Suggerimenti sulla scomposizione d`un polinomio

Suggerimenti sulla scomposizione di un polinomio in Q: 1)
Per poter scomporre un polinomio (insieme dei numeri razionali) tramite raccoglimento totale, occorre che i monomi che lo compongono abbiano tutti un fattor comune da mettere in evidenza. Tale fattor comune è il M.C.D. dei monomi. Per riconoscerlo occorre controllare, per la parte letterale, che i coefficienti di ciascun monomio abbiano un massimo comun divisore e, per la parte letterale, che vi siano una o più lettere comuni. Nel fattor comune deve comparire il prodotto delle lettere comuni prese col minimo esponente per il M.C.D. dei coefficienti. 2)
Dato un polinomio, occorre sempre verificare che ci sia un fattor comune da poter mettere in evidenza (tramite raccoglimento a fattor comune). Qualora vi sia lo si mette in evidenza prima di eseguire qualsiasi altra possibile operazione di scomposizione, procedendo, successivamente, alla scomposizione del polinomio risultante dal raccoglimento a fattor comune secondo la seguente procedura. Ad esempio al trinomio 4
4 prima applico il raccoglimento a fattor comune, poi cerco la scomposizione del trinomio in parentesi che riconosco come il quadrato di un binomio: 4
4
4
4
2 3)
Se il polinomio (trinomio) è la somma di tre monomi di cui solo è il quadrato d’un monomio, puoi escludere sicuramente che sia il quadrato di un binomio. Il polinomio potrebbe essere un trinomio particolare. Es.: 7
10. Se il polinomio non è un trinomio particolare, è irriducibile in Q. Es.: 5
3;
1 4)
Se il polinomio è la somma di quattro monomi di cui due sono il cubo d’un monomio, può essere il cubo di un binomio. Es.: 27
8
54
36
. Occorre tuttavia controllare che vi siano i tripli prodotti. Se, infatti, questi non compaiono è possibile che occorra applicare la scomposizione tramite raccoglimento parziale. Es. : 1;
2
2
1. Se il polinomio non può essere scomposto nemmeno tramite raccoglimento parziale, occorre provare con Ruffini. Ciò è possibile solo se il polinomio è a coefficienti interi ed ha un termine noto diverso da zero. Es.: 2 3
2 . Se non è possibile una scomposizione nemmeno attraverso tale tecnica, il polinomio è irriducibile in Q. Es.:
4
3
1. Tale polinomio, infatti, non ammette zeri come puoi verificare. 1 Suggerimenti sulla scomposizione di un polinomio in Q: Se il polinomio è la somma di 6 monomi di cui tre sono il quadrato d’un monomio, può essere il quadrato di un trinomio. 5)
Es.: 4 9
4
12
6 . Occorre tuttavia verificare che vi siano i doppi prodotti. Se i doppi prodotti non compaiono, il polinomio non è il quadrato d’un trinomio: è possibile che occorra applicare la scomposizione tramite raccoglimento parziale. 4
1
4
Es.: 6)
Se il polinomio (trinomio) è la somma di tre monomi di cui due sono il quadrato di un monomio, può essere il quadrato di un binomio. Es :
4
4. Occorre tuttavia verificare che vi sia il doppio prodotto. Ad es. 6
4 è un polinomio irriducibile in Q poiché non è nemmeno un trinomio particolare. 7)
Se il polinomio è la differenza di due monomi che sono il quadrato d’un monomio, può essere scomposto come (a + b)∙(a ‐ b). Es.: x2 – 36. In caso contrario il binomio è irriducibile in Q : x2 – 6; 4x2 – 7; x4 – 8; 3x4 – 16. 8)
I binomi del tipo ove a e b sono due numeri diversi da zero aventi come divisore comune solo l’unità, sono irriducibili in Q. Es.: 4
1, 3
5 ove n è un numero dispari, a è un numero maggiore o uguale di uno e b non è una potenza di esponente n, 9)
Sono irriducibili in Q i binomi del tipo con a e b aventi come divisore comune solo l’unità. Es.: 3
7; 2
25;
6. 10) I binomi del tipo con n numero uguale ad una potenza di due sono irriducibili in Q. Es.: 16 11) Sono riducibili tramite Ruffini i binomi del tipo con n dispari, in quanto divisibili rispettivamente per x + a e x ‐ a. Es: 27 ;
8 12) I binomi di primo grado a∙x ± b con a e b due numeri diversi da zero aventi come divisore comune solo l’unità sono irriducibili. Es. : 2x +1 , 3x‐1, x +1, x ‐ 1. 13) La tecnica di scomposizione tramite Ruffini può essere utilizzata solo se il polinomio ammette almeno uno zero . Viene adottata per scomporre un polinomio avente coefficienti interi e termine noto diverso da zero: la regola degli zeri richiede che gli zeri siano cercati tra le frazioni aventi al numeratore i divisori del termine noto ed al denominatore i divisori del coefficiente del monomio di grado massimo. 2
Ad es. ai polinomi: Se ho un polinomio 2
2
2
3
esista almeno uno zero. 2;
2
2
2
non può essere applicata la tecnica di scomposizione tramite Ruffini. 3 , posso ricondurmi al caso d’un polinomio avente termine noto diverso da zero tramite raccoglimento a fattor comune: 2
3 per applicare, poi, al polinomio in parentesi 2
2
3 la scomposizione tramite Ruffini nel caso in cui 2 Suggerimenti sulla scomposizione di un polinomio in Q: Se il coefficiente del monomio di grado massimo è 1, i suoi zeri vanno ricercati solo tra i divisori del termine noto (quello senza lettera). 3
2
2. Es. : ♦
14) Per poter applicare il raccoglimento parziale occorre individuare gruppi di monomi (generalmente a due o a tre monomi) aventi un fattore comune che può anche essere solo l’unità (ovvero l’unico divisore comune è il numero 1). Es.: 2
2
°
2
. … … .. 2
Tale tecnica richiede che s’arrivi sempre ad un fattore comune generalmente rappresentato da un polinomio in parentesi (solitamente un binomio o un trinomio). In questo caso in parentesi abbiamo il binomio x + 2 in parentesi che rappresenta l’unico fattor comune da poter mettere in evidenza. 15) Dopo aver effettuato una prima scomposizione occorre verificare che i fattori siano polinomi irriducibili. Es. Dalla scomposizione tramite Ruffini del polinomio P(x) =
11
35
25 otteniamo che P x
11
35
25
25 10
1 . Tale scomposizione non è completa perché occorre scomporre ancora il fattore 25 10 che è 2
riducibile in quanto è il quadrato del binomio (x+5) . La scomposizione del polinomio completa é: 11
35
25
x 5 ·
1 P(x) =
F
F
Orsola
Parmegiani
Firmato digitalmente da Orsola
Parmegiani
ND: cn=Orsola Parmegiani, o, ou,
[email protected], c=IT
Data: 2010.04.17 08:13:01 +02'00'
♦
In grassetto: monomio di grado massimo In grassetto: unico possibile fattore da poter mettere in comune °
3