Dualità reti magnetiche – reti elettriche Lo studio delle reti
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Dualità reti magnetiche – reti elettriche Dualità reti magnetiche – reti elettriche Lo studio delle reti magnetiche effettuato a partire dalle equazioni magnetiche e della relativa deduzione delle corrispondenti reti elettriche sulla base delle equazioni elettriche, porta alla formulazione di un metodo generale, di tipo sistematico, per effettuare tali trasformazioni, basato su una sintetica procedura di tipo grafico. Come si vedrà, in tale procedura il passaggio da una quantità magnetica alla duale elettrica si verifica mediante le seguenti trasformazioni: alle f.m.m. M si associano corrispondenti f.e.m. E (o tensioni V); alle riluttanze si fanno corrispondere induttanze L; agli elementi in parallelo corrispondono elementi in serie; agli elementi in serie corrispondono elementi in parallelo. Esiste quindi una univoca corrispondenza tra gli elementi circuitali M, e E, L; inoltre le configurazioni della rete magnetica e della rete elettrica sono tra loro duali. 1. Dualità Per dualità - nelle reti elettriche - si intende la proprietà per cui, dato un sistema di equazioni rappresentativo di una rete, se si sostituiscono le grandezze circuitali (tensioni, correnti, impedenze ...) con altre secondo una ben definita corrispondenza, il sistema che così si ottiene rappresenta una nuova rete in cui le situazioni circuitali (chiuso, aperto, nodo, maglia ...) corrispondono a quelle della rete primitiva esse pure secondo corrispondenze univoche. La tabella che segue fornisce un quadro sommario delle principali corrispondenze tra grandezze circuitali e tra situazioni circuitali duali; naturalmente, per ogni corrispondenza é valida anche l'inversa (es.: V I e I V). CORRISPONDENZE NELLA DUALITA' Grandezze circuitali Situazioni topologiche V R L X Z P W SERIE MAGLIA APERTO T (Y) I G C B Y P W PARALLELO NODO CHIUSO () Alcuni esempi chiariranno quanto detto: 1) L’equazione Z = R + jL + (jC)1 rappresenta il circuito di fig. 1a in cui gli elementi sono in serie; la sua duale Y = G + jC + (jL)1 rappresenta il circuito di fig. 1b in cui gli elementi sono passati in parallelo. Fig. 1a Fig. 1b 1 Dualità reti magnetiche – reti elettriche 2) La proposizione “un generatore di tensione aperto fornisce una potenza nulla” diventa, sostituendo gli elementi con il loro duale, “un generatore di corrente chiuso in corto-circuito fornisce una potenza nulla”. Si osservi che i fenomeni energetici (legati a potenza P ed energia W) devono essere comunque rispettati, e queste due grandezze risultano invariate nelle dualità. Mentre in casi semplici il passaggio da una rete alla sua duale è agevole in base alle indicazioni della tabella, per una rete complessa, possono sorgere delle difficoltà. Il seguente procedimento grafico, valido solo per reti planari (ossia disegnabili su un piano indefinito senza che si verifichino incroci) permette un’agevole soluzione del problema. a. si segna un punto all'interno di ogni maglia, ed uno all’esterno dell'intero circuito; b. si congiungono i punti a due a due attraverso le maglie solo in corrispondenza degli elementi circuitali; c. si sostituiscono gli elementi circuitali con i loro duali. La rete così ottenuta è la rete duale di quella data. E' inoltre dimostrabile che data una rete, esiste una sola rete ad essa duale; in caso di reti non planari, è possibile risolvere egualmente il problema della determinazione della rete duale scindendola in sub-sistemi planari, determinando i duali, e ricostruendo la rete duale completa seguendo determinate regole. Gli esempi di fig. 2 mostrano come le trasformazioni di rete ottenibili mediante manipolazione delle equazioni possano essere raggiunti col metodo ora esposto. 2 Dualità reti magnetiche – reti elettriche 3 Fig. 2 – Trasformazioni per dualità da reti magnetiche a reti elettriche equivalenti 2. Rete elettrica equivalente di N circuiti magneticamente accoppiati Si considerino n bobine mutuamente accoppiate, in modo da costituire una rete magnetica planare. Il sistema di equazioni che descrive tale rete magnetica nel funzionamento ai valori istantanei è, in forma matriciale: 11 21 n1 12 22 n 2 1n 1 m1 2 n 2 m2 nn n mn ovvero [][] = [m] dove m1, …, mn sono le f.m.m. totali istantanee agenti su ogni maglia; 1, …, n sono i flussi ciclici istantanei, mediamente concatenati, che interessano i rami delle maglie; 11, …, nn sono le auto-riluttanze, ossia la somma delle riluttanze interessate dai flussi ciclici 1, …, n; hk (= kh) sono le mutue riluttanze (ossia la somma delle riluttanze dei rami interessati dai flussi ciclici h, …, k). La soluzione della equazione matriciale conduce a: [] = []1 [m] = [] [m] , dove [ ] = [ ]1 è la matrice delle permeanze equivalenti. Sostituendo ora alle f.m.m. mi le Ni ii , ed esprimendo i flussi mediamente concatenati i mediante i flussi totali concatenati i = ti / Ni , la precedente relazione matriciale si può trasformare nella seguente: Dualità reti magnetiche – reti elettriche t1 L11 L t 2 21 tn Ln1 L12 L22 Ln 2 L1n i1 L2 n i2 Lnn in 4 Derivando rispetto al tempo tale relazione matriciale, si ottiene: t1 L11 d t 2 L21 vL e dt tn Ln1 L12 L22 Ln 2 L1n i1 L2 n d i2 dt Lnn in d dt vL L i dove il vettore delle f.e.m. indotte [e], coincidente con il vettore delle tensioni auto e mutuamente indotte [vL] descrive il legame delle tensioni e delle correnti ai morsetti di una rete di induttanze mutuamente accoppiate, corrispondente alla rete magnetica di partenza. Il sistema [vL]=[L]d[i]/dt rappresenta il comportamento elettrico ai morsetti dell'insieme di bobine magneticamente accoppiate, le cui interazioni erano descritte da []=[][m]. Si osservi ora che le equazioni costituenti il sistema iniziale [][] = [m] sono equazioni alle maglie; diversamente, si constata che le equazioni costituenti il nuovo sistema [vL]=[L]d[i]/dt sono equazioni ai nodi; pertanto, la rete rappresentata dal sistema [vL]=[L]d[i]/dt ha configurazione duale rispetto alla rete iniziale. Si é così determinata la rete elettrica equivalente di n circuiti magneticamente accoppiati. Siamo quindi in grado di indicare un procedimento generale per determinare la rete elettrica equivalente a circuiti magneticamente (mutuamente) accoppiati: 1. si eliminano i concatenamenti parziali, mettendo in evidenza solo circuiti magnetici con concatenamenti totali; 2. si traccia la rete magnetica (che contiene solo m e ); 3. si traccia la rete duale di quella magnetica; 4. si sostituiscono le m con vL e le con L.
