Esercizio 9.
Un pendolo semplice, di massa m1 = 0.2 Kg e lunghezza l=0.5 m, e’ tenuto in equilibrio
ad un angolo θ = 600 rispetto alla verticale da una forza orizzontale F. Calcolare a) il modulo
di F.
Si rimuove F e il corpo e’ lasciato libero. Quando raggiunge la verticale urta contro un
punto materiale di massa m2 =0.1 Kg fermo sul bordo di un gradino alto h=0.6 m. Dopo
l’urto l’ampiezza dell’oscillazione del pendolo e’ θ1 = 300 , mentre m2 cade sotto l’azione della
forza peso. Calcolare: b) la velocita’ di m2 subito dopo l’urto e c) la gittata d.
Soluzione.
a) Il pendolo e’ in equilibrio sotto l’azione di tre forze: il peso, la tensione del filo e la
forza F. Poiche’ le forze sono in un piano, la somma delle forze lungo due assi ortogonali
deve essere nulla.
Lungo l’asse orizzontale (x) abbiamo:
Tx = T sinθ = F
Lungo l’asse verticale (y) abbiamo:
Ty = T cosθ = mg
Dividendo mambro a membro:
1
T sinθ
T cosθ
= tgθ =
F
mg
Quindi otteniamo:
F = mg · tgθ = 0.2 · 9.8 · 1.732 = 3.4 N
b) Calcoliamo la velocita’ con cui il pendolo giunge nella posizione verticale. Dalla legge
di conservazione dell’energia, l’energia potenziale si trasforma in energia cinetica.
mg∆h = mgl(1 − cosθ) = 21 mv 2
Otteniamo quindi la velocita’:
v=
q
2gl(1 − cosθ) =
q
2 · 0.5 · 9.8(1 − 0.5) =
√
4.9 = 2.21 m/sec
L’equazione precedente puo’ essere utilizzata pare calcolare la velocita’ del pendolo dopo
la collisione.
v1 =
q
2gl(1 − cosθ1 ) =
q
2 · 0.5 · 9.8(1 − 0.866) =
√
1.31 = 1.14 m/sec
Dalla legge di conservazione della quantita’ di moto possiamo calcolare la velocita’ v2 :
m1 v = m1 v1 + m2 v2
Quindi:
1
= 0.2 1.07
= 2.14 m/sec
v2 = m1 v−v
m2
0.1
c) Il punto materiale cade dal gradino con velocita’ orizzontale v2 e velocita’ verticale vz
nulla.
Il moto lungo l’asse verticale sara’ quindi accelerato tale che:
h = 12 gt2
Dalla quale otteniamo il tempo di caduta.
t=
q
2h
g
=
q
1.2
9.8
=
√
0.122 = 0.35 sec
Il moto orizzontale e’ uniforme, quindi:
d = v2 t = 2.14 · 0.35 = 0.75m
2
