Dualità reti magnetiche – reti elettriche Dualità reti magnetiche – reti elettriche
Lo studio delle reti magnetiche effettuato a partire dalle equazioni magnetiche e della relativa
deduzione delle corrispondenti reti elettriche sulla base delle equazioni elettriche, porta alla
formulazione di un metodo generale, di tipo sistematico, per effettuare tali trasformazioni, basato
su una sintetica procedura di tipo grafico. Come si vedrà, in tale procedura il passaggio da una
quantità magnetica alla duale elettrica si verifica mediante le seguenti trasformazioni:
alle f.m.m. M si associano corrispondenti f.e.m. E (o tensioni V);
alle riluttanze si fanno corrispondere induttanze L;
agli elementi in parallelo corrispondono elementi in serie;
agli elementi in serie corrispondono elementi in parallelo.
Esiste quindi una univoca corrispondenza tra gli elementi circuitali M, e E, L; inoltre le
configurazioni della rete magnetica e della rete elettrica sono tra loro duali.
1. Dualità
Per dualità - nelle reti elettriche - si intende la proprietà per cui, dato un sistema di equazioni
rappresentativo di una rete, se si sostituiscono le grandezze circuitali (tensioni, correnti,
impedenze ...) con altre secondo una ben definita corrispondenza, il sistema che così si ottiene
rappresenta una nuova rete in cui le situazioni circuitali (chiuso, aperto, nodo, maglia ...)
corrispondono a quelle della rete primitiva esse pure secondo corrispondenze univoche.
La tabella che segue fornisce un quadro sommario delle principali corrispondenze tra grandezze
circuitali e tra situazioni circuitali duali; naturalmente, per ogni corrispondenza é valida anche
l'inversa (es.: V I e I V).
CORRISPONDENZE NELLA DUALITA'
Grandezze circuitali
Situazioni
topologiche
V
R
L
X
Z
P
W
SERIE
MAGLIA
APERTO
T (Y)
I
G
C
B
Y
P
W
PARALLELO
NODO
CHIUSO
()
Alcuni esempi chiariranno quanto detto:
1) L’equazione Z = R + jL + (jC)1 rappresenta il circuito di fig. 1a in cui gli elementi
sono in serie; la sua duale Y = G + jC + (jL)1 rappresenta il circuito di fig. 1b in cui gli
elementi sono passati in parallelo.
Fig. 1a
Fig. 1b
1
Dualità reti magnetiche – reti elettriche 2) La proposizione “un generatore di tensione aperto fornisce una potenza nulla” diventa,
sostituendo gli elementi con il loro duale, “un generatore di corrente chiuso in corto-circuito
fornisce una potenza nulla”.
Si osservi che i fenomeni energetici (legati a potenza P ed energia W) devono essere comunque
rispettati, e queste due grandezze risultano invariate nelle dualità.
Mentre in casi semplici il passaggio da una rete alla sua duale è agevole in base alle indicazioni
della tabella, per una rete complessa, possono sorgere delle difficoltà.
Il seguente procedimento grafico, valido solo per reti planari (ossia disegnabili su un piano
indefinito senza che si verifichino incroci) permette un’agevole soluzione del problema.
a. si segna un punto all'interno di ogni maglia, ed uno all’esterno dell'intero circuito;
b. si congiungono i punti a due a due attraverso le maglie solo in corrispondenza degli elementi
circuitali;
c. si sostituiscono gli elementi circuitali con i loro duali.
La rete così ottenuta è la rete duale di quella data.
E' inoltre dimostrabile che data una rete, esiste una sola rete ad essa duale; in caso di reti non
planari, è possibile risolvere egualmente il problema della determinazione della rete duale
scindendola in sub-sistemi planari, determinando i duali, e ricostruendo la rete duale completa
seguendo determinate regole.
Gli esempi di fig. 2 mostrano come le trasformazioni di rete ottenibili mediante manipolazione
delle equazioni possano essere raggiunti col metodo ora esposto.
2
Dualità reti magnetiche – reti elettriche 3
Fig. 2 – Trasformazioni per dualità da reti magnetiche a reti elettriche equivalenti
2. Rete elettrica equivalente di N circuiti magneticamente accoppiati
Si considerino n bobine mutuamente accoppiate, in modo da costituire una rete magnetica
planare. Il sistema di equazioni che descrive tale rete magnetica nel funzionamento ai valori
istantanei è, in forma matriciale:
11
21
n1
12
22
n 2
1n 1 m1
2 n 2 m2
nn n mn
ovvero
[][] = [m]
dove
m1, …, mn sono le f.m.m. totali istantanee agenti su ogni maglia;
1, …, n sono i flussi ciclici istantanei, mediamente concatenati, che interessano i rami delle
maglie;
11, …, nn sono le auto-riluttanze, ossia la somma delle riluttanze interessate dai flussi ciclici
1, …, n;
hk (= kh) sono le mutue riluttanze (ossia la somma delle riluttanze dei rami interessati dai
flussi ciclici h, …, k).
La soluzione della equazione matriciale conduce a:
[] = []1 [m] = [] [m] ,
dove [ ] = [ ]1 è la matrice delle permeanze equivalenti.
Sostituendo ora alle f.m.m. mi le Ni ii , ed esprimendo i flussi mediamente concatenati i
mediante i flussi totali concatenati i = ti / Ni , la precedente relazione matriciale si può
trasformare nella seguente:
Dualità reti magnetiche – reti elettriche t1 L11
L
t 2 21
tn Ln1
L12
L22
Ln 2
L1n i1
L2 n i2
Lnn in
4
Derivando rispetto al tempo tale relazione matriciale, si ottiene:
t1 L11
d t 2 L21
vL e
dt
tn Ln1
L12
L22
Ln 2
L1n
i1
L2 n d i2
dt
Lnn
in
d
dt
vL L i
dove il vettore delle f.e.m. indotte [e], coincidente con il vettore delle tensioni auto e
mutuamente indotte [vL] descrive il legame delle tensioni e delle correnti ai morsetti di una rete
di induttanze mutuamente accoppiate, corrispondente alla rete magnetica di partenza.
Il sistema [vL]=[L]d[i]/dt rappresenta il comportamento elettrico ai morsetti dell'insieme di
bobine magneticamente accoppiate, le cui interazioni erano descritte da []=[][m].
Si osservi ora che le equazioni costituenti il sistema iniziale [][] = [m] sono equazioni alle
maglie; diversamente, si constata che le equazioni costituenti il nuovo sistema [vL]=[L]d[i]/dt
sono equazioni ai nodi; pertanto, la rete rappresentata dal sistema [vL]=[L]d[i]/dt ha
configurazione duale rispetto alla rete iniziale.
Si é così determinata la rete elettrica equivalente di n circuiti magneticamente accoppiati.
Siamo quindi in grado di indicare un procedimento generale per determinare la rete elettrica
equivalente a circuiti magneticamente (mutuamente) accoppiati:
1. si eliminano i concatenamenti parziali, mettendo in evidenza solo circuiti magnetici con
concatenamenti totali;
2. si traccia la rete magnetica (che contiene solo m e );
3. si traccia la rete duale di quella magnetica;
4. si sostituiscono le m con vL e le con L.
