Amplificatori operazionali

Semplici proprietà degli amplicatori operazionali
Matteo Poggi
26 agosto 2008
In questi berevi appunti vedremo delle semplici proprietà di amplicatori operazionali; i modi
di procedere con i calcoli sono svariati, qui verrà seguita una strada già battuta principalmente da
altre dispense; in particolare abbiamo fatto riferimento a materiale fornitoci dai Pro. A. Perego,
R. d'Alessandro, nonché al testo Esperimenti di elettricità e magnetismo del prof. G. Poggi.
Faremo delle approssimazioni che ci semplicheranno notevolmente i calcoli, si tratta sempre però
di approssimazioni, per cui si badi a non rimaere scandalizzati di fronte a scritture come A ' A+1,
dato che, per i nostri amplicatori supporremo A ≈ 105 . Questo vuol dire che in altri testi magari
si troveranno delle espressioni leggermente diverse rappresentanti lo stesso risultato. Un'ulteriore
osservazione circa tali approssimazioni: cercheremo comunque di approssimare tutti i risultati al
primo ordine e non all'ordine zero. Per cominciare ricaveremo alcune grandezze importanti per il
nostro operazionale.
1 Reazione negativa e massa virtuale
Questo schema ha in se sia la congurazione invertente che quella non invertente. Supporremo
che l'operazionale abbia un amplicazione puramente dierenziale:
(1.1)
Vo = A (V+ − V− ) .
Ci pare più conveniente sutudiare questo caso generale, specicando poi delle restrizioni a casi
particolari. Iniziamo calcolando Vout : per far ciò impostiamo le seguenti equazioni:
i
(1.2a)
(1.2b)
= ir + if
ir
=
if
=
V− −V+
Ri
V− −Vo
R2 +Ro
(1.2c)
R2
if
i
V1
R1
−
ir
R0
Vout
Vo
Ri
R3
V2
+
Figura 1.1: Schema generale di un amplicatore
1
da queste possiamo scrivere sostituendo (1.2b) e (1.2c) in (1.2a):
V− − V+
V− − Vo (1.1) V− − V+
V− − A (V+ − V− ) AÀ1
+
=
+
= (V− − V+ )
Ri
R2 + Ro
Ri
R2
ARi + R2 ARi ÀR2
A
= (V− − V+ )
=
(V− − V+ )
.
R2 Ri
R2
i=
da questa evinciamo che
V + − V− ' −
ed inoltre che
ir =
(
A
1
+
R2
Ri
iR2
≈0
A
iR2
V− − V+
'
≈0
Ri
ARi
⇒ i = if
)
=
(1.3)
(1.4)
(1.5)
a meno di non scegliere valore molto grandi per la resistenza di reazione. Questo concetto è la
famigerata massa virtuale : essa implica che il potenziale dei due terminali sia, al primo ordine,
lo stesso, ed al contempo non circoli corrente tra essi. Potremo pensare tale massa virtuale come
un'esca per la tensione, come se non fosse virtuale, ma che, a dierenza di questa, non permette il
passaggio di corrente. Adesso occorre fare attenzione per l'uso corretto di queste approssimazioni,
come abbiamo detto, eravamo intenzionati ad approssimare al primo ordine, e così abbiamo fatto
al secondo membro dell'uguaglianza (1.4). Il terzo membro risulta invece ad ordine zero. Risulta
catastroco utilizzare ingenuamente risultati di ordine zero assieme a risultati esatti o di ordini
successivi; ad esempio se volessimo calcolare Vo = A (V+ − V− ) ≈ 0 · A = 0 il( che
) è palesemente
assurdo. Questo perchè dobbiamo tenere in mente che stiamo lavorando con o A1 . Per procedere
usiamo la (1.2c) per trovare Vo :
Vo = V− − if (R2 + R0 )
(1.6)
e dunque possiamo agevolmente calcolare, usando il partitore di tensione, Vout :
Vout = V− − if (R2 + R0 )
R2
= V− − if R2 .
R2 + R0
(1.7)
Adesso utilizzando il concetto di massa virtuale riscriviamo l'espressione precedente in maniera a
noi più conveniente:
Vout
(1.4),(1.5)
=
V− −
V1 − V +
V1 − V +
(1.4)
R2 = V+ −
R2 .
R1
R1
(1.8)
per concludere, trascurando la caduta di potenziale sulla resistenza R3 (poiché ir ¿ i dalla (1.5)),
e ponendo quindi V+ ' V2 si giunge all'espressione nale:
Vout = V2 GN I − V1 GI
(1.9)
dove si è posto
GN I
GI
:= 1 +
:=
R2
1
=
R1
β
R2
.
R1
(1.10a)
(1.10b)
In tal modo è facile vericare che ponendo V1 = 0 o V2 = 0 si hanno rispettivamente il caso
dell'amplicatore in congurazione non invertente ed in congurazione invertente. Si noti altresì
che nelle nostre approssimazioni la resistenza R3 gioca un ruolo (per ora) inessenziale.
2 Impedenze d'ingresso
Adesso calcoleremo le impedenze d'ingresso viste dai due generatori, esse sono denite:
R=
2
V
.
i
(2.1)
2.1
Impedenza d'ingresso sul ramo invertente
Questo calcolo risulta molto semplice se si applica il concetto di massa virtuale, difatti troviamo
subito:
V 1 − V2
.
(2.2)
i=
R1
Dunque si avrà
V1 R1
V1 − V 2
R− =
(2.3)
che nel caso di congurazione invertente V2 = 0 dà:
(2.4)
R− = R1 .
Sarebbe curioso osservare cosa succederebbe nell'espressione (2.3) se V2 > V1 : una resistenza
negativa. Questo è spiegabile con denizione: in eetti le grandezze di cui si fa il rapporto sono
a priori indipendenti e quindi ci potrebbero essere delle situazioni in cui la corrente viene erogata
contro il potenziale che il generatore eroga.
2.2
Impedenza d'ingresso sul ramo non invertente
Seguendo la traccia generale, dovremo calcolare
R+ = −
V2
ir
(2.5)
come mostra le gura 1. Adesso ricordando la (1.2b), per il calcolo di ir e ricordando anche la
(1.1) otteniamo:
(1.2b) V+ − V− (1.1) Vo
−ir =
=
(2.6)
Ri
ARi
Adesso sfruttiamo la (1.6) prima considerando però
V−
' V+
if
'i
abbiamo dunque
Vo = V2 −
(2.7a)
' V2
V1 − V 2
;
'
R1
(2.7b)
V1 − V2
(R2 + R0 )
R1
(2.8)
(si noti come il procedimento assomigli a quello usato per calcolare Vout ). Inserendo questo risultato
nella (2.6) otteniamo:
−ir =
V2 −
V1 −V2
R1
(R2 + R0 )
ARi
(2.9)
e per concludere:
R+ =
V2 −
V2 ARi
V1 −V2
R1 (R2
+ R0 )
.
(2.10)
Questa espressione può essere semplicata tenendo conto che sicamente R0 ' 0 e calcolando
l'espressione in una situazione completamente non invertente, ponendo V1 = 0:
R+ ' ARi β.
(2.11)
Nelle applicazioni, visto il già elevato valore di Ri ≈ MΩ ed il notevole valore di A, si può
considerare tale resistenza a tutti gli eetti innita. Questo fatto avrà notevelo importanza nelle
applicazioni che useranno questo tipo di congurazione.
3
3 Resistenza d'uscita
Per arontare questa questione utilizzeremo il teorema di Thévenin, ricordandone bene l'enunciato,
secondo il quale i generatori da cortocircuitare non sono tutti bensì solo quelli indipendenti, difatti,
come mostra la gura 3, il generatore Vo non è stato cortocircuitato. Sempre per la usuale
denizione avremo:
VL
Rout =
.
(3.1)
iL
Sempre dallo schema capiamo che
iL
(3.2a)
= i0 + if
VL − V o
=
R0
VL
=
,
R2 + R//
i0
if
(3.2b)
(3.2c)
dove per per comodità deniamo R// := R1 + Ri //R3 . Calcoliamoci adesso l'eetto di VL sui
terminali V+ e V− . Tutto ciò può essere fatto comodamente usanto la formula del partitore e
consideranto le resistenze in serie e quelle in parallelo.
V−
V+
R//
R2 + R//
R//
R3
= VL
.
R2 + R// Ri + R3
(3.3a)
= VL
Applichiamo ora la (1.1):
Vo = −
(3.3b)
VL AR//
Ri
.
R2 + R// R3 + Ri
(3.4)
Sostituendo quindi in (3.2b) si avrà:
VL
i0 =
R0
(
AR// Ri
)
1+ (
R2 + R// (R3 + Ri )
)
(3.5)
mentre per quanto riguarda if abbiamo:
if =
VL
.
R//
R2
if
R1
(3.6)
−
Ri
i0
Vo
R0
iL
VL
R3
+
Figura 3.1: Schema per il calcolo della resistenza d'uscita
4
R2
R1
N
−
V1
Vout
R3
Voff
+
P
V2
Figura 4.1: Tensione di oset applicata all'ingresso invertente
Quindi sommando questi due contributi:
[
iL = V L
1
R0
(
AR// Ri
)
1+ (
R2 + R// (R3 + Ri )
)
1
+
R//
]
(3.7)
onde avremo nalmente:
1
(
Rout =
1
R0
1+
AR// Ri
(R2 +R// )(R3 +Ri )
)
.
+
(3.8)
1
R//
Adesso, visto l'elevato valore di Ri l'espressione precedente si può molto semplicare poiché, come
si verica subito dallo schema si potranno trascurare le cadute di tensione si su Ri che su R3
(R// ' R1 ), così facendo l'espressione (3.8) diventa facilmente:
Rout =
R0
.
1 + Aβ
(3.9)
A tutti gli eetti questa resistenza si può considerare trascurabile, visto il già basso valore di R0 .
4 Tensione di oset
Una caratteristica che contraddistingue gli amplicatori ideali da quelli reali è la presenza di un
livello di tensione continua, sempre presente tra il terminale invertente e quello non invertente.
Questo eetto viene schematizzato con un generatore in continua su di un ingresso Voff ≈ mV.
Nella gura 4 abbiamo messo tale generatore all'ingresso non invertente; si potrà altresì spostarlo
all'ingresso invertente (si ricorda che questi due ingressi sono collegati internamente tramite una
resistenza Ri , non presente in questo disegno), purchè si rovesci la polarità e quindi le due situazioni
siano topologicamente equivalenti. Per calcolare Vout del nostro amplicatore tenendo conto di Voff
basterà appellarci alla (1.9) tenendo conto della somma algebrica delle tensioni sull'ingresso non
invertente:
Vout = (V2 − Voff ) GN I − V1 GI .
(4.1)
In parole povere, qualsiasi sia la congurazione che stiamo usando la corrente di oset si manifesta
sempre come se fosse un generatore in continua sul ramo non invertente.
5
5 Correnti di bias
Un'altra caratteristica che perturba il modello di amplicatore operazionale ideale sono le delle
correnti presenti all'ingresso di entrambe i terminali, schematizzate in gura 5 con dei generatori
di corrente. Tipicamente (a temperatura ambiente) abbiamo ibias ≈ 10pA anche se tale valore è
molto dipendente dalla temperatura. Vediamo le ripercussioni che tali correnti hanno sull'output
del nostro circuito. Per eseguire tale calcolo basterà sfruttare, mutatis mutandis, la (1.8), tenendo
conto, che, per come abbiamo impostato (e risolto) il problema della massa virtuale, e per i nomi
che abbiamo attribuito ai varî terminali dovremo avere:
Vout = VN −
VN − VP
R2 .
R1
(5.1)
Adesso, tenendo conto dell'eetto dei generatori di corrente, in parallelo alle rispettive resistenze
nel circuito, potremo scrivere:
VN
= V1 − i−
bias R1
VP
= V2 − i+
bias R3 .
(5.2a)
(5.2b)
Inserendo queste espressioni nella (5.1) troviamo:
(
)
−
Vout = V2 − i+
bias R3 GN I − V1 GI + ibias R2 .
(5.3)
Questo mette in evidenza come la resistenza R3 che no ad ora non aveva inuito troppo sui nostri
risultati, in questo caso comporti una modica della tensione d'uscita tenendo conto delle correnti
di bias. Questo ci insegna anche come fare qualora volessimo trascurarle, in particolare, mettendo
a terra il terminale positivo sarà possibile trascurare quella sul ramo non invertente. In tal caso
possiamo riscrivere la (5.3):
Vout = V2 GN I − V1 GI + i−
(5.4)
bias R2 .
R2
V1
R1
−
N
i−
bias
Vout
R3
P
+
V2
i+
bias
Figura 5.1: Correnti di bias
6