F - Macroarea di Scienze

Dinamica del punto materiale
1. La meccanica classica o Newtoniana.
2. Concetto di Forza
3. Prima legge di Newton: il principio di inerzia
4. Legge di inerzia e sistemi di riferimento inerziali
5. Concetto di Massa
6. Seconda legge di Newton
7. Definizione della forza ed unità di misura
8. Esempi di forze: la forza peso
9. Terza legge di Newton: il principio di azione e reazione
10.Definizione operativa della massa
11.La forza elastica: Legge di Hooke
Definizione operativa di una grandezza : quando viene specificato, in maniera
univoca ed universale, il modo con cui detta grandezza viene misurata.
Meccanica Newtoniana
 La dinamica di un punto materiale affronta lo studio delle cause del moto.
L’accelerazione è causata da “qualcosa che spinge o tira”. Se tiriamo o spingiamo
un corpo su di esso “applichiamo una forza”. Bisogna fare però attenzione che non
sempre le forze causano un movimento.
 La teoria che lega le cause del moto alle variabili cinematiche che lo descrivono è
detta Meccanica.
 Noi studiamo la meccanica classica, ovvero la teoria nella quale tutti i fenomeni
di moto si possono descrivere usando soltanto tre leggi semplici dette leggi di
Newton.
 Vengono introdotti i concetti di Forza e di Massa, tramite i quali è possibile
collegare le cause del moto alle variabili cinematiche che lo descrivono.
Prima legge di Newton
Questa legge in realtà risale ai tempi di Galileo ( alla prima metà del 17° secolo) , è
conosciuta con il nome di PRINCIPIO D’INERZIA e dice:
“ Un corpo a riposo, rimane a riposo ed un corpo in movimento continua a
muoversi con velocità costante se su di esso non agiscono forze esterne”
Oppure nella forma espressa da Newton:
Ogni corpo permane nel suo stato iniziale di quiete o di moto rettilineo
uniforme, fin quando non è costretto a cambiare il suo stato da una forza
che viene applicata su di esso
Questo concetto ci è familiare ma va contro l’esperienza comune: se lanciamo un
oggetto con una certa velocità iniziale esso non se ne andrà via lungo una traiettoria
rettilinea, ma ad un certo punto si fermerà.. Perché c’è la forza gravitazionale, ma
se pensiamo di fare la stessa cosa nello spazio? L’oggetto proseguirà indefinitamente
il suo moto lungo la direzione della velocità iniziale.
Sistema di riferimento inerziale
Il principio di inerzia non è valido in tutti i sistemi di riferimento
Il principio di inerzia è valido nei sistemi di riferimento INERZIALI
Sistema di riferimento INERZIALE= Un qualsiasi Sistema di riferimento che si
muove con velocità costante ( quindi con accelerazione nulla)
Se un sistema di riferimento è inerziale, ogni altro sistema che si muove a velocità
costante rispetto ad esso è ancora un riferimento inerziale.


F 0a 0
La prima legge di Newton si può sintetizzare dicendo che se
,
cioè quando su un corpo non agisce alcuna forza, la sua accelerazione è nulla
Ciò implica che vi può essere movimento ( a velocità costante) senza che agiscano
forze sul corpo e che tale legge non distingue tra corpo in quiete o a velocità costante.
In effetti se un corpo si trova a v=0 oppure a v0 dipende dal sistema di riferimento
dal quale lo si osserva.
(Se osserviamo un passeggero seduto su un treno in movimento dal sedile di fronte
esso è in quiete, se lo osserviamo dalla stazione esso è in movimento)
NB: possiamo provare la prima legge di newton?
NO- perché non possiamo essere sicuri al 100% che il nostro sistema di riferimento sia
un sistema inerziale
Ma ci fidiamo???
SI- perché tale legge è consistente, all’interno dell’incertezza sperimentale, con tutti gli
esperimenti che sono stati fatti finora ( metodo scientifico)
Massa (Inerziale)
La massa è una proprietà intrinseca di un oggetto che misura la
resistenza che esso oppone a variare la sua velocità. È una delle grandezze
fondamentali.
Maggiore è la massa di un oggetto, minore è l’accelerazione
dell’oggetto quando viene sottoposto ad una data forza
La massa è indipendente da ciò che lo circonda e dal metodo adoperato per
 misurarla.
La massa è una quantità scalare (obbedisce alle regole dell’aritmetica ordinaria)
Le masse si sommano e si sottraggono in modo numericamente semplice
NB:
Massa e Peso sono due grandezze differenti!!!!!!!!!
La massa di un corpo rimane la stessa sia qui che sulla Luna, il peso del corpo
cambierà ( il peso del corpo, misurato sulla Terra, sarà maggiore del peso misurato
sulla Luna)
Forza
Il moto di un corpo è il risultato della sua interazione con i corpi circostanti.
Le interazioni di un corpo con l’ ambiente esterno sono sintetizzate (in meccanica
classica) dall’azione di una grandezza fisica vettoriale detta Forza.
I fisici sono riusciti a ricondurre tutti i fenomeni al manifestarsi di quattro tipi di
interazioni fondamentali:
Gravitazionale(originata dalla presenza di materia)
Elettromagnetica (originata dalla presenza di carica elettrica)
Debole (responsabile di alcuni decadimenti radioattivi)
Forte (operante tra le particelle fondamentali e genera il legame tra i nuclei)
L’azione simultanea di più forze su di un corpo si può sintetizzare tramite la loro
somma vettoriale (detta RISULTANTE).
Seconda legge di Newton(1)
Abbiamo appreso dalla prima legge della dinamica che una forza netta non nulla applicata
ad un corpo deve modificarne necessariamente la velocità, cioè provocare un
cambiamento del modulo, della direzione o del verso del vettore velocità.
L’azione di una forza produce una accelerazione.
Ma qual’è la relazione esatta tra forza e accelerazione?
Consideriamo una molla a riposo con un
estremo fissato al muro
Estendiamola di una certa lunghezza
(non è importante numericamente quanto,
ma solo che durante la misura che si sta per fare
questa lunghezza sia sempre riproducibile)
Attacchiamo all’estremo libero una massa
m1 e misuriamo l’accelerazione a1 subito
dopo aver rilasciato la molla
A riposo
Spinta
Spinta
Misura
m1
a1
m2
a2
Facciamo la stessa cosa con diverse masse ( es m2> m1)
Risultato sperimentale: a parità di forza
risultante applicata, più grande è la massa
minore sarà ’accelerazione osservata
Cioè se m1=1/10m2 allora a1 = 10a2
m1a1=m2a2
m1 a2

m2 a1
Seconda legge di Newton(2)
A parità di forza applicata l’accelerazione di un corpo è inversamente proporzionale
alla sua massa (più grande è la massa minore sarà l’accelerazione osservata)
m1a1=m2a2
Da semplici esperimenti è possibile verificare che applicando una forza doppia ad un certo
oggetto, l’accelerazione prodotta sarà due volte più grande, applicando una forza tripla,
l’accelerazione sarà tre volte più grande, e così via.
Questo porta a dire che:
l’accelerazione di un corpo è proporzionale alla forza risultante ad esso applicata.
 
F a
Basandosi su queste evidenze sperimentali, Newton enunciò e formalizzò
matematicamente la seconda legge della dinamica:
Seconda legge di Newton:
L’accelerazione di un oggetto è direttamente proporzionale alla forza
risultante agente su di esso ed è inversamente proporzionale alla sua

massa

a
F
m


 F  ma

F
NB:  è la forza risultante data dalla somma di tutte le forze agenti sull’oggetto di massa m
Forza
Altro modo di definire la seconda legge di Newton:
“Una forza che agisce su un corpo, produce su di esso un’accelerazione
stessa direzione della forza ed ha modulo (la forza) pari ad ma
La forza è un vettore:
Un corpo risulta in equilibrio se
la somma di tutte le forze che
agiscono su di esso è nulla:



Ftot   F  ma

a
avente la
 Ftot  max
 x
 Ftoty  may

 Ftotz  maz
 Ftot  0


 x
Ftot   F  0  Ftoty  0

 Ftotz  0

a0
Anche il secondo principio della dinamica è valido solo in sistemi di riferimento
inerziali
NB: possiamo provare la seconda legge di Newton?
NO- perché non possiamo essere sicuri al 100% che il nostro sistema di riferimento sia
un sistema inerziale
Ma ci fidiamo???
SI- perché tale legge è verificata, all’interno dell’incertezza sperimentale, da tutti gli
esperimenti che sono stati fatti finora ( metodo scientifico)
Definizione operativa della forza
La seconda legge della dinamica permette di introdurre una definizione operativa
di forza:
m=1kg
Si consideri il chilogrammo campione,
poggiato su un piano orizzontale privo di
attrito ed agganciato ad una molla.
m=1kg
Se la molla viene allungata essa esercita
una forza sulla massa campione e quindi
un’accelerazione.
Definiamo unitaria la forza esercitata dalla molla quando questa imprime
al kg campione una accelerazione di 1 m/s2
Tale forza unitaria equivale ad 1 N (Newton) ed è legato alle grandezze
fondamentali dalla seguente espressione:
kg  m
1N  1 2
s
Definizione Operativa di massa
La seconda legge della dinamica permette di introdurre anche una definizione
operativa di massa:
Se applichiamo una stessa forza F a corpi diversi, abbiamo visto che:
F  m1a1  m2 a2
e quindi
m1 a2

m2 a1
In particolare se confrontiamo l’accelerazione a di un corpo di massa incognita m con
quella a0 del campione di massa m0 =1kg sottoposto alla stessa forza, otteniamo
una misura della massa incognita m tramite la relazione :
Misurata
sperimentalmente
m a0

m0 a
a0
m  m0
a
a0
m  kg
a
Misurata
sperimentalmente
Esempio di Forza: Forza Gravitazionale
La forza gravitazionale è la forza esercitata dalla Terra su un corpo.
Tale forza è una grandezza vettoriale, la cui direzione è la direzione

dell’accelerazione gravitazionale g , cioè quella dal corpo al centro della terra.
Se un corpo è lasciato libero di muoversi sulla superficie terrestre, sottoposto alla
sola forza gravitazionale, esso subisce l’accelerazione di gravità:
 

 F Fgrav  mg g
dove sia


gche Fgrav sono diretti verso il centro della terra.
La relazione


Fgrav  mg g
non richiede che il corpo sia in movimento.
la forza di gravità è sempre presente, anche se un corpo non si muove perché
poggiato su una superficie.
La massa mg ( massa gravitazionale) determina l’intensità dell’attrazione
gravitazionale tra il corpo e la Terra, in linea di principio essa è diversa dalla massa
inerziale ( cioè quella proprietà intrinseca dei corpi di opporsi ad una variazione
della velocità dovuta all’applicazione di una forza), ma i risultati sperimentali
nell’ambito della meccanica classica portano a dire che tali masse hanno stesso
valore numerico
Forza Gravitazonale ePeso(1)
Il modulo della forza gravitazionale è detto Peso P:
P  mg g
Poiché il peso dipende da g, esso dipende dalla posizione geografica, i corpi pesano di
meno su una montagna (quindi ad altitudini elevate) che non al mare poiché
l’accelerazione g diminuisce allontanandosi dalla superficie terrestre ( o per meglio
dire dal centro della Terra)
Il peso non è una proprietà intrinseca dei corpi ( a differenza della massa)
Esempio:
l’accelerazione gravitazionale sulla luna è pari a gLuna= 1.6 m/s2
Il peso di un corpo di massa 10 kg sulla Terrà è
Pterra  mgterra  mg  98N
Il suo peso sulla Luna è:
Pluna  mgluna  16 N
Forza gravitazionale e Peso(2)
Se teniamo sul palmo della mano una pallina da tennis, braccio teso, la pallina
rimane ferma nel palmo della mano, non è soggetta ad accelerazione e quindi la
forza risultante applicata alla pallina deve essere nulla.
Sappiamo che la pallina ha una massa ( m= 58 g per la precisione)
e quindi è sottoposta alla forza gravitazione mg
Ma la forza totale deve essere nulla, quindi è chiaro che il
palmo della mano deve “spingere verso l’alto” la pallina
con un forza uguale e contraria a mg

a0


Ftot  ma  0



Ftot  Fpalmo  Fg  0
Fpalmo  0.5N
m  58 g
mg  0.5N
Fpalmo  mg
NB: non c’è alcun riferimento alla velocità nella seconda legge di Newton, quindi un
corpo è soggetto alla stessa forza gravitazionale, indipendentemente dalla sua
velocità ( a meno che tale velocità non sia prossima a quella della luce, in questo
caso infatti la meccanica newtoniana non vale più e bisogna passare alla relatività
ristretta di Einstein)
Terza legge di Newton

Se un corpo esercita una forza
 F12 su un altro corpo, l’altro corpo eserciterà
su di esso una forza F21uguale in modulo ma di verso opposto
3° legge
di
Newton


F12   F21
Azione = -Reazione
Non esiste una singola forza isolata, ma le forze si presentano sempre a coppia
E la forza gravitazionale allora?
Il cancellino lasciato libero cade sotto l’azione della forza gravitazionale della terra su di esso…
E la reazione? Dove sta?
In realtà anche il cancellino esercita una forza di attrazione sulla Terra identica in modulo a quella che
la terra esercita sul cancellino… ma la massa della terra è talmente grande che la sua accelerazione è
pressoché nulla
La legge di azione e reazione vale sempre, sia che gli oggetti stiano fermi
sia che risultino accelerati
Esempi di Azione-Reazione
Un palloncino che si sgonfia:
L’aria dentro il palloncino gonfiato preme in tutte le direzioni e quando
si lascia libera l’apertura, l’aria viene premuta fuori dal foro di uscita.
Per reazione l’aria genera una pressione nella direzione opposta sulla
superficie interna del palloncino che di conseguenza comincia a
muoversi nella direzione opposta a quella della fuoriuscita di aria.


Fpalloncino Faria
La possibilità di muoversi camminando:
la persona preme il piede spingendo indietro il terreno
il terreno spinge il piede in avanti
Lancio di un razzo:
Il motore del razzo spinge gas verso il basso
Il gas spinge il razzo verso l’alto
Attenzione:
Nel caso particolare in cui due forze sono applicate ad un corpo che ha accelerazione
nulla la seconda legge di Newton potrebbe sembrare ingannevolmente simile alla
legge di azione e reazione. In realtà la seconda legge di Newton si applica al singolo
corpo mentre la terza si applica all’interazione tra due corpi
Forza Normale (o reazione Vincolare)(1)
Quando un corpo preme contro una superficie ( anche se apparentemente

rigida) la superficie si “deforma” e spinge il corpo con una forza FN
normale a tale superficie ( reazione vincolare)
Esempio: Un corpo di massa m giace sulla superficie orizzontale di un tavolino:
Il corpo preme sul tavolo a causa della forza gravitazionale Fg, deformandolo
Il Tavolo preme il corpo verso l’alto con la forza normale FN
(cioè perpendicolare alla superficie del tavolo)
Corpo di
massa m
Sul corpo agiscono solo la forza peso e la forza normale ed entrambe
sono dirette verticalmente

FN
y


Fg  mg
( prendiamo in considerazione solo le componenti lungo y).


Fg  mg
Dalla seconda legge della dinamica otteniamo il modulo
della forza normale:

  
 F  ma  Fn  Fg 
F
y
 may  FN  mg
FN  m a y  g 
Somma delle forze che
agiscono sul corpo di massa m
Nel caso in cui il corpo ha accelerazione nulla
( come nel nostro caso) si ha che:
ay  0
 FN  m g
Forza Normale (2)
Attenzione: la forza normale non è necessariamente uguale alla forza peso:
Prendiamo di nuovo l’esempio di una scatola poggiata su un tavolo
Caso (a) => identico al caso appena visto
 Fy  FN  mg  0
y
FN  mg
Caso (b) => una mano preme sulla
scatola con una forza di 40N (alla forza
peso che preme sul tavolino si aggiunge
la forza della mano)
F
Caso (c) => una mano tira la scatola
verso l’alto con una forza di 40N (la
forza peso e la forza della mano
agiscono in versi opposti)
F
y
 FN  mg  40 N  0
y
FN  mg  40 N
y
 FN  mg  40 N  0
FN  mg  40 N
y
Forza Normale (3)
Attenzione: la forza normale non è necessariamente Verticale
FN

FN È sempre perpendicolare alla superficie del vincolo

Fg È sempre perpendicolare alla superficie della terra
Corpo di
massa m

Fg
Attenzione: la forza normale non sempre bilancia Fg
 

 F  FN  Fg

FN
 Fx  Fg sin   max  0

 Fy  FN  Fg cos   0


 mg

Componente

lungo
y
di
F
g

FN x  0


FN y  FN  mg cos 
y

FN

Ftot
x

 Fg 
la forza normale FN bilancia solo la componente di Fg perpendicolare
alla superficie vincolare
y
Tensione
Le funi sono dispositivi che permettono di trasmettere l’ azione di una forza applicata in un
dato punto ad un punto diverso.
La fune viene considerata inestensibile e priva di massa ed il modulo della forza esercitata in
un qualsiasi punto della fune è lo stesso in tutti i punti della fune
Se quindi applico una forza a un estremo di una fune tesa, questa risponde con una forza che
si trasmette lungo la fune in modo tale che ogni punto della corda abbia accelerazione nulla
relativamente a tutti gli altri.  le forze ai capi della corda sono uguali ed opposte
Quando
un corpo viene tirato mediante una fune ancorata ad esso, la fune esercita una forza

T sul corpo

La forza T è diretta lungo la fune nel verso di allontanamento dall’oggetto ed il modulo T di
questa forza viene detta tensione della fune
La fune viene concepita solo come un collegamento tra i due corpi e questo concetto vale
anche se la fune passa per una carrucola (o puleggia), La fune permette di “trasportare”
le forze, e di cambiare la direzione della loro retta di azione.
Esempio di tensione : carrucola
Un facchino utilizza una fune passante attorno a due carrucole per sollevare un pianoforte del
peso di 2000 N.
Quale forza deve esercitare sulla fune?
NB: Per funi di massa trascurabile il modulo della tensione è lo stesso in ogni punto della fune
La forza applicata da facchino è uguale in modulo alla

tensione della fune T
FT  T
Se consideriamo le forze applicate sul pianoforte avremo:

   
 F  ma  T  T  Fg 
ma  2T  mg
Per far muovere il pianoforte dovremo avere:
ma  2T  mg  0
E quindi:

mg
FT  T 
2
NB : per risolvere esercizi con carrucole potete immaginare
di chiudere la carrucola in una scatola ed ad ogni fune
uscente ed entrante associare una forza (tensione). Se il
sistema è in equilibrio le forze uscenti e le forze entranti
devono compensarsi sommandole come vettori.
y
Forze di attrito
La presenza delle forze di attrito fa parte dell'esperienza quotidiana.
Se si tenta di far scorrere un corpo su una superficie scabra, si sviluppa una
resistenza allo scorrimento detta forza di attrito.
A livello microscopico l’attrito è dovuto alle microfusioni che si formano in
corrispondenza delle asperità delle due superfici a contatto
La forza di attrito può essere schematizzata come una forza tangente alla
superficie
Attrito statico
Consideriamo un oggetto poggiato sul pavimento su cui viene applicata una forza F
orizzontale( per esempio verso sinistra)
La forza di Attrito statico è la forza che contrasta F e che impedisce all’oggetto di
muoversi, tale forza
Corpo in quiete (non viene applicata
alcuna forza sul corpo oltre alla forza
peso ed alla reazione vincolare)
quiete
Viene applicata una forza F < fsmax,
Il corpo continua a rimanere fermo
Aumentando F, fin quando F < fsmax,
Il corpo continua a rimanere fermo
F = fsmax,
Il corpo continua a rimanere fermo
Non appena F>fsmax il corpo comincia a muoversi
Attrito dinamico
Quando F ha superato fsmax, il corpo ha cominciato a muoversi con un’accelerazione
nel verso della forza applicata e la forza di attrito diminuisce e viene detta Forza di
attrito dinamica
La forza risultante Fnet=F-fd determina
un’accelerazione nel suo stesso verso ( 2° legge
di Newton)
F > fd
Se riduciamo F fino ad avere che F=fd la forza
risultante sarà nulla così come l’accelerazione
ed il corpo procederà di moto rettilineo
uniforme
F = fd
Se riduciamo ancora F (fino ad avere F=0 ) la forza risultante sarà solo la forza di
attrito dinamico (che si oppone al moto) => l’accelerazione avrà verso opposto alla
velocità => la velocità diminuirà fino ad annullarsi
Attrito
Sperimentalmente si trova che:
La direzione della forza d’attrito è sempre parallela alla superficie ed il
verso è sempre opposto al verso del moto ( o alla forza applicata che cerca
di produrre il moto)
L’intensità sia della forza di attrito statico che quella di attrito dinamico
sono proporzionali al modulo della forza normale esercitata dalla
superficie sul corpo
f s  f s max   s N
f d  d N

fs  fs

fd  fd

N N
Dove :
 s  coefficien te di attrito statico 

 d  coefficien te di attrito dinamico 
s  d
I valori dei coefficienti di attrito s e d sono coefficienti adimensionali che dipendono
dalla natura delle superfici a contatto ed in prima approssimazione
d NON dipende dalla velocità tra le due superfici
Attrito (riassunto)
Grafico del modulo della forza d’attrito in
funzione della forza applicata:
 inizialmente la forza di attrito (statico in
quanto il corpo rimane fermo) cresce
linearmente con la forza applicata, fin
quando non raggiunge il valore fsmax =s N
Quando F supera il valore di fsmax il corpo
comincia a muoversi ed entra in gioco
l’attrito dinamico fd< fsmax che assume
velocemente il valore fd =d N
indipendentemente dalla forza applicata
Esempio Attrito
y
ESEMPIO: Scatola contro il muro
x
Come può una forza orizzontale impedire ad un
oggetto di muoversi verticalmente?
1) Ho bisogno di attrito
2) Devo premere abbastanza
Corpo fermo

ma  0
max  F  N  0

may  mg   s N  0

 
  
ma  F  Fg  N  f s  0
F  N
  s F  mg

 s N  mg
Si avrà quindi che se:
s F  mg
La scatola NON scivola giù
s F  mg
La scatola scivola giù
Esempio Piano inclinato con attrito
Se un corpo di massa 10kg rimane in equilibrio senza scivolare su un piano inclinato
di un angolo di 40° rispetto al piano orizzontale ne deduciamo che è soggetto ad una
forza di attrito statico il cui coefficiente di attrito è maggiore o uguale a :
y
1) 0.54

ma x  0

2) 0.74

F  ma  0  

ma

0
FN
3) 0.84
 y
Px  mg sinα
4) 0.94


  

 F  ma  P  N  f s
ma x  Px - f s   mg sinα - f s  0

ma y  Py  N  mg cosα  N  0
Ma:
fs  s N
mg sinα
s 
mg cosα
Py  mg cosα
f s   mg sinα x

 N  mg cosα

fs

 P 
mg sinα  s mg cosα
s  tan  tan 40  0.84
Attrito viscoso
Consideriamo ora l’attrito dovuto alla presenza di mezzi viscosi che interagiscono
con corpi in movimento
Per mezzi viscosi si intendono LIQUIDI e GAS.

Il mezzo viscoso esercita una forza di attrito Fav sul corpo che si muove attraverso
di esso.
 La forza di attrito viscoso ha verso opposto al movimento e modulo che dipende
dalla velocità relativa tra corpo e mezzo , in particolare aumenta all’aumentare

della velocità.
F  f (v)
av
La relazione che lega la forza di attrito viscosa alla velocità può essere complessa.
Di solito si approssima il moto attraverso mezzi viscosi con due modelli semplici:
Corpo di piccole dimensioni ( particelle di polvere nell’aria) a bassa velocità

Fav  v

2
Corpi di grandi dimensioni ad alta velocità (paracadutista, palle da tennis) Fav  v
Noi considereremo solo il primo modello.
Attrito viscoso-corpi di piccole dimensioni e bassa velocità(1)
Un corpo che si muove in un fluido (liquido o gas) con velocità non troppo elevata è sottoposto
ad un forza di attrito viscoso. Tale forza si oppone al moto ed ha intensità proporzionale alla
velocità del corpo:


Fav  bv
dove b = costante che dipende dal mezzo e dalla forma e
dalle dimensioni del corpo
Consideriamo un corpo che si muove con velocità iniziale v0 attraverso in mezzo viscoso.
Come diminuisce la velocità del corpo se esso è soggetto solo alla forza di attrito viscoso ?

 
 F  ma Fav
Per la 2° legge di Newton si ha:
a è la derivata della velocità
dv
b
  dt
v
m
dv
ma  m
dt
Integro entrambe i
mebri dell’equazione
dv
v

ln
v0 v
v0
v
 m


 ma  bv
dv
 bv
dt

dv
b
 v
dt
m
b
b t
b
   dt   0 dt   t  0
0
m
m
m
v
b
ln   t
v0
m
t
Attrito viscoso-corpi di piccole dimensioni e bassa velocità(2)


Fav  bv
v
b
ln   t
v0
m
ln
Elevando entrambi i membri a potenza di e =>
v
e
v0
b
 t
m
v  v0e
v  v0e
t 
b
 t
m
e
v  v0e
v
v0
b
 t
v
 e m
v0
t 
dove
 m b
Fav  bv0e t 
Una particella che si muove con velocità iniziale vo in un mezzo viscoso ( acqua o
aria) sottoposta alla sola forza di attrito viscoso subirà una riduzione esponenziale
della velocità.
Anche la forza di attrito viscoso ( proporzionale alla velocità) diminuirà nel tempo
con un andamento esponenziale, fino ad arrivare asintoticamente a 0.
In presenza della sola forza di attrito viscoso non si può avere una condizione di
equilibrio statico perché Fav=0 solo quando v=0 ( cioè per t=∞)
Velocità limite
Consideriamo ora il caso di un corpo di massa m che venga lasciato cadere in un
fluido.
Assumiamo che le uniche forza agenti siano la forza peso e la forza di attrito
 viscoso Fav (es un corpo in acqua).
L’equazione del moto è data (nella direzione verticale) da:


 
 F  ma  mg Fav
 may  m
dv
 mg  bv
dt
La soluzione a questa equazione differenziale dà:

v  vl 1  e
t 

dove  = m/b
vl = mg/b
vl è la velocità limite =>
(quando la forza di attrito viscoso si approssima
alla forza peso, l’accelerazione ay 0 ed il corpo
raggiunge questa velocità limite)
mg  bv  0 per v 
mg
b

Fav  bv
y
Fav
Il moto circolare e la seconda legge di Newton
Un corpo che si muove con velocità in modulo costante v e lungo una traiettoria
circolare di raggio r subisce un’accelerazione centripeta ac =v2/r
Se c’è un’accelerazione deve esserci una
FORZA RISULTANTE NON NULLA
che genera tale variazione del moto
FORZA CENTRIPETA
diretta verso il centro della circonferenza, sempre
ortogonale alla velocità e di modulo pari a
v2
Fc  m
r
La forza centripeta NON è un nuovo tipo di forza, ma è una qualsiasi forza che
causa un’accelerazione centripeta, imponendo al corpo un moto lungo una
traiettoria circolare
Esempi di forza centripeta (1)
Palla trattenuta da un filo:
La palla di massa m tenderebbe a mantenere il moto
lungo un percorso rettilineo ( per la prima legge di
Newton),
c
il filo però impedisce questo moto, esercitando
una forza radiale sulla pallina che lo mantiene sulla traiettoria circolare
Tale forza radiale è la tensione del filo che causa il moto circolare
 
F T
Se si spezza il filo, e viene a mancare la tensione la pallina procederà di
moto rettilineo uniforme
con direzione e velocità date dalla velocità all’istante della rottura
Giostra Rotor:
Quando la giostra comincia a girare, le persone
all’interno (poggiate già alla parete) tenderebbero per
inerzia a mantenter un moto rettilineo, ma la parete le
costringe a girare
..\Materiale\rotor.htm


Fc  N
Esercizio sul rotor
Se il coefficiente di attrito statico tra i vestiti di una persona appoggiata alle pareti di un
rotor e le pareti stesse è s 0,40 ed il raggio del cilindro del rotor è R=2,1m
determinare la velocità minima v con cui deve ruotare il rotor (e la persona) perché il
passeggero non scivoli a terra
Se la massa del passeggero è di 49kg, qual è l’intensità della forza centripeta?
Affinchè la persona rimanga attaccata alla parete del rotor e non scivoli giù la
risultante delle forze che agiscono su di essa deve avere componente verticale nulla
F
y
 may  0
Quali sono le forze che agiscono sulla persona nel rotor:
1) Forza peso mg rivolta verticalmente verso il basso
2) La forza normale N esercitata dalla parete sulla persona che la costringe a
ruotare in moto circolare uniforme
v2
2
N è quindi la forza centripeta mv /r.
N m
R
È una forza orizzontale diretta verso il centro del cilindro
3)
La forza d’attrito statico fs tra i vestiti della persona e le pareti del rotor.
Tale forza si oppone allo scivolamento verso il basso, è quindi diretta
verticalmente verso l’alto.
f smax  s N
Il valore massimo di tale forza è proporzionale alla forza normale
La v minima è quella per cui la forza peso e la forza di attrito statico sono uguali

v2
v2
 f smax  s N  s m
 s m
m
R

g

R
 mg  f s  0  f s  mg
max
max

gR
s
 7,2m / s
7,2 N  1210 N  1200 N
v2
Fc  N  m
 49
R
2,1
2
Se m=49 kg
v
NB:
La velocità non
dipende dalla massa
del passeggero
Esempi di forza centripeta (2)
Satellite che orbita intorno alla terra:
Forza gravitazionale:
ogni particella nell’universo attrae un’altra particella con una
forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle due
masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro
distanza e la forza è diretta lungo la congiungente le due masse

m1m2
Fg  G 2 rˆ
r
G=6,67· 10-11 Nm2 / kg2
Il satellite sarà vincolato a ruotare intorno alla Terra a causa della
sua attrazione gravitazionale


msatellite  mterra
Fc  Fg  G
rˆ
2
Rterra  h
Molla e legge di Hooke
Consideriamo un corpo di massa m poggiato su una superficie priva di attrito
ed attaccato all’estremità libera di una molla e consideriamo che la posizione
di equilibrio (F=0) sia in x=0
Se la molla viene allungata o compressa
di un tratto x rispetto alla sua posizione
di equilibrio essa eserciterà una forza
proporzionale allo spostamento che si
oppone ad esso:
legge di Hooke
F  kx
La costante di proporzionalità k è detta
costante elastica della molla
La forza esercitata dalla molla è sempre
diretta in verso opposto a quello dello
spostamento dalla posizione di
equilibrio x=0
NB: la x nella formula rappresenta lo spostamento dalla posizione di equilibrio, se tale
posizione fosse stata in un punto x=xo la legge di Hooke sarebbe stata scritta:
F  k x  x0 

x
Moto (oscillatorio) armonico
La legge di Hooke ci fornisce l’andamento della forza di un corpo soggetto ad una
forza elastica. L’equazione del moto si può ora ricavare dalla seconda legge di
Newton:
F  ma  kx
ma  kx
d 2x
k
a 2  x
dt
m
Equazione differenziale di
secondo grado omogenea
d 2x
2



x
2
dt
Dove:
k
 
m
2
La soluzione di questa equazione è una funzione trigonometrica che rappresenta
una oscillazione:
xt   A cost   
k
k
 
NB:  
è la pulsazione dell’oscillazione, che dipende dalla
m
m
2
costante elastica della molla e dalla massa ad essa applicata.
Moto armonico (2)
xt   A cost   
è una soluzione dell’equazione differenziale:
d 2x
2



x
2
dt
Se infatti deriviamo due volte x(t) otteniamo:
Equazioni di un moto armonico di
ampiezza A, frequenza angolare 
ed angolo di fase 
x  A cost   
dx
d
 A cost     A sin t   
dt
dt
dx
 A sin t   
dt
d 2x
d



A
sin t      2 A cost   
2
dt
dt
d 2x
  2 A cost   
2
dt

 

d 2x
  2 x
2
dt
x
Proprietà del moto armonico (3)
Data l’equazione del moto si possono determinare alcune proprietà del moto
oscillatorio: la pulsazione  ed il periodo T.
Il periodo T e’ pari al tempo minimo che impiega l’oscillazione a tornare alla stessa
posizione con la stessa velocità. Dipende solo da k ed m
2
m
T
T  2

k
La frequenza f è l’inverso del moto e dipende solo da k ed m:
1 
1 k
f  

T 2 2 m
La frequenza angolare :

f
2

2
T
 Le grandezze A e  che compaiono nella soluzione sono l’Ampiezza e la costante
di fase e dipendono dalle condizioni iniziali del moto, cioè dalla posizione e dalla
velocità iniziale.
t     fase del moto
Es: se abbiamo una molla inizialmente allungata di una quantità L e lasciata
libera di oscillare all’istante t=0, essa comincerà ad oscillare tra x=L ed x=-L si
dovrà avere che:
xt   A cost   
xt  0  L
quindi
A  L

cos   1    0
Proprietà del moto armonico (4)
Poiché le funzioni seno e coseno oscillano tra +1 e -1:
I valori estremi per x sono ±A,
I valori estremi di v sono ±A
I valori estremi di a sono ± 2A , quindi
x  A cost   
vx  A sint   
ax   A cost   
2
vmax
k
 A  A
m
amax   2 A 
k
A
m
Moti relativi
Le leggi fisiche non dipendono sistema di riferimento scelto per descrivere il moto.
Lo spazio è omogeneo ed isotropo ovvero non esistono un punto o una direzione
privilegiata dello spazio.
Consideriamo due osservatori:
•
l’osservatore O che si trova in un riferimento S (Oxy) uno posto S

v
•
L’osservatore O’ che si trova nel riferimento S’ (O’x’y’) che si muove con velocità O 'O
rispetto ad S. (il primo pedice indica cosa si sta osservando il secondo da quale osservatore)

 vO 'O è la velocità dell’osservatore O’ misurata dall’osservatore O

Per t=0 i due sistemi coincidono e O’ si sposta rispetto a O come vO'O t
 Un punto Pnel piano
 sarà identificato dai due vettori
posizione rPO e rPO ' nei sistemi S ed S’ rispettivamente
 Si può vedere che:



rPO  rPO '  vO'Ot

rO 'O
Derivando rispetto al tempo si ottiene la velocità di una
particella posta nel punto P misurata dall’osservatore O



rPO  rPO '  vO'Ot
Moti relativi(2)








drPO d rPO '  vO 'Ot
drPO ' 


 vO 'O  vPO '  vO 'O
dt
dt
dt
Deriviamo
rispetto al tempo



vPO  vPO '  vO'O
Relazione che lega la velocità del punto P
rispetto all’osservatore O con la velocità dello
stesso punto rispetto all’osservatore O’
La velocità di P misurata dall’osservatore O è uguale alla velocità di P
misurata dall’osservatore O’ più la velocità dell’osservatore O’ misurata
dall’osservattore O
Caso unidimensionale:
Rispetto all’osservatore O’:
vPO  vPO '  vO'O
vPO '  vPO  vO'O
Velocità relativa
Velocità relativa: velocità di una particella misurata da un osservato in moto
rispetto ad un altro osservatore
Esempio
Una barca naviga in un fiume, che ha una corrente di 1 m/s.
Il suo motore è in grado di produrre una velocità di 2 m/s rispetto alla corrente.
Trovare la velocità della barca rispetto alla riva in tre casi :
vc  1m s
a) barca in favore di corrente;
vbc  2 m s rispettoalla corrente
b) barca contro corrente;
c) barca che naviga a 90° rispetto alla corrente.
br
v ?
a) Barca in favore di corrente
(la barca si muove nello stesso verso della corrente)
vbr  vbc  vcr  3 m s
b) Barca contro corrente
(la barca si muove nel verso opposto alla corrente)
vbr  vbc  vcr  1m s
x
Riva
vcr
vbc
Riva
vcr
vbc
c) Barca che naviga a 90° rispetto alla corrente
vbr x  0  vcr  1 m s 

2
2
v

v

v
br
br y  5 m s
x
 br
vbr y  vbc  0  2 m s 

Riva
vcr
vbc