Operazioni tra vettori
Somma di vettori
Metodo punta-coda
b
a
c
Consideriamo un punto materiale che si muove da A a B, e poi da B a
C. Lo spostamento complessivo è rappresentato dal vettore che unisce
A con C ed è considerato come la somma dei due vettori a e b .
La somma di due vettori si può quindi effettuare con questo metodo
chiamato metodo punta-coda.
a
b
b
a
c =a b
In generale dati due vettori a e b si può trovare la loro somma con
il metodo punta-coda procedendo in questo modo:
Si trasla uno dei vettori senza farlo ruotare facendo coincidere la sua
coda con la punta dell' altro e si ottiene il vettore somma unendo la
coda del primo vettore con la punta del secondo.
Si noti già dalla figura che il modulo di c è diverso dalla somma dei
moduli dei vettori a e b .
Tuttavia questo si può verificare in un caso particolare. Se i vettori
sono collineari, ossia giacciono sulla stessa retta (o su rette parallele)
allora la somma di due vettori coincide con la somma dei loro moduli
se hanno lo stesso verso; con la differenza dei loro moduli se hanno
verso opposto.
AB
BC =
AC
AB BC = AC
AB
BC =
AC
AB− BC = AC
Metodo del parallelogramma
Un metodo per sommare due vettori del tutto equivalente al metodo
punta-coda è il metodo del parallelogramma:
a
c =a
b
b
In questo caso bisogna traslare i due vettori in modo che la coda del
primo coincida con la coda del secondo ed il vettore somma è
rappresentato dalla diagonale maggiore del parallelogramma avente
per lati i due vettori addendi.
Utilizzando questo metodo è molto utile conoscere gli angoli formati
dai vettori per calcolare velocemente il modulo del vettore risultante.
Dimostriamo dunque alcune formule utili nei problemi:
c =a b
a
b
Quando l' angolo formato dai due vettori è di 90° il parallelogramma
diventa un rettangolo, quindi è possibile ottenere la sua diagonale
semplicemente con il teorema di Pitagora:
c = a b
2
2
c =a
b
a
a
b
Quando l' angolo formato dai 2 vettori è di 30° si può effettuare questa
costruzione. Prolunghiamo il vettore b e tracciamo su questo
prolungamento la perpendicolare condotta dalla punta del vettore
somma c . Osserviamo che gli angoli TŜH e CÂS sono congruenti
perchè angoli corrispondenti formati dalle rette parallele AC ed ST
Tagliate dalla trasversale AH. L' angolo TĤS è retto per costruzione e
l' angolo SŤH misura 60° per somma interna. Quindi ST = a perchè
3
lati opposti di un parallelogramma; SH = a perchè si oppone all'
2
angolo di 60° (è possibile dimostrarlo con il teorema di Pitagora) e
TH =
a
perchè si oppone all' angolo di 30°. Determinate queste
2
misure possiamo applicare il teorema di Pitagora al triangolo
rettangolo BHT per calcolare il modulo di c .
AT = AH 2 TH 2
3
AH =b a
2
TH =
a
2
2
2
2
3
a
c= b a
2
In modo analogo è possibile dimostrare il modulo di c quando l'
angolo che i vettori formano è di 60°, anzi è un' esercizio che
consiglio vivamente di fare.
Differenza tra vettori
Ricordo che in algebra la differenza tra a e b è una particolare somma
tra a e l' opposto di b.
a −b =a−b
Quindi tra vettori questo significa che per calcolare il vettore
differenza tra due vettori a e b, esso è dato dalla somma vettoriale tra a
ed il vettore b cambiato di segno:
a
b
a
−
b
c =a − b
a
−
b
La differenza vettoriale può essere eseguita in modo del tutto
equivalente con il metodo del parallelogramma. Infatti si può
dimostrare che costruendo normalmente il parallelogramma la
differenza dei due vettori è rappresentata dalla diagonale minore e che
essa è uguale a quella trovata con il metodo punta-coda.
c =a − b
b
a
−
b
c =a − b
Come si osserva dalla figura i due vettori c =a − b sono congruenti
anche se uno è calcolato con il metodo punta-coda e l' altro è la
diagonale minore del parallelogramma.
