Problema 2

Corso di laurea in Scienze Ambientali - A.A. 2010/2011
Prova scritta di Fisica I del 13/06/2011
Problema 1
Un ragazzo di massa 𝑚 = 70 𝑘𝑔 si lascia cadere da fermo da un ponte alto ℎ = 175 𝑚 sul livello di un
fiume con un elastico legato ai piedi ad un suo estremo e fissato al ponte all’altro estremo (bungee
jumping). Nel punto più basso della traiettoria il ragazzo rimane a 𝑑 = 10 𝑚 di distanza dal livello
dell’acqua. La lunghezza a riposo dell’elastico vale 𝑙0 = 40 𝑚. Supponendo che la relazione tra forza
F e deformazione l-l0 dell’elastico sia la consueta relazione lineare,
𝐹(𝑙)
1) determinare la costante elastica 𝑘 =
dell’elastico; (quattro punti)
𝑙−𝑙0
2) determinare il massimo valore del rapporto a/g durante la caduta, dove a è il modulo
dell’accelerazione alla quale il ragazzo è sottoposto e g quello dell’accelerazione di gravità. (quattro
punti)
Un secondo ragazzo, di massa 𝑀 = 100 𝑘𝑔, visto il salto del compagno, si pone il problema se
lasciarsi cadere a sua volta.
3) Determinare la distanza dal livello dell’acqua a cui si fermerebbe il secondo ragazzo. (tre punti)
Non fidandosi di lanciarsi con un solo elastico, il secondo ragazzo chiede ed ottiene di potersi lanciare
con DUE elastici, il primo ed una sua copia identica, legati alle gambe.
4) Rispondere alle domande 2 e 3 in quest’ultimo caso. (tre punti)
Problema 2
Un condotto di sezione rettangolare con lato maggiore di
lunghezza 𝑙 = 5,0 𝑐𝑚 e lato minore di lunghezza ℎ = 1,0 𝑐𝑚 è
riempito d’acqua a pressione 𝑝 = 3,0 𝑝𝑎𝑡𝑚 A tappare il condotto è
posta una valvola a farfalla, la cui sezione copre l’intera sezione
del condotto e è montata in modo da essere libera di ruotare
intorno ad un asse parallelo al lato maggiore del condotto e
passante per la faccia inferiore del condotto stesso, come in figura.
Sul lato “asciutto” della valvola insiste la pressione atmosferica.
Considerando uniformi le pressioni in ogni punto della sezione del condotto, determinare
a) la forza da applicare sul perno 𝑭𝒑 perché la valvola non si sposti; (quattro punti)
b) il momento torcente 𝑴𝑭 da applicare alla valvola perché non ruoti. (quattro punti)
Soluzione problema 1
1) Le forze che agiscono sul ragazzo sono conservative, per cui possiamo applicare la conservazione
dell’energia meccanica, fissando come valore di riferimento pari a 0 per l’energia potenziale
gravitazionale il punto da cui il ragazzo salta. Abbiamo quindi, posto lmax = h-d:
1
0 = 𝐾 + 𝑈 = 0 + 𝑈𝑒𝑙 + 𝑈𝑔 = 𝑘(𝑙𝑚𝑎𝑥 − 𝑙0 )2 − 𝑚𝑔 𝑙𝑚𝑎𝑥
2
𝑙𝑚𝑎𝑥
𝑘 = 2𝑚𝑔
= 14.5 𝑁/𝑚
( 𝑙𝑚𝑎𝑥 − 𝑙0 )2
2) La massima accelerazione di un corpo si ha quando è massima la forza che agisce su di esso. Nel
nostro caso il ragazzo subisce la forza di gravità diretta verso il basso e la forza di richiamo elastica
diretta verso l’alto. Poiché la forza di richiamo elastica cresce linearmente con l’allungamento
dell’elastico, avremo che il valore massimo del modulo della forza esercitata sul ragazzo sarà il valore
per forza elastica nulla (mg), o il valore per forza elastica massima, corrispondente al massimo
allungamento della molla:
2𝑚𝑔𝑙𝑚𝑎𝑥
𝑙𝑚𝑎𝑥 + 𝑙0
𝐹 = −𝑚𝑔 + 𝑘(𝑙𝑚𝑎𝑥 − 𝑙0 ) = −𝑚𝑔 +
= 𝑚𝑔
= 1.64 𝑚𝑔
𝑙𝑚𝑎𝑥 − 𝑙0
𝑙𝑚𝑎𝑥 − 𝑙0
Da cui si ottiene che la massima accelerazione 1,64 g è inferiore a 2g.
3) Risolvendo l’equazione in a), usando il valore di k calcolato a partire dai dati, mantenendo come
incognita la nuova distanza D dal pelo dell’acqua, otteniamo:
1
0 = 𝑘 (ℎ − 𝐷 − 𝑙0 )2 − 𝑀𝑔(ℎ − 𝐷)
2
ℎ − 𝐷 − 𝑙0 = 𝑦
1
𝑘 𝑦 2 − 𝑀 𝑔 (𝑦 + 𝑙0 ) = 0
2
𝑀𝑔
2𝑙0 𝑘
𝑦 = ( ) (1 ± √1 +
) = 67(1 ± 1.47) = (−32.3, +167.6)
𝑘
𝑀𝑔
𝐷 = ℎ − 𝑙 − 𝑦 = (167.6, −32.3)
La soluzione positiva (che corrisponderebbe alla risalita) è da scartare. Quindi il secondo ragazzo, se
si gettasse, finirebbe in acqua…
4) Due elastici identici legati ai piedi corrispondono a due forze elastiche identiche a quelle nel caso a), cioe’
ad avere un elastico con costante elastica 2𝑘 e lunghezza a riposo 𝑙0 . Si ha dunque, chiamando 𝐿𝑚𝑎𝑥 il
massimo allungamento in questo caso:
0 = 𝑘 (𝐿𝑚𝑎𝑥 − 𝑙0 )2 − 𝑀𝑔(𝐿𝑚𝑎𝑥 )
𝐿𝑚𝑎𝑥 − 𝑙0 = 𝑦
𝑘 𝑦 2 − 𝑀 𝑔 (𝑦 + 𝑙0 ) = 0
𝑀𝑔
4𝑙0 𝑘
𝑦 = ( ) (1 ± √1 +
) = (−28.2, +95.8)
2𝑘
𝑀𝑔
𝐿𝑚𝑎𝑥 = 𝑦 + 𝑙0 = 135.8
𝐷 = ℎ − 𝐿𝑚𝑎𝑥 = 39.2
𝐹 = −𝑀𝑔 + 2𝑘(𝐿𝑚𝑎𝑥 − 𝑙0 ) = 𝑀𝑎
2𝑘
𝑚
(𝐿𝑚𝑎𝑥 − 𝑙0 ) − 𝑔 = 17.9 2 ≈ 2𝑔
𝑎=
𝑀
𝑠
Quindi la scelta di lanciarsi con due elastici appare appropriata.
Soluzione problema 2
a) Le forze agenti sulla valvola sono dovute alla pressione dell’acqua, alla pressione atmosferica e
alla reazione vincolare sul perno. Nell’ipotesi di pressione costante su tutta la faccia si avrà per la
forza dovuta alla pressione un’intensità pari alla forza da applicare sul perno 𝑭𝒑 , diretta lungo la
stessa direzione ma in verso opposto. In formule, detto 𝒛̂ il versore perpendicolare alla faccia della
valvola diretto verso l’acqua:
𝑭𝒑 = −𝑭𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏𝒆 = −(𝑝 − 𝑝𝑎𝑡𝑚 ) 𝑙 ℎ 𝒛̂
|𝑭𝒑 | = 2 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝑑 ℎ ≈ 101 𝑁
b) Occorre calcolare il momento che le forze dovute alla pressione esercitano sulla valvola, rispetto
ad un polo posto sull’asse di rotazione. La pressione 𝑝 è costante lungo la faccia, ma il braccio della
forza è variabile e corrisponde alla distanza tra punto di applicazione della forza dovuta alla pressione
e asse di rotazione. In formule abbiamo dunque che il modulo del momento dovuto alla pressione
– 𝑴𝑭 vale:
ℎ
ℎ2
|−𝑀𝐹 | = ∫ 𝑥 𝑑𝐹(𝑥) = ∫ 𝑥 2 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝑙 𝑑𝑥 = (2 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝑙 ) = 5 10−1 𝑁𝑚
2
0
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