Prova scritta del 23/06/2009 con soluzioni

Esame di Fluidodinamica del 23 Giugno 2009
Prova scritta con soluzioni
Esercizio n. 1
Con riferimento alla figura, determinare il peso P del blocco prismatico sufficiente ad
impedirne lo scorrimento, essendo Ca il coefficiente di attrito tra blocco e superficie orizzontale. Sia b l’altezza perpendicolare al foglio. Dati: ρ = 1000 kg/m3 , h = 2 m, α = 45◦ ,
Ca = 0.5, b = 1 m.
h
α
h
P
Esercizio n. 2
Dall’ugello rettangolare di altezza h fuoriesce una portata di acqua ṁ. Il getto, deviato
verso il basso, mantiene il prisma, di sezione triangolare e incernierato in A, nella posizione
indicata. Calcolare il peso P del prisma corrispondente a questa posizione di equlibrio.
Si trascuri la variazione di velocità lungo il percorso del getto e si supponga che la retta
d’azione della forza del getto sul prisma passi per il baricentro del prisma. Sia b l’altezza
del getto in direzione perpendicolare al foglio. Dati: ṁ = 1000 kg/s, h = 0.1 m, H = 1 m,
α = 45◦ , b = 1 m.
A
U
H
h
P
α
Esercizio n. 3
Nella sezione 1 del condotto ad area variabile rappresentato in figura il flusso d’aria è
subsonico, mentre nella sezione 3 è presente un urto. Se le aree delle sezioni stanno nel
rapporto A1 : A2 : A3 : A4 = 4 : 3 : 6 : 10, determinare M1 , M4 e il rapporto p4 /p1 tra le
pressioni nelle sezioni 4 e 1.
1
2
3
1
4
Soluzioni
Esercizio n. 1
Forza perpendicolare alla superficie inclinata del prisma:
h
h
b.
F⊥ = ρg h +
2 sin α
Componenti orizzontale e verticale:
h
Fh = F⊥ sin α = ρg h +
hb
2
h
h
Fv = F⊥ cos α = ρg h +
b.
2 tan α
Equilibrio alla traslazione orizzontale:
Fh = Fa
dove la forza di attrito Fa è data da:
Fa = (P + Fv ) Ca .
Si ottiene:
Fh
− Fv
Ca
1
h
1
−
= ρg h +
hb
2
Ca tan α
= 58860 N.
P =
Esercizio n. 2
Dall’equazione di conservazione della quantità di moto ottengo le componenti orizzontale
e verticale della forza agente sul fluido:
Fx = ṁ (U cos α − U )
Fy = −ṁU sin α.
Le componenti della forza esercitata dal getto sul prisma sono:
Rx = −Fx
Ry = −Fy .
Per l’equilibrio alla rotazione attorno ad A si ha:
2 H
2 H
1
=P
Rx H + Ry
3
3 tan α
3 tan α
da cui
P =
ṁU
(tan α + sin α) .
2
Dall’equazione di conservazione della massa si ha:
ṁ
ρhb
= 10 m/s
U=
e risulta, quindi,
P = 8535.5 N.
Esercizio n. 3
L’esercizio si risolve con l’uso delle tabelle del flusso isentropico e delle onde d’urto normali
per l’aria. Nell’uso delle tabelle scelgo i valori più vicini senza interpolare.
Il flusso è sonico nella sezione 2 di gola:
A1
p1
A1
= 0.843.
=
= 1.3333 −→ M1 = 0.5,
∗
A
A2
pt1
Il flusso è supersonico fino a monte della sezione 3 e si ha:

A3 
 = A3 = 2 −→ M3m = 2.2.
∗
A m A2
Dalle tabelle degli urti normali:
M3m = 2.2 −→ M3v = 0.5471,
pt3v
= 0.6281.
pt3m
Dopo la sezione 3 fino alla sezione 4 il flusso è subsonico e si ha:

A4 A3 
A4
 = 1.6667 · 1.2703 = 2.1171 −→ M4 = 0.28, p4 = 0.947.
=
∗
∗
A
A3 A v
pt4
Il rapporto tra le pressioni nelle sezioni 4 e 1 è dato da:
p4
p4 pt4 pt3v pt3m pt1
=
= 0.947 · 1 · 0.6281 · 1/0.843 = 0.7056.
p1
pt4 pt3v pt3m pt1 p1