Esercizio 1: Partitore di tensione capacitivo Soluzione

Esercizi di Fisica II: Capacità elettrica
1
Energia elettrostatica di un condensatore: W=Q^2/(2C)
Condensatore piano C=e e S/L
0 r
Condensatore parallelo: somma delle capacità C=C1+C2+…
-1
-1
-1
Condensatori serie: il reciproco e’ la somma dei reciproci C =C1 +C2 +…
Esercizio 1: Partitore di tensione capacitivo!
Determinare la carica totale Q e la tensione in uscita Vo del circuito in figura
costituito dalle tre capacità C1=1μF,C2=0.1μF e C3=0.2μF sapendo che la
tensione in ingresso e’ V0=150V. Quale e’ il rapporto di partizione della
tensione?#
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Soluzione!
La capacità equivalente del parallelo tra C3 e C2 e’ C0=C3+C2=0.3μF.#
La capacità equivalente della serie tra C1 e C0 e’ C=C0*C1/(C0+C1)=0.3/1.3μF=0.23μF quindi la carica totale e’
Q=V*C=150V0.23μF =34.5μC che stanno sulle armature di C1 e C0 perche’
sono in serie e la tensione di uscita e’ quindi V0=Q/C0=V*C1/
(C0+C1)=150*0.77=115.4V ed il rapporto di partizione e’ C1/(C0+C1)=0.77 .#
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Esercizi di Fisica II: Capacità elettrica
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Esercizio 2: Sensore di posizione capacitivo orizzontale!
Determinare la capacita’ del sensore capacitivo in figura sapendo che le
armature hanno una superficie quadrata pari a S=1cm2 e sono poste ad una
distanza h=1mm, mentre il dielettrico mobile ha una costante dielettrica
relativa er=10 ed e’ posto ad una distanza x=0.8cm. Di quanto varia la
capacita’ tra le due posizione estreme?#
Determinare il segno della forza necessaria a spostare il dielettrico nell’ipotesi
di carica costante o di tensione costante. #
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Soluzione!
Il sensore e’ assimilabile al parallelo di due capacita’ di geometria parallela,
una di area sqrt(S)*x nel vuoto e l’altra di area sqrt(S)*(sqrt(S)-x) con
dielettrico di costante dielettrica er.#
Quindi C=C1+C2=e0sqrt(S)*x/h+er*e0sqrt(S)*(sqrt(S)-x)/h=#
=e0sqrt(S)/h*[er*sqrt(S)-x*(er-1)]~er*e0sqrt(S)*(sqrt(S)-x)/h=#
=88pF/m*0.01m*0.002m/0.001m=176*0.01pF=1.76pF.#
Tra le due posizione estreme la capacita’ varia di er.#
Nell’ipotesi di sensore collegato ad una batteria V e’ costante e l’energia e’
data da W=1/2CV^2 e l’energia diminuisce per x grandi perche’ cresce C e
quindi la forza e’ repulsiva.#
Nell’ipotesi di sensore isolato la Q e’ costante e l’energia e’ data da
W=1/2Q^2/C e l’energia diminuisce per x piccoli perche’ si riduce C e quindi
la forza e’ attrattiva.#
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Esercizi di Fisica II: Capacità elettrica
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Esercizio 3: Carica e Scarica di un condensatore.!
Ad un tempo t=0s il condensatore C di capacità 3.3μF viene caricato
mediante la batteria E=1.5V avente una resistenza interna R1=0.25kΩ
portando l’interruttore dalla posizione S alla posizione A. Determinare la
tensione di carica al tempo tc=1ms. Quanta energia e’ stata erogata dalla
batteria nel tempo tc? Quanta potenza media? Quanta energia e’ stata
dissipata dalla resistenza interna? Inoltre si determini il tempo che impiega il
condensatore a perdere meta’ della sua carica se e’ scaricato su una
resistenza R2=1.8GΩ.#
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Soluzione!
L’andamento della tensione di carica del condensatore e’ #
V(t)=Viniziale+(Vfinale-Viniziale)(1-exp(-t/τc)) dove la costante di tempo di
carica è data τc=CR1= 3.3μF0.25kΩ=0.825ms.#
Q u i n d i e s s e n d o V i n i z i a l e = 0 , V fi n a l e = E , V ( t = 1 m s ) = 1 . 5 V ( 1 exp(1/0.825))=1.5*(1-0.297)V=1.054V.#
Qc=C*Vfinale=3.3μF*1.054V=3.48μF#
L’energia erogata durance la carica proprio per la definitione di potenziale
elettrostatico e’ W=V*Q=1.5V*3.48μF=5.22μJ.#
Potenza media = W/tc=5.22mW.#
L’energia accumulata
sul condensatore e’ Wc=Qc^2/(2C)=Vfinale*Qc/
2=1.054V*3.48μF/2=1.83μJ quindi l’energia dissipata per effetto Joule e’:
WR=W-Wc=5.22μJ-1.83μJ=3.39μJ.#
La legge di scarica e’ V(t)=Viniziale x exp(-t/τs) dove τs=R2C=1.8GΩ*
3.3μF=5940s=1h e 39m.#
Vfinale=1/2Viniziale abbiamo exp(-t/τs)=1/2, -t/τs=ln(1/2), t/τs=ln(2)=0.69.#
Quindi il tempo di dimezzamento della carica e’ pari a circa il 69% della
costante di tempo cioe’ pari a t1/2=0.69τs=5940s*0.69=4098.6s#
Esercizi di Fisica II: Capacità elettrica
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Esercizio 4: Scarica di un condensatore.!
Ad un tempo t=0s l’interruttore vine spostato dalla posizione A alla posizione
B. Quanto tempo impiega a perdere il 90% della sua carica? Quanto tempo
impiega a scaricarsi fino V=1 mV? Ed a scaricarsi fino a V=1uV?#
I dati del problema sono E=3.3V, R1=2.8kΩ, R2=4.85kΩ e C=0.33pF.#
Soluzione!
Un condensatore carico equivale ad un circuito aperto e quindi all’equilibrio e’
carico al potenziale determinato dal partitore resistivo R2/(R1+R2)=0.63 e
quindi Vc=1mV*0.63=0.63mV.#
Durante la scarica la resistenza equivalente e’ il parallelo delle due resistenze
cioe’ Rs=R1*R2/(R1+R2)=1.77kΩ e quindi la cost ante di tempo della scarica
e’ τs=C*Rs=0.33pF1.77kΩ=0.584ns.#
La tensione si riduce del 90% quango si port al 10% del valroe initial e vale
l’equazione 0.1=exp(-t/τs), t/τs=-ln(0.1), t=τs * ln(10) = 0.584ns * 2.3=
1.34ns. #
Per scaricarsi ad 1mV, impiega t=ln(Viniziale/Vfinale)=τs * ln(3.3V/1mV)=
0.584ns * 8.1=4.73ns#
Per scaricarsi ad 1μV, t=τs * ln(3.3V/1μV)= 0.584ns * 15=8.76ns