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Funzioni sinusoidali:
rappresentazione e somme
Angoli e misura degli angoli
Prima definizione di angolo
Si definisce angolo ciascuna delle due parti in
cui un piano è diviso da due semirette distinte
con l’origine in comune, semirette comprese.
Le semirette sono i lati dell’angolo, l’origine comune
è detto vertice dell’angolo
Angolo orientato
un angolo si dice orientato quando è generato
da una rotazione del lato origine attorno al vertice
fino ad arrivare al lato termine. Un angolo
orientato si dice positivo se la rotazione è in
verso antiorario, negativo se in verso orario.
La definizione di angolo orientato permette di
considerare angoli maggiori dell’angolo giro
r’
α
r
α
r
𝛼>0
𝛼<0
r’
r’
α
r
𝛼 > 2π
Misura degli angoli
Gradi sessagesimali
Si dice grado sessagesimale la misura dell’ampiezza di un angolo
pari alla 360-esima parte di un angolo giro.
Sottomultipli del grado sessagesimale:
Si dice minuto primo la sessantesima parte di un grado;
si dice minuto secondo la sessantesima parte di un minuto primo.
𝛼 = 28° 32′ 40′′
B
Radianti
Data una circonferenza di raggio r e un angolo al centro α,
che insiste su un arco AB, il rapporto tra la lunghezza di AB
ed r è detto misura in radianti di α.
N.B. dalla definizione di radiante è evidente che un angolo
essendo il rapporto tra due lunghezze è, dal punto di vista
fisico, adimensionale
r
O
𝛼=
𝐴𝐵
𝑟
α
A
Le funzioni seno e coseno
circonferenza trigonometrica
𝑦
1
sin 𝛼
P
sin 𝛼
O
α
𝛼
cos 𝛼
1
𝑥
cos 𝛼
Consideriamo la circonferenza goniometrica
(circonferenza di centro l'origine e raggio 1).
Consideriamo un punto P su di essa e
l'angolo α formato dal raggio OP e dall'asse delle ascisse.
L'ascissa e l'ordinata del punto P sono
rispettivamente il coseno ed il seno dell'angolo α.
P = (cos α , sin α) .
Proprietà delle funzioni seno e coseno
sono funzioni periodiche di periodo 2π
sin(𝛼 + 2𝜋) = sin 𝛼
cos 𝛼 + 2𝜋 = cos 𝛼
sin 𝛼
a
cos 𝛼
Funzione seno con argomento (x)
Sin a
y=sin x
argomento delle funzioni trigonometriche: x è un angolo
espresso in radianti
Funzione seno con argomento f(x)
sin 𝑏𝑥 + 𝑐
bx+c:
è l’argomento della funzione seno (o di qualsiasi funzione trigonometrica) e deve
avere le dimensioni di un angolo , espresso in radianti
𝑎 sin 𝑏𝑥 + 𝑐
a:
è max ampiezza dell’oscillazione (pari a 1 nella funzione trigonometrica y=sin x)
Funzione seno con argomento f(x)
sin 𝑥
sin(𝑓 𝑥 )
In questa applet di Mathematica
sono rappresentate due funzioni
seno, la prima costante con
ampiezza 1, mentre nella seconda
è possibile variare l’ampiezza a,
la «frequenza» b, e la fase c
sin 𝑥
𝑎 sin 𝑏𝑥 + 𝑐
Le onde e le loro proprietà
Onde marine
La luce: onda elettromagnetica
È necessario considerare la natura
ondulatoria della luce in fenomeni
quali polarizzazione, interferenza, diffrazione
Onde sonore
Onda:
perturbazione che si propaga nel tempo e nello spazio
Propagazione
nello spazio
spazio
Propagazione
nel tempo
Periodo temporale
T (T=1/frequenza)
tempo
Espressione matematica di un’onda
𝑦 = 𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛
2𝜋
l
(x−𝑣t)
2𝜋
2𝜋
= 𝐴𝑠𝑖𝑛( x- T t)= 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘x-wt)
l
La fase dell’onda
L’argomento del seno (o coseno) si chiama fase dell’onda, e rappresenta un angolo
𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛
2𝜋
2𝜋 2𝜋
(x−𝑣t) +𝜑0 = 𝐴𝑠𝑖𝑛( x− t+𝜑0 )= 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘x−wt+𝜑0 )
l
l
T
Fase
𝜑=
2𝜋
2𝜋 2𝜋
(x−𝑣t)+𝜑0 =
x− t+𝜑0
l
l
T
Nella fase ho dei parametri: l, v (oppure T) e j0(fase iniziale) e delle variabili x e t
Perciò la fase di un’onda dipende da x e t. Se voglio calcolarla:
𝑦 𝑥, 𝑡
𝜑 𝑥, 𝑡 = arcsin(
)
𝐴
Vediamo il significato di questi parametri
La fase iniziale j0
2𝜋
2𝜋
2𝜋
𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛( x- t0)=𝐴𝑠𝑖𝑛
(x−𝑣t0)
l T
l
= 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘x−wt0)
2
È come fare una fotografia (istantanea a t0)!
Equazione delle onde, rappresentazione spaziale : la lunghezza d’onda
Plot[ 𝐴 ∗ Sin[2 Pi 𝐿 𝑥 − 𝑣 ∗ 𝑡0
Equivalente a
2𝜋
𝐴 sin
𝑥 − 𝑣𝑡0
𝜆
λ=4
Dal grafico ricaviamo la
distanza tra le ascisse di due
massimi adiacenti oppure tra due
punti qualunque di fase uguale.
Questa distanza corrisponde
alla lunghezza d’onda dell’onda
sinusoidale
,…..
Equazione delle onde rappresentazione spaziale: la velocità
Plot[ 𝐴 ∗ Sin[2 Pi 𝐿 𝑥 − 𝑣 ∗ 𝑡0
,…..
Equivalente a
2𝜋
𝐴 sin
𝑥 − 𝑣𝑡0
𝜆
con parametri 𝜆 = 4, v=3
Δ𝑥
Δ𝑥 = 3
L’onda si muove con velocità costante,
Quindi la velocità è lo spazio
percorso nell’unità di tempo
Δ𝑥
𝑣=
Δ𝑡
se disegniamo la stessa onda a due
tempi differenti, t=0 e t=1 e misuriamo Δ𝑥
otteniamo la velocità
3
𝑣= =3
1
2𝜋
2𝜋
2𝜋
𝑦 = 𝐴𝑠𝑖𝑛( x0- T t)=𝐴𝑠𝑖𝑛
(x −𝑣t)
l
l 0
= 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝑘x0−wt)
Equazione delle onde, rappresentazione temporale: il periodo
Plot[ 𝐴 ∗ Sin[2 Pi 𝐿 𝑥0 − 𝑣 ∗ 𝑡
,…..
Equivalente a
2𝜋
2𝜋
𝐴 sin
𝑥0 −
𝑡
𝜆
𝑇
T
Se rappresentiamo un onda a
spazio fissato (x=0) possiamo
ricavare direttamente il periodo
dal grafico, basta infatti misurare
l’intervallo di tempo tra due
punti successivi dell’onda con
la stessa fase. Si può confrontare
il risultato con i parametri
impostati ricordando che
𝜆
𝑇= =2
𝑣
Equazione delle onde, rappresentazione temporale: la frequenza
7.5 cicli in un secondo
Se rappresentiamo un onda a
spazio fissato (x=0) possiamo
ricavare direttamente la frequenza
contando il numero di cicli che
l’onda compie nell’unità di tempo
Si può confrontare il risultato con
i parametri impostati ricordando
che
1 𝑣
𝜈 = = = 7.5
𝑇 𝜆
Esercitazione
Gli esercizi vanno svolti utilizzando Excel
1) Graficare la funzione f x = sin 𝑥 cos 𝑥, ricavando dal grafico per quali valori delle
ascisse si osservano i primi 3 massimi positivi
2)Disegnare in secondo grafico la funzione f x = sin 𝑥 cos 𝑥 insieme a f(x) = sin(x).
Commentare le analogie e le differenze (es: ampiezze, periodicità)
3)Verificare che in un’onda con velocità di propagazione 𝑣 vale la relazione 𝝀 = 𝒗𝑻
A tal fine utilizzare la rappresentazione temporale per ricavare graficamente
il periodo T e la rappresentazione spaziale per ricavare la lunghezza d’onda λ.
Verificare quindi la relazione sopra. L’onda sarà descritta dall’equazione
2𝜋
𝑓 𝑥 = 𝐴 sin
𝑥 − 𝑣𝑡
𝜆
usare A=3 m; λ=0.2 m; v=10 m/s
scegliere opportunamente gli intervalli in x ed in t entro cui rappresentare l’onda f(x)
4) Disegnare i due grafici della rappresentazione spaziale dell’onda del punto 3) utilizzando
valori di t0 ottenuti sommando T/2 e T al dato utilizzato per i grafici del punto 3.