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FASORI
Data una funzione reale armonica monocromatica nella seguente forma
a( r , t ) = a 0 ( r ) cos(ωt + ϕ ) = Re{a 0 ( r )e jϕ e jωt }
si definisce fasore la espressione
A( r ) = a 0 ( r )e jϕ
Convenzione americana
1
A( r ) =
a 0 ( r )e jϕ Convenzione italiana
2
Nota : nel corso utilizzeremo la convenzione italiana.
Tabella di trasformazione
a(r, t )
A( r )
cos(ωt )
1
sin(ωt )
−j
cos(ωt + ϕ )
e
sin (ω t + ϕ )
− je
jϕ
jϕ
Polarizzazione
E’ la curva che descrive il vettore istantaneo a ( t ) al variare del tempo
A'
ϕ
A"
n$
n$ =
A'× A"
A'× A"
cos ϕ =
A'⋅ A"
A' ⋅ A"
se A' ⊥ A" allora A' e A" sono detti assi principali
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Polarizzazione Lineare
La polarizzazione è lineare se soddisfa almeno una delle seguenti tre condizioni :
1. I due vettori sono paralleli cioè il loro prodotto vettoriale é nullo :
A'/ / A'' (cioè ϕ = 0 oppure ϕ = π)
A'× A'' = 0
2. A'= 0
3. A"= 0
Polarizzazione Circolare
La polarizzazione è circolare se soddisfa tutte le seguenti condizioni :
1. A' = A"
2. A'⋅ A'' = 0
(ovvero ϕ = ±
π
, cioè A' ⊥ A'' )
2
• Data la terna destrorsa ( e$1 , e$2 , n$ ) si definiscono :
ê1
ê2
n$
e$0 = e$1 + je$2
e$0 = e$1 − je$2
versore orario
versore antiorario :
NOTA: per determinare se una polarizzazione è oraria o antioraria, si calcola il campo nel
T
tempo a t = 0 e t = e si guarda la sua evoluzione temporale dalla parte del versore n$
4
uscente.
• Espressione generale di un fasore polarizzato in modo circolare orario:
Ao = me$o
m = m e jϕm
• Espressione generale di un fasore polarizzato in modo circolare antiorario :
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n = n e jϕn
Aa = ne$a
• Nel piano [XY] l’espressione del fasore polarizzato diventa :
Ao = m( x$ + jy$ )
Aa = n( x$ − jy$ )
per la polarizzazione circolare oraria
per la polarizzazione circolare antioraria
Diametri Principali
B' = A' cos δ + A'' sinδ
B'' = A'' cos δ − A' sinδ
tg 2δ =
2 A'⋅ A''
2
A' − A' '
2
Scomposizione in due Polarizzazioni Lineari Ortogonali nel Tempo
Dato A abbiamo
A = A'+ j A''
dove A′ , A′′ sono lineari
Scomposizione in due Polarizzazioni Lineari Ortogonali nel Tempo e nello Spazio
Dato
A = A'+ j A"
si fissa e$1 nel piano di polarizzazione e si calcola
n$ =
A'× A''
A'× A''
Quindi si calcola
e$2 = n$ × e$1
e si ricavano i coefficienti per calcolare la composizione lineare
A = A1e$1 + A2 e$2
mediante proiezione oppure mediante sistemi.
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Scomposizione in due Polarizzazioni Circolari Ruotanti in Senso Opposto
Se la polarizzazione non è né lineare né circolare allora si dice ellittica . Una
polarizzazione ellittica può essere scomposta in due polarizzazioni circolari ruotanti in
senso opposto. Il procedimento per effettuare questa scomposizione è descritto di seguito.
Si calcolano i versori e$1 , e$2 come al paragrafo (2.6) precedente e si introducono i seguenti
versori di polarizzazione :
e$o =
e$1 + je$2
2
e$a =
e$1 − je$2
2
A questo punto non resta che calcolare i coefficienti della composizione lineare
A = Ao e$o + Aa e$a
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Onde Piane
E (r , t ) = Re{E (r )e jωt }
E (r ) = Eo e − j k ⋅r
onda piana progressiva
E (r ) = Eo e j k ⋅r
onda piana regressiva
Eo vettore complesso non dipendente da r
Velocità di Fase - Lunghezza d’Onda
ω
v f = k$
velocità di fase
k
λ=
2π
k
lunghezza d’onda
Equazioni di Maxwell
∇⋅ E = k ⋅E = 0
∇⋅ H = k ⋅ H = 0
equazioni della divergenza
k × E o = ωµ H
k × H o = −ωε E
equazioni di rotore
k ⋅ k − ω 2 µε = 0
equazione d’onda
H = Yk$ × E
E = Z H × k$
relazioni di ortogonalità
Impedenza - Ammettenza
Z=
µ
ε
Y=
ε
µ
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Polarizzazione
E = E ′ + jE ′′
due componenti in quadratura nel tempo
E = E x x$ + E y y$ due componenti in quadratura nello spazio
j Φ −Φ
E ( r ) = Eox x$ + Eoy e ( oy ox ) y$ e jΦox e − jkr
∆ϕ = Φ oy − Φ ox
Polarizzazione Lineare
∆ϕ = nπ
y
E0y
α
n pari
x
tgα =
E0 y
E0 x
E0x
E0x
n dispari
α
-
x
tgα = −
E0 y
E0 x
E0y
y
Polarizzazione Circolare
π
∆ϕ = ± (2 n + 1)
2
Eox = Eoy
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Onde Piane Omogenee e Non Omogenee
Mezzo
k
k’ e k”
senza
perdite
senza
perdite
con perdite
con perdite
k ∈ℜ
k"= 0
k ∈ℜ
k ′ ⋅ k ′′ = 0
k ∈ℑ
k ∈ℑ
k ′ / / k ′′
k ′, k ′′
qualunque
Tipo di
Onda
omogenea
non
omogenea
omogenea
non
omogenea
Onde piane nei mezzi materiali
γ
ε = ε ′ − jε ′′ = εoεr − j
ω
tgδ =
ε"
γ
=
ε ′ ωεoεr
k 2 = ω 2 µε = ω 2 µ0 ε0 µr εr − j
γµr
ωε0
Ipotesi µr = 1 :
ko = ω 2 µoεo
k = k o εr − j
γ
ωεo
Mezzo Buon Conduttore
γ
⟩⟩ε
ωεo r
k=
1− j
δ
,
dove δ =
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2
ωµoγ
profondità di penetrazione
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Z = Rs (1 + j ) ,
dove Rs =
ωµo
2γ
resistenza superficiale
Mezzo Buon Dielettrico
γ
⟨⟨1
ωεoεr
ovvero
γ
⟨⟨ε
ωεo r
j γ
j
k = k o εr 1 −
= ko εr 1 − tgδ
2
2 ωεoεr
Z=
Zo
j γ
1 +
εr 2 ωεoεr
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Riflessione di Onde Piane e Mezzi Stratificati
x
ε1
µ1
ε2
µ2
y$
ϑi
k
z
i
Si considerano due mezzi con caratteristiche diverse ed un’onda piana incidente
k i = k x i x$ + k 2 z$
vettore d’onda
2
k i = k i x 2 + k i z 2 = ω 2 µ1ε1 = ki 2
modulo quadro
dove
k x i = k i sinϑi
k z i = k i cos ϑi
In generale l’onda piana è somma di due onde piane, onda TE e onda TM.
Onda Piana TM
x
y$
ki
z
H
E
• Il campo E è giacente nel piano [xz] :
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E = E o e − j k ⋅r = ( Eox x$ + Eoz z$ )e − j k ⋅r
i
i
• Il campo H è giacente lungo y :
$ − j k ⋅r
H = H o e − j k ⋅r = H o ye
i
i
• H ha solo componente trasversale ( H y )
• E ha una componente trasversale ( E x ) ed una componente longitudinale ( E z )
Onda Piana TE
x
y$
z
ki
E
H
• Il campo E é
diretto lungo y :
$ − j k ⋅r
E = E o e − j k ⋅r = Eo ye
i
i
• Il campo H è giacente nel piano [xz]
H = H o e − j k ⋅r = ( H ox x$ + H oz z$ )e − j k ⋅r
i
i
• H ha una componente trasversale ( H x ) ed una componente longitudinale ( H z )
• E ha solo componente trasversale ( E y )
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Linee di Trasmissione Equivalenti
ONDA TM
ONDA TE
j
exp( − jk x x ) y$
2π
j
e' =
exp( − jk x x ) x$
2π
H ' = H ' y = I + ( r ) h'
j
exp( − jkx x ) y$
2π
j
h' = −
exp( − jkx x ) x$
2π
E" = E" y = V + ( z )e"
h' =
e" =
E ' x = Vo+ exp( − jk z z )
− j
Vo+ =
F {E x′ }
2π
in pratica
V + ( z ) = Io+ exp( − jk z z )
j
I o+ =
F {H x′′}
2π
in pratica
E ' x = E xo e − j ( kx x + kz z )⋅r x$
H "x = H xoe− j ( k x x + k z z )⋅r x$
$
$
$
jVo+
Eox =
2π
H ox
jI o+
=
2π
V + , k , Z∞
I + , k , Z∞
k = kz
k = kz
Z∞ = ZTM =
$
kz
ωε
Z∞ = ZTE =
ωµ
kz
Le componenti trasversali stanno nella stessa relazione in cui si trovano tensione e
corrente sulle linee introdotte qui sopra, con opportuni k e Z∞
Campo Elettrico Incidente
[
]
i
i
i
i
(o) + E TM
(o) e − j k ⋅r
E i = E TE
+ E TM
= E TE
[
i
]
i
i
i
( o) y$ + E TM
( o) cos ϑi x$ − E TM
( o) sinϑi z$ e − j k ⋅r
= E TE
Campo Elettrico Riflesso
E r (r ) = E r (o)e − j k
r
⋅r
[
]
i
r
r
(o) + E TM
(o) e − j k ⋅r
= E TE
r
• k r = k rx x$ + k zr z$
Il campo riflesso è associato a tensione regressiva ; quindi :
k zr = − k zi
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La componente trasversale rimane invariata :
k xr = k xi
k r = k xi x$ − k zi z$
Componenti trasversali
Poiché sono esprimibili in funzione di tensioni e correnti, campo riflesso e incidente sono
legati dal coefficiente di riflessione :
r
(0) = ΓTE E TE (0) y$
E TM
i
i
(0) cos ϑi x$
E rxTM (0) = ΓTM ETM
Componente longitudinale TM
Deve essere soddisfatta la relazione di ortogonalità tra E e k :
Er ⋅ kr = 0
Svolgendo i calcoli otteniamo :
i
E r TM z ( 0) = tgϑi ΓTM ETM
(0) cos ϑi z$
L’espressione finale del campo riflesso è la seguente
[
]
i
i
i
E r (r ) = ΓTE ETE
( 0) y$ + ΓTM ( ETM
( 0) cos ϑi x$ + ETM
(0) sinϑi z$ ) e − j k ⋅r
r
Campo Elettrico Trasmesso
E t (r ) = E t (0)e − j k ⋅r
t
Ragionando in modo analogo si ottiene
[
]
i
i
( 0) y$ + TTM ETM
( 0)(cos ϑi x$ − cos ϑi tgϑt z$ ) e − j k ⋅r
E t (r ) = TTE ETE
t
dove
TTE
VB +
=
V A−
TTM
TE
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VB +
=
V A−
TM
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x
......
kt
z
ki
A
+
- +
B
Campo Magnetico H
Campo riflesso e trasmesso si trovano con relazioni duali. Dato :
i
i
H i = H TE
+ H TM
=
=
[H
=
[− H
H r (r ) =
i
TE
i
( 0) + H TM
(0)]e − j k ⋅r =
i
i
TE
[ Γ (H
I
TE
i
(0) cos ϑi x$ + H TEi (0) sinϑi z$ + H TM
(0) y$ ]e − j k ⋅r
i
TE
i
i
(0) cos ϑi x$ + HTEi (0)sinϑi z$ ) + I ΓTM HTM
(0) y$ ]e− j k ⋅r
i
dove
I
ΓTE = − ΓTE
coefficiente di riflessione di corrente
I
ΓTM = − ΓTM
coefficiente di riflessione di corrente
^
^
^
t
i
(0) y e − j k ⋅r
H t (r ) = I TTE H TE (0) − cos ϑi x + cos ϑi tgϑt z + TTM H TM
dove
I
TTE
IB+
=
I A−
I
TE
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TTM
IB+
=
I A−
TM
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Relazione di Ortogonalità tra E ed H Incidenti
Data un’onda TM abbiamo le seguenti relazioni :
H yi =
1
Ei
ZTM x
E zi = −
kx i
H
ωε y
Data un’onda TE abbiamo le seguenti relazioni :
H xi = −
1 i
E
ZTE y
H zi =
kx i
E
ωµ y
Relazione di Ortogonalità tra E ed H Riflessi
Data un’onda TM abbiamo le seguenti relazioni :
H yr = −
1
Er
ZTM x
E zr = −
kx r
H
ωε y
Data un’onda TE abbiamo le seguenti relazioni :
H xr =
1 r
E
ZTE y
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H zr =
kx r
E
ωµ y
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Linea Risonante
βl = nπ
R0 , β
RL
R0 , β
RL + jR0 tan βl = 0
Condizione di Risonanza su una Linea
s r
Z+Z =0
.....
.....
s
Z
r
Z
Cavità rettangolare
Risonanza del modo TEmnδ :
δπ
mπ
nπ
2
ω mn
εµ =
+ +
a
b
l
2
2
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b
l
a
Fattore di merito
3
2
l
1 +
a
σδZπ
Q=
3
2
4
l l l
1+
1
+
a 2b a
2
σ : conducibilità
δ : profondità di penetrazione
V
S
Volume V : Q =
ε ′′
1
=
ε ′ tan δ
In generale
Q = ω0
ω
Pd
dove
ω0 :
ω :
pulsazione di risonanza
energia elettromagnetica complessiva immagazzinata nella cavità
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Pd : potenza dissipata nella cavità
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Circolatore Ideale
0
S= 0
e jϕ31
e jϕ12
0
0
1
0
e jϕ23
0
2
3
Accoppiatore direzionale
0
cos ϕ
S=
jsinϕ
0
cos ϕ
0
0
jsinϕ
jsinϕ
0
0
cos ϕ
0
jsinϕ
cos ϕ
0
4
3
1
2
Matrice Scattering
• Mezzo senza perdite :
UNITARIETA’
SS t* = I
• Mezzo reciproco :
SIMMETRIA
S = St
• Adattamento della porta 1 :
S ii = 0
• Disaccoppiamento delle porte i-j
S ij = S ji = 0
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