Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico 1 Matrici e

Raccolta di esercizi di Calcolo Numerico
Prof. Michela Redivo Zaglia
Nota Bene: Gli esercizi di questa raccolta sono solo degli esempi. Non sono stati svolti né verificati e
servono unicamente da spunto per utilizzare i metodi di risoluzione proposti durante il corso
1
Matrici e sistemi lineari
Esercizio 1 Dimostrare che la seguente matrice non è definita positiva applicando ad essa il metodo di
Cholesky.


36 30 18


A =  30 41 23 
18 23 12
Esercizio 2 Data la matrice




A=

20 −7 3 −2
−7
5 1
0 


3
1 3
1 
−2
0 1
2
1. Si determinino le norme infinito ed 1 della matrice.
Esercizio 3 Tridiagonalizzare, se possibile, la matrice





4 −10
4
1
2
1 −2
5
5
3 −1
4
1
2 −1 −2





Esercizio 4 Dato il sistema lineare
x1 −3x2 +x3 −x4
x1 −x2 +2x3
2x1 −x2 +x3
2x2
+2x4
=
1
= −1
=
2
=
1
elencare i metodi che si potrebbero adoperare per la soluzione e discuterli indicando i vantaggi e gli
svantaggi di ciascuno, poi scegliere quello ritenuto più conveniente e risolverlo.
Esercizio 5 Verificare se il metodo di Jacobi e quello di Gauss-Seidel sono convergenti considerando il
seguente sistema Ax = b.
33.7x1 −1.2x2 −0.8x3 +3.1x4
−1.2x1 +57x2 +6.4x3
−5x4
−0.8x1 +6.4x2 +20.5x3 +0.6x4
3.1x1
−5x2 +0.6x3 +78.1x4
=
61.3
= −54.1
= −98.6
=
54
Esercizio 6 Dato il sistema lineare
x1 −0.01x2 −0.1x3 −x4
x1
+x2
−3x3 +2x4
−0.01x2
+x3 −x4
−x1
+x3 +x4
lo si risolva mediante il metodo di Gauss–Seidel:
1
= −1
=
5
=
3
=
2
1. Costruire la matrice del metodo di Gauss–Seidel BGS a partire dalla matrice A del sistema .
2. Scrivere l’equazione caratteristica di BGS .
3. Studiarne gli autovalori determinando quanti sono reali e quanti complessi, determinare un intervallo di separazione per le radici reali uguale a 10−1 e verificare se le radici reali e la parte reale
delle complesse sono minori di 1.
Esercizio 7 Come l’esescizio 6 ma per il sistema lineare
x1 −0.01x2 −0.1x3 −x4
x1
+x2
−3x3 +2x4
−0.01x2
+x3 −x4
−x1
+x3 +x4
= −1.2
=
4
=
2
=
1
Esercizio 8 Si vuole applicare ad un sistema avente la seguente matrice




A=

20 −7 3 −2
−7
5 1
4 


3
1 3
1 
−2
4 1
2
il metodo di Jacobi.
1. Si dimostri se vi è convergenza del metodo applicato a questa matrice.
Esercizio 9 Data la matrice




A=


2 −1
0
0
0
−1
2 −1
0
0
0 −1
2 −1
0
0
0 −1
2 −1
0
0
0 −1
1







ottenere la matrice associata di Jacobi e quella di Gauss-Seidel.
1. Verificare se vi è o meno convergenza per Jacobi e Gauss–Seidel.
Esercizio 10 Dire se il seguente sistema lineare è risolubile ed in caso affermativo lo si risolva con il
metodo di Jacobi e di Gauss–Seidel.
4x1
3x2 −x3
x1 −2x2 +3x3
x2
−2x4 = 10.1
= 5.5
=
1
+x4 = −5
Esercizio 11 Dire il metodo di Jacobi e quello di Gauss–Seidel sono convergenti se applicati al sistema
lineare
x1 −2x2 +3x3 −x4 =
1
−x2 +x3 +2x4 = −1
2x1 −x2 +x3
=
2
2x2
+x4 =
4
Esercizio 12 Come l’esercizio 11 ma applicato al sistema
x1 −2x2 +6x3 −x4
−x2 +x3 +2x4
5x1 −x2 +x3
2x2
+x4
2
=
1
= −1
= 2/3
=
4
Esercizio 13 Come l’esercizio 11 ma applicato al sistema
x1 −2x2 +x3
−x4
2x1 −x2 +3x3
+x4
3x1 +x2 −x3 +4x4
x1 −x2 −x3 +40x4
=
1
= −2
=
2
=
1
Esercizio 14 Come l’esercizio 11 ma applicato al sistema
x1 −3x2 +2x3 −x4
−x2 +x3 +3x4
3x1 −x2 +2x3
4x2 +x3 +x4
=
=
=
=
1
2
3
4
Esercizio 15 Calcolare la soluzione del seguente sistema lineare
x1 +x2 −2x3 = 2
−x1
+x3 = 1
2x2 −x3 = 2
mediante un metodo ritenuto adatto.
Esercizio 16 Dato il sistema lineare Ax = b dove


1 −2 3 −1
0 −1 4
2 


2 −1 1
1 
0
2 1
3



A=
dire se i metodi iterativi di Jacobi e di Gauss–Seidel sono convergenti. Dire inoltre se è applicabile il
metodo SOR ed eventualmente sotto quali condizioni.
Esercizio 17 Data la matrice




A=
2
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
3 −1
1
3





se ne trovi l’inversa ed il determinante utilizzando la fattorizzazione di Gauss.
Esercizio 18 Data la matrice




A=
1 −1 0
1
1
2 0
1
0
1 3 −1
0
0 1
3





se ne trovi l’inversa ed il determinante utilizzando la fattorizzazione di Gauss.
Esercizio 19 Utilizzando la fattorizzazione di Gauss si trovi l’inversa della matrice ed il determinante.


9
2 2


A =  2 −7 1 
3 −2 11
Esercizio 20 Come l’esercizio 19, ma per la matrice


3 2 1


A= 4 8 1 
2 1 6
3
Esercizio 21 Dato il sistema lineare Ax = b dove


12
4
4
4
7
3 −2 −4
3 −6
9 −6
7
4
4
2



A=




dire se i medodi iterativi di Jacobi e di Gauss–Seidel sono convergenti.
Esercizio 22 Come l’esercizio 21, ma con


1
4
0
5
9 −5
0
1
7
7 −3
0
8 −9
0 −7



A=




Esercizio 23 Come l’esercizio 21, ma con

1
0
0
2
−3
0
−2 −2



A=
1
0
3
0

2
2
3
2




Esercizio 24 Come l’esercizio 21, ma con




A=
1
1
1
0
1
1
1
1
3
0
1
1
0
1
0
1





Esercizio 25 Come l’esercizio 21, ma con




A=
1
0
2
1
0
1
1
0
2
1
1
0
1
1
1 −1





Esercizio 26 Come l’esercizio 21, ma con




A=
2
3
0
1
3
2
1
0
1
0
2
1
1
1
1
2





Esercizio 27 Risolvere il sistema lineare Ax = b dove



1 2
6


A =  2 1 −1 
−3 0
8

1


b= 1 
1
e
nel senso dei minimi quadrati.
Esercizio 28 Verificare per quali valori di k convergono i metodi di Jacobi e di Gauss–Seidel applicati
al sistema lineare Ax = b dove




A=
1 −8 k
3
0 −1 4
0
0
0 1 −4
−2
0 0
2
4






e



b=
1
0
0
1





Esercizio 29 Dire se il sistema lineare Ax = b è risolubile mediante il metodo di Jacobi quando


5 2 1


A= 3 4 1 
1 2 3
Esercizio 30 Scrivere l’equazione caratteristica della matrice


4 −10
4


1 −2 
A= 2
5
3 −1
e discutere le radici di tale equazione.
2
Integrali
Esercizio 31 Calcolare l’integrale
1
Z
0
dx
1+x
con un errore dell’ordine di 10−5 , indicando tutti i passi del calcolo.
Esercizio 32 Come l’esercizo 31, ma per l’integrale
1
2
Z
√
0
dx
1 + x2
Esercizio 33 Si calcoli il seguente integrale
Z
1
e−3x x3 + 2x2 + x + 3 dx
−1
mediante una integrazione composta in modo che l’errore commesso abbia l’ordine di grandezza 10−3 . Si
tenga conto che l’errore si può calcolare esattamente essendo l’integrale calcolabile analiticamente.
Esercizio 34 Calcolare, mediante l’integrazione dei trapezi composti,
Z
2
e3(x+2) x2 + 1 dx
−2
confrontando i risultati ottenuti con m = 2 ed m = 4.
Esercizio 35 Usando la formula dei Trapezi composta per m = 1, 2, 4, calcolare i valori approssimati
dell’integrale
Z 4
dx
2
−4 1 + x
e paragonare i risultati con il valore esatto.
Calcolare anche la migliore approssimazione di Romberg.
Esercizio 36 Determinare
Z
2
ln x dx
1
mediante la formula di quadratura di Cavalieri–Simpson. Scrivere un algoritmo che, suddividendo opportunamente l’intervallo, calcoli tale integrale con un errore minore di 10−3 .
5
Esercizio 37 Data la funzione tabulata nel modo seguente
x
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f (x)
1.0
0.999998
0.999975
0.999873
0.999600
0.999023
1. calcolare l’integrale mediante la formula dei Trapezi composta e quella di Cavalieri–Simpson nell’intervallo;
2. dopo aver costruito la tavola delle differenze finite in avanti, calcolare il valore della funzione nel
punto 0.45.
Esercizio 38 Data la funzione tabulata nel modo seguente
x
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
f (x)
0.062446
0.083082
0.107806
0.136972
0.170928
0.210011
1. calcolare l’integrale mediante la formula dei Trapezi composta e quella di Cavalieri–Simpson nell’intervallo;
2. dopo aver costruito la tavola delle differenze divise, calcolare il valore della funzione nel punto 1.45.
Esercizio 39 Approssimare usando la formula dei trapezi composta
1
Z
sin x
dx
x
I=
0
suddividendo l’intervallo in m = 2, 4, . . . parti ed arrestandosi quando l’errore assoluto rispetto alla
soluzione esatta è minore di 10−2 .
Si calcoli anche la migliore approssimazione di Romberg.
Esercizio 40 Calcolare
Z
1
−1
π
π(x − 1)
sin
dx
4
4
Applicare la formula dei trapezi composta in modo che l’errore sia minore di 10−4 . Stabilire pertanto
quanti punti si debbano prendere per il calcolo.
Esercizio 41 Calcolare con la regola di Cavalieri-Simpson
Z
1
I=
e−x x2 + sin x
dx
−1
con un errore minore di 10−3 .
Esercizio 42 Mostrare che la formula di quadratura di Simpson è esatta se è applicata all’integrale
Z
2π
sin x dx
0
6
Esercizio 43 Approssimare
1
Z
2
ex dx
I=
0
con massimo errore assoluto minore di
10−3
usando la formula dei trapezi e quella di Cavalieri–Simpson.
Esercizio 44 Come l’esercizio 43 ma per l’integrale
2√
Z
I=
x cos x dx
0
Esercizio 45 Come l’esercizio 43 ma per l’integrale
1
Z
sin x
dx
x
I=
0
Esercizio 46 Come l’esercizio 43 ma per l’integrale
Z
I=
π
2
sin x
dx
x
− π2
Esercizio 47 Calcolare numericamente l’integrale
6√
Z
x − 2 dx
2
con la formula di Cavalieri–Simpson, valutando l’errore commesso.
Esercizio 48 Come l’esercizio 47 ma per l’integrale
Z
1
4
√
1+ y
dy
y2
Esercizio 49 Facendo uso dell’uguaglianza
π
=
4
1
Z
0
dx
1 + x2
calcolare un valore approssimato di π/4 con un errore ≤ 10−3 .
Esercizio 50 Facendo uso dell’uguaglianza
Z
log 2 =
0
1
dx
1+x
calcolare un valore approssimato di log 2 con un errore ≤ 10−3 .
3
Equazioni differenziali
Esercizio 51 Dato il seguente problema di Cauchy
y 0 = ex+y
y(0) = 1
si valuti un’approssimazione di y(0.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2, 4 passi), Heun ed
Eulero Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1 passo.
7
Esercizio 52 Dato il seguente problema di Cauchy
y 0 = −20(y − 1)2
y(0) = 2
0≤x≤1
si valuti un’approssimazione di y(0.2) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2, 4 passi), Heun ed
Eulero Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1, 2 passi.
Esercizio 53 Dato il seguente problema di Cauchy
2+x
− y2
x
y(0.5) = 3
y0 =
si valuti un’approssimazione di y(1.0) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2, 4 passi), Heun ed
Eulero Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1, 2 passi.
Esercizio 54 Dato il seguente problema di Cauchy
y 0 = y + ex
y(0) = 1
si valuti un’approssimazione di y(0.1) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2 passi), Heun ed Eulero
Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1, 2 passi.
Esercizio 55 Come l’esercizio 54 ma per il problema
y 0 = y + x2
1
y(0) =
4
Esercizio 56 Dato il seguente problema di Cauchy
2x − 1
y+1
x2
y(1) = 2
y0 =
si valuti un’approssimazione di y(2.0) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2, 4 passi), Heun ed
Eulero Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1, 2 passi.
Esercizio 57 Applicare il metodo di Runge–Kutta classico al problema
2/3
y 0 = 3 y 2 y(0) = 1
e confrontare le soluzioni ottenute con h = 0.1 ed h = 0.05.
Esercizio 58 Dato il seguente problema di Cauchy
y 0 = yex + 2x
y(0) = 1
si valuti un’approssimazione di y(0.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2, 4 passi), Heun ed
Eulero Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1, 2 passi.
Esercizio 59 Come l’esercizio 58 ma per il problema differenziale
y 0 = x + sin y
π
y(0) =
2
8
Esercizio 60 Come l’esercizio 58 ma per il problema differenziale
y 0 = exy
y(0) = 1
Esercizio 61 Dato il seguente problema di Cauchy
y 0 = 2y + x3
1
y(0) =
4
si valuti un’approssimazione di y(0.2) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2, 4 passi), Heun ed
Eulero Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1, 2 passi.
Esercizio 62 Dato il seguente problema di Cauchy
y 0 = −xy 1/3 + 1
y(1) = 0
si valuti un’approssimazione di y(1.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2, 4 passi), Heun ed
Eulero Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1 passo.
Esercizio 63 Come l’esercizio 62 ma per il problema
y 0 = −xy 1/3 + 1
y(1) = 2
Esercizio 64 Dato il problema ai valori iniziali
y0 = y2 + x
y(0) = 1
si valuti un’approssimazione di y(0.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2, 4 passi), Heun ed
Eulero Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1, 2 passi.
Esercizio 65 Come l’esercizio 64 ma per il problema
y 0 = (y + 1)2
y(0) = 0
Esercizio 66 Dato il problema ai valori iniziali
y 0 = y + x2
1
y(0) =
4
si valuti un’approssimazione di y(0.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2, 4 passi), Heun ed
Eulero Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1, 2 passi.
Esercizio 67 È dato il problema di Cauchy
y0 = 1 − y2
y(0) = 0
Calcolare un valore approssimato di y(0.4) con il metodo di Runge–Kutta con m = 1 passi. Si verifica
facilmente che nell’intervallo (0, 0.4) la soluzione del problema è
y(x) =
e2x − 1
e2x + 1
Si calcoli l’errore relativo.
9
Esercizio 68 Dato il problema ai valori iniziali
y2
2
+ 3
x
x
y(1) = 0
y0 =
si valuti un’approssimazione di y(1.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2, 4 passi), Heun ed
Eulero Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1 passo.
Esercizio 69 Come l’esercizio 68 ma per il problema ai valori iniziali
y0 =
2
− y 2 y(1) = 1
x
Esercizio 70 Dato il problema di Cauchy
y 0 = cos y
y(0) = π
si valuti un’approssimazione di y(0.4) con il Metodo di Eulero Esplicito (m = 1, 2, 4 passi), Heun ed
Eulero Modificato (m = 1, 2 passi), Runge Kutta classico (rango 4) con m = 1 passo.
Esercizio 71 Come l’esercizio 70 ma per il problema
y 0 = y 2 + x2
y(0) = 0
4
Equazioni non lineari
Esercizio 72 Si determini il numero di radici reali ed i relativi intervalli di separazione dell’equazione
x3 − x2 − x − 1 = 0
Come scrivere l’equazione in modo da applicarvi il metodo del punto fisso e facendo sı̀ che il metodo sia
convergente?
Esercizio 73 Data la seguente equazione, determinare un intervallo che contiene tutte le sue radici reali.
x4 − 3x3 − 2x2 + 3x − 5 = 0
Approssimare con un errore ε < 10−4 le radici reali separate rispettivamente dagli intervalli (3, 4) e
(−2, −1).
Esercizio 74 Data la seguente equazione, determinare un intervallo che contiene tutte le sue radici reali.
x4 + 2x3 + 5x2 + 9x − 2 = 0
Approssimare con un errore ε < 10−3 la radice contenuta nell’intervallo (−3, −1).
Esercizio 75 Data l’equazione
3x5 − 25x3 + 60x − λ = 0
1. determinare gli eventuali valori di λ per i quali essa ammette almeno una radice di molteplicità
maggiore di uno;
2. dire se esistono valori di λ per i quali l’equazione data ha radici tutte reali;
10
3. nel caso particolare λ = 16 calcolare un valore approssimato delle radici reali con errore massimo
assoluto ε ≤ 10−2 .
Esercizio 76 Studiare l’equazione
x4 − x3 − λx2 + (λ + 1)x − 1 = 0
al variare del parametro λ.
Posto λ = 3, determinare un valore approssimato delle eventuali radici reali con massimo errore
assoluto ε ≤ 10−3 .
Esercizio 77 Studiare la seguente equazione
4x3 − 9x2 + 5x + 8 = 0
determinando l’intervallo che contiene le radici reali . Determinarne le radici.
Esercizio 78 Studiare la seguente equazione
3x3 − 6x2 + 2x + 9 = 0
Determinarne le radici.
Esercizio 79 Controllare che il procedimento iterativo
1
con g(x) = ex/2
2
xn+1 = g (xn )
permette di trovare numericamente le soluzioni dell’equazione
f (x) = ex − 4x2 = 0
In caso positivo, dire quanti sono gli zeri e trovare gli intervalli che li contengono.
Esercizio 80 Studiare, al variare di x0 in R, la convergenza dei metodi iterativi
xi+1 =
p
log xi + 4xi − 3
2
xi+1 = xi −
xi − exi −4xi +3
2
1 − 2 (xi − 2) exi −4xi +3
per la determinazione delle radici dell’equazione
log x = x2 − 4x + 3
Esercizio 81 Studiare, al variare di x0 in R, la convergenza dei metodi iterativi
xi+1 =
p
log xi − 2xi + 3
2
xi+1 = xi −
xi − exi +2xi +3
2
1 − 2 (xi − 1) exi +2xi +3
per la determinazione delle radici dell’equazione
log x = x2 + 2x − 3
11
Esercizio 82 Studiare, al variare di x0 in R, la convergenza del metodo iterativo
xi =
q
4 + log xi−1
e determinare le eventuali radici reali dell’equazione
log x = x2 − 4
Dire inoltre quale altra formula si può usare per ottenere una migliore convergenza.
Esercizio 83 Studiare, al variare di x0 in R, la convergenza del metodo iterativo
√
xi = 4 + exi−1
e determinare le eventuali radici reali dell’equazione
ex = x2 − 4
Dire inoltre quale altra formula si può usare per ottenere una migliore convergenza.
Esercizio 84 Studiare al variare di x0 in R, la convergenza di tutti i metodi iterativi che si possono
costruire per risolvere
x3 − 4x2 + log x = 0
Esercizio 85 Studiare la convergenza, al variare di x0 in R dei seguenti algoritmi iterativi
xn+1 = S − x3n + xn + 1
S+1
xn+1 =
x2n
1
S+1
xn+1 =
xn +
2
x2n
Esercizio 86 Separare le eventuali radici reali dell’equazione
f (x) = ex − x2 − 3.1 = 0
ed approssimarle con un errore di 10−3 . Confrontare l’ordine di convergenza di almeno due metodi scelti.
Esercizio 87 Data l’equazione
x4 + 9x3 − 12x − 15 = 0
determinare le sue radici con un errore ε = 10−3 .
Esercizio 88 Determinare le eventuali radici dell’equazione
cos x − sin x − x = 0
nell’intervallo [0, π] e studiare la convergenza del metodo iterativo applicato.
Esercizio 89 Come l’esercizio 88 ma per l’equazione
x = log x + 2
per x ≥ 1.
Esercizio 90 Approssimare con un errore assoluto ≤ 0.02 la radice di
cos x = log x
12
Esercizio 91 Come l’esercizio 90 ma per l’equazione
e−2x−1 = 1 − x
Esercizio 92 Risolvere con il metodo del punto fisso in varie forme l’equazione
x + 3 log10 x − x2 = 0
e dire in quali casi tale metodo è convergente. Se è possibile, determinare l’approssimazione della radice
a meno di 10−3 .
Esercizio 93 Dato il polinomio
2x3 + 2x2 − 4x − 5
determinare l’intervallo che contiene la radice reale ed una sua approssimazione.
5
Approssimazione
Esercizio 94 Data la funzione tabulata nel modo seguente
x
0
1
2
3
4
f (x) 1.0 0.5 0.416600 0.37500 0.348600
estrapolare il suo valore in x = 5. Inoltre interpolare nel modo migliore possibile in x = 2.5 (lavorare con
almeno 8-9 cifre).
Si calcolino anche i polinomi di grado n = 1 ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico.
Esercizio 95 Data la funzione tabulata nel modo seguente
x
0
1
2
3
4
f (x) 0.0 0.25 0.316406 0.343609 0.356074
estrapolare il suo valore in x = 5. Inoltre interpolare nel modo migliore possibile in x = 2.7 (lavorare con
almeno 8-9 cifre).
Si calcolino anche i polinomi di grado n = 1 ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico.
Esercizio 96 Costruire la tabella delle differenze divise associata ai dati seguenti della funzione f (x)
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
f (x) 1.6685 1.8107 1.9709 2.1509 2.3524
e la corrispondente formula di interpolazione di Newton.
Si calcolino anche i polinomi di grado n = 1 ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico.
Si determini una approssimazione dell’integrale
Z
1.5
f (x) dx
1.1
e si valuti l’errore commesso.
Esercizio 97 Come l’esercizio 96 ma considerando i dati
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
f (x) 3.0042 3.3201 3.6693 4.0552 4.4817
13
Esercizio 98 Data la funzione f (x) tabulata nel modo seguente
x
0 1
2
3
4
5
f (x) 1 1
3
5
2
5
5
17
3
13
costruire il polinomio di interpolazione mediante la formula di Newton e valutarne il resto.
Si calcolino anche i polinomi di grado n = 1 ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico.
Esercizio 99 Dati i seguenti valori di f (x)
f (0.5) = 0.34375 f (0.6) = 0.87616 f (0.7) = 1.47697
f (0.8) = 2.17408 f (0.9) = 3.00139 f (1.0) = 4.00000
f (1.1) = 5.21941 f (1.2) = 6.71872
si calcoli per interpolazione
f (0.53),
f (1.18)
e f (0.82)
Valutare l’errore commesso.
Si calcolino anche i polinomi di grado n = 1 ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico.
Esercizio 100 Approssimare la funzione
y = sin
π
x
2
su (−1, 1) con un errore minore di 10−4 facendo uso dei polinomi di Legendre.
Esercizio 101 Trovare, mediante la formula di Newton il polinomio di 3o grado passante per il punto
(0.10) con tangente uguale a 1 e per i punti (1.15) e (2.5).
Esercizio 102 Determinare il polinomio di grado non superiore a 4 che nei cinque punti −1, 0, 1, 2, 3
assume rispettivamente i valori −4, 2, 6, −3, 1, con il polinomio di interpolazione di Newton oppure di
Lagrange.
Si calcolino anche i polinomi di grado n = 1 ed n = 2 ai minimi quadrati ed il relativo errore quadratico.
Esercizio 103 Come l’esercizio 102 ma dati i cinque punti −2, −1, 0, 1, 2 che assumono rispettivamente
i valori −3, 0, 1, 5, −2.
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