono tanti
numeri pari quanti numeri naturali, per quanto possa sembrare strano.
Viene ora da chiederci se esistono insiemi con cardinalità maggiore di quello dei
numeri naturali, in effetti si può dimostrare che sia l'insieme dei numeri relativi che
quello dei numeri razionali hanno la cardinalità del numerabile, mentre quello dei
numeri reali ha cardinalità maggiore. In parole povere esistono tanti numeri razionali
quanti sono i naturali, ma i reali sono di più, solo tra 0 e 1 vi sono più reali che
naturali. Inoltre si dimostra che l'insieme dei numeri algebrici (quei numeri, cioè, che
sono soluzione di una qualche equazione algebrica) hanno la cardinalità del
numerabile, e poiché l'unione di due insiemi che ha la cardinalità del numerabile ha
ancora la cardinalità del numerabile si deduce che l'insieme dei numeri trascendenti
(quelli che non sono soluzione di nessuna equazione algebrica) ha la cardinalità di
tutti i numeri reali, si dice che ha la cardinalità del continuo.
MODULO 2: Funzioni in R
1) Definizione di funzione reale di una variabile reale:
Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti in R. Si chiama funzione di A in B una
qualsiasi legge che fa corrispondere, ad ogni elemento di x ∈ A, uno e un solo
elemento y ∈ B.
In simboli si ha: y = f(x)
Dove:
x indica un elemento che può essere scelto arbitrariamente in A e rappresenta la
variabile indipendente.
y indica un elemento di B che la funzione associa all’elemento x di A e rappresenta
la variabile dipendente.
A è il dominio o campo di esistenza della funzione f.
B è il codominio di f.
2) Per lo studio delle funzioni è necessario conoscere i vari tipi di intervalli, e cioè:
Intervallo aperto
(a, b) l’insieme di tutti i numeri reali x tali che a < x < b
Intervallo chiuso
[a, b] l’insieme di tutti i numeri reali x tali che a ≤ x ≤ b
Intervallo aperto a destra [a, b) l’insieme di tutti i numeri reali x tali che a ≤ x < b
Intervallo aperto a sinistra (a, b] l’insieme di tutti i numeri reali x tali che a < x ≤ b
Inoltre, in un intervallo, si dicono:
Estremi
i numeri a e b
Estremo inferiore o sinistro
il numero a
Estremo superiore o destro
il numero b
Misura o Ampiezza
il numero b – a
L’intervallo (a, + ∞ ) è un intervallo illimitato superiormente
L’intervallo (- ∞ , a) è un intervallo illimitato inferiormente
3) E’ anche necessario conoscere i vari tipi di intorno di un numero reale c, e cioè:
Intorno completo
un qualsiasi intervallo aperto che contenga c
Intorno destro
un qualsiasi intervallo aperto a destra che abbia come estremo
sinistro c
Intorno sinistro
un qualsiasi intervallo aperto a sinistra che abbia come estremo
destro c
4) CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI:
Sia data la funzione f: A → B, con y = f(x)
Funzioni suriettive: si dice che la funzione f è suriettiva quando ogni elemento di B è
immagine di almeno un elemento di A.
Funzioni iniettive:
si dice che la funzione f è iniettiva se fa corrispondere ad elementi
distinti di A elementi distinti di B.
Funzioni biiettive:
si dice che la funzione f è biiettiva se è, allo stesso tempo, iniettiva
e suriettiva.
Definizione di corrispondenza biunivoca:
Si dice che due insiemi A e B, non vuoti, sono in corrispondenza biunivoca,
quando esiste una legge che associa, ad ogni elemento di A, uno ed un solo
elemento di B e, viceversa, ogni elemento di B è associato ad uno ed un solo
elemento di A.
5) Le funzioni analitiche si possono classificare nel seguente modo:
Algebriche
Trascendenti
|
|
Razionali
Irrazionali
|
|
Intere Fratte
Esponenziali Lgaritmiche Goniometriche
Intere Fratte
Una funzione si dice Razionale Algebrica se le operazioni che si devono eseguire sulla
variabile indipendente x sono quelle di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione
ed elevamento a potenza ad esponente intero.
In particolare, si dice Razionale intera se la x non figura a denominatore o a numeratore
con esponente negativo, in caso contrario si dice Razionale fratta.
Una funzione si dice Irrazionale Algebrica se si deve eseguire sulla variabile
indipendente x, oltre all’addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed elevamento
a potenza ad esponente intero, anche l’estrazione di radice o l’elevamento a potenza con
esponente non intero.
Una funzione si dice Trascendente quando non è algebrica.
6) PROPRIETA’ SPECIFICHE DI ALCUNE FUNZIONI
Funzioni pari o dispari:
a) Una funzione y = f(x) si dice pari se risulta f(-x) = f(x)
∀x∈A
Ad esempio la funzione f(x) = x2 è pari perché risulta f(-x) = (-x2) = x2 = f(x)
b)Una funzione y = f(x) si dice dispari se risulta f(-x) = -f(x)
∀x∈A
Ad esempio la funzione f(x)=sen x è dispari perché risulta f(-x)=sen(-x)=-senx = -f(x)
Proprietà:
Il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari.
Il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari.
Il prodotto di una funzione pari e una funzione dispari, è una funzione dispari.
Funzioni monotone:
Sia f(x) una funzione reale della variabile reale x, definita nell’insieme A, e A contenga
almeno due punti. Quando, per ogni coppia di punti x1 e x2 di A, risulta:
⇒ f(x ) < f(x ), la f(x) si dice crescente in A
< x ⇒ f(x ) > f(x ), la f(x) si dice decrescente in A
< x ⇒ f(x ) ≤ f(x ), la f(x) si dice non decrescente in A
< x ⇒ f(x ) ≥ f(x ), la f(x) si dice non crescente in A
• x1 < x2
1
2
• x1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
• x1
• x1
Una funzione si dice monotona in A quando è crescente o decrescente, non decrescente
o non crescente.
Ad esempio la funzione f(x) = 2x –1 è crescente perché:
x1 < x2
⇒ 2x – 1 < 2x – 1 ⇒ f(x ) < f(x )
1
2
1
2
Funzioni periodiche:
Una funzione y = f(x) si dice periodica, di periodo T ≠ 0, se:
∀ x ∈ A e (x + T) ∈ A si ha f(x+T) = f(x)
Le funzioni goniometriche sono tra le più importanti funzioni periodiche.
Ad esempio la funzione sen x è periodica con T = 2π, infatti sen x = sen (x+2π)
La funzione sen (ax+b) è periodica con T = 2π/a
Funzioni limitate
Una funzione f(x) definita in un insieme A si dice:
• Limitata superiormente in A, se esiste un numero k>0 tale che, per ogni x di A,
risulti f(x) ≤ k
• Limitata inferiormente in A, se esiste un numero k>0 tale che, per ogni x di A,
risulti f(x) ≥ k
• Limitata in A, se è limitata sia superiormente che inferiormente.
• Illimitata in A, negli altri casi.
Definizione di estremo superiore, inferiore ed oscillazione
• Si chiama estremo superiore della funzione f(x), di dominio A e condominio B,
l’estremo superiore del condominio B e si indica con sup f(x)
• Si chiama estremo inferiore della funzione f(x), di dominio A e condominio B,
l’estremo inferiore del condominio B e si indica con inf f(x)
• Si chiama oscillazione della funzione f(x), di dominio A e condominio B, la
differenza ω = sup f(x) – inf f(x)
Definizione di Massimo
Si dice che x0 è un punto di massimo assoluto di f(x) in A e che f(x) assume in x0 il
massimo assoluto quando:
• F(x) è definita in x0
• ∀ x ∈ A risulta f(x) ≤ f(x0)
Si dice che x0 è un punto di minimo assoluto di f(x) in A e che f(x) assume in x0 il
minimo assoluto quando:
• F(x) è definita in x0
• ∀ x ∈ A risulta f(x) ≥ f(x0)
Funzioni composte
Date le funzioni y = f(z) e z = g(x), si chiama funzione composta la funzione y=f(g(x))
Ad esempio la funzione y = sen (x2+1) è una funzione composta dove z = x2 + 1
Modulo 3: Limiti e continuità di una funzione
Introduzione al concetto di limite
Il concetto di limite intuitivamente non è molto difficile, anche se la sua
formalizzazione ha presentato non pochi problemi ai matematici.
Immaginiamo una normale funzione, y = f(x), se noi vogliamo calcolare il valore che
assume la y quando la x diventa grandissima cosa possiamo fare? Intuitivamente
possiamo immaginare che la x diventa infinitamente grande, ma infinito non è certo
un numero che possiamo raggiungere operativamente; in questo caso possiamo usare
l'operazione matematica chiamata appunto limite, che ci dice come si comporta la y
quando la x tende a infinito, cioè diventa grandissima, senza ovviamente diventare
effettivamente infinito. Per capire bene questo fatto possiamo dire che se noi
troviamo un valore assunto dalla y quando la x in valore assoluto supera qualsiasi
numero positivo arbitrariamente scelto da noi allora diciamo che quello è il limite di
y per x che tende a infinito. Spesso accade che quando x tende a infinito anche la y
tende a infinito, cioè anche la y diventa più grande di qualsiasi numero scelto. Si noti
che si dice sempre che la x tende a un certo valore, cioè noi non sappiamo cosa
succede quando la x diventa effettivamente infinitamente grande (e non c'è modo di
saperlo), ma solo quando ci si avvicina quanto si vuole; la stessa cosa vale per la y,
che non assume mai il valore che coincide con il limite, ma ci si avvicina solamente.
In questo modo possiamo dire che x tende a infinito, a + infinito (cioè è
arbitrariamente grande ma positivo) o a - infinito (cioè è arbitrariamente grande ma
negativo).
Tuttavia è anche possibile stabilire cosa succede quando x tende a un certo valore ben
definito, e osservare a che valore tende allora la y. Per esempio consideriamo la retta
di equazione y = x, per x che tende a infinito anche y tende a infinito, ma per x che
tende a 2 che cosa succede? In questo caso si può dimostrare che facendo diventare la
x arbitrariamente vicina a 2 anche la y diventa arbitrariamente vicina a 2, cioè il
limite coincide con il valore della funzione. Questo però non è vero per tutte le
funzioni, esistono funzioni per cui non è vero solo in alcuno punto, altre per cui non è
vero in infiniti punti. Vediamo un esempio del primo caso: consideriamo la funzione
y = 1/x, per x = 0 la funzione non è definita, mentre per x che tende a 0 y tende a
infinito, perché si dimostra che facendo avvicinare x arbitrariamente a 0 y diventa
arbitrariamente grande, vediamo che i due valori sono differenti, in questo punto la
funzione ha una discontinuità, se la funzione non presenta queste discontinuità si dice
che essa è continua. Si può pensare che le discontinuità si presentino solo dove la
funzione non è definita, invece esistono anche delle discontinuità diverse da queste,
per esempio dove la funzione fa dei "salti bruschi".
Esistono dei punti in certe funzioni in cui non è possibile calcolare il limite,
principalmente perché in questi punti si comporta molto "stranamente", vediamo
come può non esistere il limite in questo modo: se immaginiamo di avvicinarci al
punto arbitrariamente, ma da sinistra nel grafico otteniamo il limite sinistro della
funzione in quel punto, similmente otteniamo il limite destro, se essi coincidono
allora quello è il limite della funzione in quel punto, se invece non coincidono allora
non vi è limite in quel punto, ma solo limite destro e sinistro.
Riportiamo adesso le varie tipologie di limite, a secondo che il limite è finito o
infinito e calcolato in un punto o per x tendente all’infinito.
1) Definizione di limite finito di una funzione in un punto:
Si dice che la funzione f(x), per x tendente a c, ha per limite il numero l e si scrive:
lim f(x) = l
x
→c
quando, in corrispondenza ad un numero positivo ε arbitrario, si può sempre
determinare un intorno completo H del punto c tale che, per tutti i valori della x che
appartengono ad [a,b] e cadono in H, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la
disequazione:
|f(x) – l| < ε
cioè le disequazioni:
l – ε < f(x) < l + ε
2) Definizione di limite infinito di una funzione in un punto:
Si dice che la funzione f(x), per x tendente a c, ha per limite l’infinito e si scrive:
lim f(x) = ∞
x
→c
quando, in corrispondenza ad un numero positivo M arbitrario, si può sempre
determinare un intorno completo H del punto c tale che, per tutti i valori della x che
appartengono ad [a,b] e cadono in H, escluso c, risulti soddisfatta la disequazione:
| f(x) | > M
In particolare:
se f(x) > M allora lim f(x) = +∞
x
→c
x
→c
se f(x) < M allora lim f(x) = -∞
3) Definizione di limite finito di una funzione all’infinito:
Si dice che la funzione f(x), per x tendente all’infinito, ha per limite il numero l e si
scrive:
lim f(x) = l
x→ ∞
quando, in corrispondenza ad un numero positivo ε arbitrario, si può sempre
determinare un numero N > 0 tale che, per tutti i valori della |x| > N, risulti
soddisfatta la disequazione:
|f(x) – l| < ε
In particolare:
se x > N allora lim f(x) = l
x→ +∞
se x < -N allora lim f(x) = l
x→ -∞
4) Definizione di limite infinito di una funzione all’infinito:
Si dice che la funzione f(x), per x tendente all’infinito, ha per limite l’infinito e si
scrive:
lim f(x) = ∞
x→ ∞
quando, in corrispondenza ad un numero positivo M arbitrario, si può sempre
determinare un numero N > 0 tale che, per tutti i valori della |x| > N, risulti
soddisfatta la disequazione:
| f(x) | > M
In particolare:
se f(x) > M allora lim f(x) = +∞
x →∞
se f(x) < -M allora lim f(x) = -∞
x
→∞
Limite destro e limite sinistro di una funzione in un punto:
Poiché x puo tendere al punto c sia da destra che da sinistra, nel caso in cui il limite
della funzione, per x che tende a c, assume un valore diverso se mi avvicino al punto
c da destra o da sinistra, allora è necessario definire il limite destro e il limite sinistro,
e si scrive:
lim f(x) = l
x
→c
+
Quando facciamo tendere x a c da destra
lim f(x) = l
x
→c
-
Quando facciamo tendere x a c da sinistra
TEOREMI FONDAMENTALI SUI LIMITI
Teorema dell’unicità del limite:
Se esiste il limite della funzione f(x), per x tendente a c, tale limite è unico.
Teorema della permanenza del segno:
se lim f(x) = l ≠ 0, esiste un opportuno intorno del punto del c, in corrispondenza del
→c
x
quale la funzione f(x) ha lo stesso segno di l.
Teorema del confronto:
SE f(x), h(x) e g(x) sono tre funzioni definite nello stesso intervallo,eccettuato al più
un punto c di questo, tali che
• f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) per ogni x ≠ c dell’intervallo,
• lim f(x) = lim g(x) = l
→c
x
allora risulta anche
→c
x
lim g(x) = l
x
→c
Modulo 4: Derivate
1) Derivata d’una funzione in un punto
2) Derivabilità a destra e a sinistra
3) Derivazione e continuità
4) Regole di derivazione
5) Derivazione di funzioni composta e inversa
6) Derivate successive
Modulo 5: Studio di una funzione
Per studiare una funzione allo scopo di tracciarne un grafico indicativo, che ne
evidenzi le principali caratteristiche, si può procedere nel seguente modo:
1) Determinare l’insieme di esistenza della funzione f(x), le eventuali simmetrie
rispetto all’asse y o all’origine delle coordinate e la eventuale periodicità;
2) Determinare il segno di f(x) e gli eventuali punti di discontinuità della curva
con gli assi coordinati;
3) Studiare il comportamento della funzione quando la variabile tende agli
estremi degli intervalli che compongono l’insieme di esistenza;
4) Determinare gli eventuali asintoti della curva;
5) Determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente o decrescente e i suoi
massimi e minimi;
6) Determinare la concavità, la convessità ed eventuali punti di flesso;
7) Disegnare il grafico della funzione. Per renderlo più fedele al reale andamento
della funzione, sarà opportuno, in generale, calcolare le coordinate di qualche
altro punto della curva, servendosi dell’equazione y = f(x).
Metodi di Integrazione
• Integrazione per decomposizione in somma
• Integrazione per parti
• Integrazione per sostituzione
Integrazione per decomposizione in somma
In molti casi il calcolo dell’integrale indefinito di una funzione
si può ricondurre al calcolo di integrali già noti, o di tipo più
semplice
 decomporre la funzione integranda nella somma di due o
più funzioni
 applicare la proprietà di linearità.
Esempio
sommando e sottraendo 1 al numeratore della funzione
integranda si ha che:
applicando la proprietà di linearità dell'integrale indefinito
Integrazione per parti
Il metodo di integrazione per parti si basa sulla formula di
derivazione del prodotto di due funzioni
Formula di integrazione per parti
Se in un intervallo
e
sono due funzioni derivabili con
derivata continua, allora vale che:
dove:
è detto fattore finito mentre
è detto fattore differenziale
Osservazione
L’ipotesi secondo cui le
derivate e
sono continue
assicura l’esistenza dei due
integrali presenti nella formula
di integrazione per parti
Esempio
applichiamo la formula di integrazione per parti considerando
come fattore finito
come fattore differenziale
Osservazione
Il metodo di integrazione per parti può essere applicato anche
più volte consecutivamente
Esempio
applichiamo la formula di integrazione per parti considerando
come fattore finito
come fattore differenziale
Applichiamo di nuovo la formula di integrazione per parti
e sostituendo
Integrazione per sostituzione
Il metodo di integrazione per sostituzione si basa sulla formula
di integrazione delle funzioni composte
Formula di integrazione per sostituzione
Sia una funzione continua e una funzione derivabile con
derivata continua in un dato intervallo, allora risulta che:
ossia si effettua la posizione
da cui segue
Osservazione
Il metodo di integrazione per sostituzione non richiede, per la
sua validità, che la funzione
sia una funzione invertibile e
il risultato dell’integrazione indefinita è espresso in funzione di
, mediante la posizione
.
Per poter esprimere il risultato in funzione di , occorre
supporre che
sia una funzione invertibile; in tale caso, il
risultato finale viene espresso in funzione della
mediante
l’ulteriore sostituzione
Esempio
Effettuando la sostituzione
si ottiene
volendo scrivere il risultato finale in
ottenendo
si sostituisce il valore
Integrali di funzioni trigonomeriche
1. Integrali del tipo
Esempio
2. Integrali del tipo
sfruttando la relazione
con almeno uno degli
esponenti dispari
si può scrivere l'integrale nella
forma 1.
Esempio
con entrambi gli
esponenti pari
formule di bisezione per
abbassare il grado delle
potenze, ottenendo integrali
del tipo precedente, oppure
elementari.
Esempio
3. Integrali del tipo
formule di prostaferesi che
riconducono alla somma di
integrali elementari.
4. Integrali di funzioni razionali di
e
Un integrale di questo tipo può sempre essere ricondotto all'
integrale di una funzione razionale mediante l' uso delle
formule parametriche
con
Integrazione delle funzioni razionali
Una funzione razionale è il rapporto tra due polinomi
grado , e
; di grado
Se
; si può dividere
per
e scrivere
e quindi
essendo
un polinomio di grado
.
; di
Dall'additività dell'integrale
con
.
Dunque è sufficiente determinare un metodo per calcolare l'
integrale di una funzione razionale per cui il numeratore
ha grado inferiore al grado del denominatore
.
Possiamo inoltre supporre che il coefficiente del termine di
grado massimo di
sia
.
1. Il grado del denominatore è
:
2. Il grado del denominatore è
:
Distinguiamo tre sottocasi
a)
In questo caso esistono
e
tali che
(
e
si determinano calcolando la somma a secondo
membro e uguagliando i numeratori a primo e secondo
membro). Allora si ha
b)
In questo caso esistono
e
tali che
(
e
si determinano calcolando la somma a secondo
membro e uguagliando i numeratori a primo e secondo
membro). Allora si ha
b)
 se
Allora si ha
 se
Se si pone
ci si riduce al caso precedente.
 se in generale
Se si pone
ci si riduce di nuovo al primo caso particolare.
Integrazione delle funzioni irrazionali
La funzione integranda è una funzione razionale del tipo
Si pone
.
In tal caso
e si ottiene una funzione razionale di .