insieme - I blog di Unica

ALCUNI CENNI SUGLI INSIEMI
In Matematica il concetto di insieme è assunto
come “primitivo”, cioè non si definisce.
Considereremo quindi la nozione di insieme dal
punto di vista intuitivo.
Un insieme è quindi un agglomerato di oggetti
di qualsiasi specie (numeri, persone, piante,
elementi chimici, ecc.)
Tali oggetti si chiamano elementi dell’insieme.
Esempi
l’agglomerato dei pazienti di un ospedale
Esempi
l’agglomerato dei pazienti di un ospedale
la totalità dei numeri pari
Esempi
l’agglomerato dei pazienti di un ospedale
la totalità dei numeri pari
la collezione degli studenti iscritti al Corso di
Laurea in Farmacia dell’Università di Cagliari.
Gli insiemi si indicano usualmente con le lettere
maiuscole
A, B, C, …
racchiudendo in parentesi graffe gli elementi che
appartengono all’insieme.
Per esempio,
S = {vista, udito, olfatto, gusto, tatto}
è l’insieme dei cinque sensi
Per esempio,
S = {vista, udito, olfatto, gusto, tatto}
è l’insieme dei cinque sensi
A = {1, 2, 4, 8}
è l’insieme dei divisori del numero 8.
Un modo per rappresentare graficamente un insieme
è disegnare una figura geometrica di questo tipo:
S • vista
• udito
• olfatto
• gusto
• tatto
insieme dei 5 sensi
A
•1
•2
•4
•8
insieme dei divisori di 8
S ed A sono esempi di insiemi finiti, cioè insiemi con
un numero finito di elementi.
Invece un esempio di insieme infinito è l’insieme
dei numeri naturali
N = {1, 2, 3, 4, …..}.
Invece un esempio di insieme infinito è l’insieme
dei numeri naturali
N = {1, 2, 3, 4, …..}.
Un altro esempio di insieme infinito è l’insieme
dei numeri relativi
Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ….}
o l’insieme dei numeri reali, indicato con il
simbolo
R
Per esprimere che un oggetto appartiene ad un
insieme si usa il simbolo
∈
e si legge
“appartiene a”.
Per esempio, per dire che il numero 12
appartiene all’insieme dei numeri naturali si
scrive
12 ∈ N.
Invece, per dire che un oggetto non fa parte di
un insieme si usa il simbolo
∉
che si legge:
“non appartiene a”.
Per esempio,
intuito ∉ S
π∉N
5 ∉ {numeri pari}
Per insiemi molto grandi spesso è sconveniente
o impossibile elencarne tutti gli elementi.
Quindi essi vengono definiti per mezzo di parole
o espressioni matematiche.
Per insiemi molto grandi spesso è sconveniente
o impossibile elencarne tutti gli elementi.
Quindi essi vengono definiti per mezzo di parole
o espressioni matematiche.
Per esempio, come descriviamo l’insieme di tutti
i numeri più grandi di 8 ?
Non possiamo enumerare tutti i numeri reali più
grandi di 8. Ma possiamo scrivere
{x ∈ R tali che x > 8}
Per usare una scrittura più abbreviata, al posto
delle parole “tali che” si può usare il simbolo
:
oppure
|
Per usare una scrittura più abbreviata, al posto
delle parole “tali che” si può usare il simbolo
:
oppure
|
Per esempio cosa indica questa scrittura?
2
{x ∈ R | x = 4}
Per usare una scrittura più abbreviata, al posto
delle parole “tali che” si può usare il simbolo
:
oppure
|
Per esempio cosa indica questa scrittura?
2
{x ∈ R | x = 4}
Essa indica l’insieme dei numeri reali che elevati
al quadrato danno 4, cioè i numeri 2 e -2.
Quindi
2
{x ∈ R | x = 4} = {2, –2}.
Due insiemi A e B si dicono uguali, e si indica
con il simbolo
A=B
quando contengono
elementi.
esattamente
gli
stessi
Ora consideriamo
2
{x ∈ R | x = –1}
Ora consideriamo
2
{x ∈ R | x = –1}
Tale insieme non ha alcun elemento, perché
nessun numero reale elevato al quadrato è
uguale a -1.
Nasce quindi l’esigenza di considerare l’insieme
privo di elementi, indicato con il simbolo
∅
e chiamato insieme vuoto.
Nasce quindi l’esigenza di considerare l’insieme
privo di elementi, indicato con il simbolo
∅
e chiamato insieme vuoto.
Pertanto
{x ∈ R | x2 = –1} = ∅
Sottoinsiemi
Consideriamo
A = insieme dei farmaci antipiretici
B = insieme di tutti i farmaci
Chiaramente tutti gli elementi di A sono anche
elementi di B.
Sottoinsiemi
Consideriamo
A = insieme dei farmaci antipiretici
B = insieme di tutti i farmaci
Chiaramente tutti gli elementi di A sono anche
elementi di B.
Possiamo
rappresentare
graficamente tale situazione in questo modo:
A
B
In generale, diremo che
A è sottoinsieme di B
se
tutti gli elementi di A sono anche elementi di B
Ciò si indica con il simbolo
A⊂B
Conseguenze immediate
1) A ⊂ A
2) ∅ ⊂ A
per qualsiasi insieme A.
Esempi
1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3} ?
Esempi
1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3} ?
∅, {1,2,3},
Esempi
1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3} ?
∅, {1,2,3},
{1},
Esempi
1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3} ?
∅, {1,2,3},
{1},
{2},
Esempi
1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3} ?
∅, {1,2,3},
{1},
{2},
{3},
Esempi
1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3} ?
∅, {1,2,3},
{1},
{2},
{3},
{1,2},
Esempi
1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3} ?
∅, {1,2,3},
{1},
{2},
{3},
{1,2},
{1,3},
Esempi
1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3} ?
∅, {1,2,3},
{1},
{2},
{3},
{1,2},
{1,3},
{2,3}
Esempi
1. Quali sono i sottoinsiemi di {1,2,3} ?
∅, {1,2,3},
{1},
{2},
{3},
{1,2},
{1,3},
{2,3}
2. Consideriamo
A = insieme di tutte le malattie cardiovascolari
B = {angina pectoris}
Allora
B ⊂ A.
3. Indichiamo con
A = l’insieme dei quadrilateri
B = l’insieme dei rombi
C = l’insieme dei quadrati
Allora si ha che
C⊂B⊂A
Unione
L’unione di due insiemi A e B è l’insieme,
indicato
A∪B
i cui elementi sono esattamente gli elementi che
appartengono ad A oppure che appartengono a
B.
Più in breve:
A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B}
A
B
A∪B
Esempi
1. Consideriamo gli insiemi
A = {-2, 0, 1}
e
B = {1, 2, 3, 4}
Allora:
A∪B=?
Esempi
1. Consideriamo gli insiemi
A = {-2, 0, 1}
e
B = {1, 2, 3, 4}
Allora:
A ∪ B = {-2, 0, 1, 2, 3, 4}
2. Siano
A = insieme dei numeri pari
B = insieme dei numeri dispari
Allora
A∪B=?
2. Siano
A = insieme dei numeri pari
B = insieme dei numeri dispari
Allora
A∪B=Z
Intersezione
Si chiama intersezione di A e B l’insieme,
indicato con
A∩B
costituito dagli elementi che appartengono sia
ad A che a B.
Più in breve,
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
In altre parole, A ∩ B è l’insieme degli elementi
che i due insiemi A e B hanno in comune.
B
A
A∩B
Può anche capitare che due insiemi non abbiano
alcun elemento in comune.
In questo caso
A∩B=∅
cioè i due insiemi hanno intersezione vuota.
Esempi
1


1. − π , , 10, 11, 12 ∩ {π , 10, 11, 50} = ?
2


Esempi
1


1. − π , , 10, 11, 12 ∩ {π , 10, 11, 50} = ?
2


A
B
• -π
•
12
• 10
• 11
•π
• 50
•
1/2
A∩B
Esempi
1


1. − π , , 10, 11, 12 ∩ {π , 10, 11, 50} = {10, 1 1}
2


A
B
• -π
•
12
• 10
• 11
•π
• 50
•
1/2
A∩B
2. R ∩ N = N.
Infatti ogni numero naturale è anche un numero
reale.
2. R ∩ N = N.
Infatti ogni numero naturale è anche un numero
reale.
3. Sia
A = insieme dei rettangoli
B = insieme dei rombi
Allora
A ∩ B = insieme di quei rombi che sono anche
rettangoli
= insieme dei quadrati
2. R ∩ N = N.
Infatti ogni numero naturale è anche un numero
reale.
3. Sia
A = insieme dei rettangoli
B = insieme dei rombi
Allora
A ∩ B = insieme di quei rombi che sono anche
rettangoli
= insieme dei quadrati
2. R ∩ N = N.
Infatti ogni numero naturale è anche un numero
reale.
3. Sia
A = insieme dei rettangoli
B = insieme dei rombi
Allora
A ∩ B = insieme di quei rombi che sono anche
rettangoli
= insieme dei quadrati
Differenza
La differenza tra due insiemi A e B è l’insieme,
indicato
A\B
i cui elementi sono gli elementi di A che non
appartengono a B:
A \ B = {x ∈ A | x ∉ B}
A
B
A\B
Nel caso particolare in cui A ⊂ S, la differenza
S \ A si chiama complementare di A rispetto ad
S e si indica con
c
A
S
A
S\A=A
c
Esempi
1. {-1, 0, 4, 5} \ {-1, 4} = ?
Esempi
1. {-1, 0, 4, 5} \ {-1, 4} = {0, 5}
Esempi
1. {-1, 0, 4, 5} \ {-1, 4} = {0, 5}
2. Siano
A = insieme degli anti-infiammatori
B = insieme dei cortisonici
Allora
A\B=?
Esempi
1. {-1, 0, 4, 5} \ {-1, 4} = {0, 5}
2. Siano
A = insieme degli anti-infiammatori
B = insieme dei cortisonici
Allora
A \ B = anti-infiammatori non steroidei
Simbologia
In Matematica si tende ad usare dei simboli in
luogo di espressioni di parole
Simbologia
In Matematica si tende ad usare dei simboli in
luogo di espressioni di parole
per una questione di comodità
Simbologia
In Matematica si tende ad usare dei simboli in
luogo di espressioni di parole
per una questione di comodità
per evitare di scrivere espressioni matematiche troppo lunghe
Simbologia
In Matematica si tende ad usare dei simboli in
luogo di espressioni di parole
per una questione di comodità
per evitare di scrivere espressioni matematiche troppo lunghe
per poter disporre di un linguaggio universale
comune a tutti gli scienziati, anche di diversa
nazionalità
Riassumiamo qui sotto alcuni di questi simboli
con il relativo significato.
x ∈ A x appartiene
all’insieme A
x ∉ A x non appartiene
all’insieme A
|
tale che
:
esiste
∃
∀ per ogni
∅ insieme vuoto
A ⊂ B A è sottoinsieme di B
A ∪ B unione di A e B
A∩B
A\B
Ac
⇒
⇔
intersezione di A e B
differenza di A e B
complementare di A
implica
è equivalente a
(oppure “se e solo se”)
L’implicazione
Cosa significa il simbolo “⇒” ?
L’implicazione
Cosa significa il simbolo “⇒” ?
Si usa per esprimere in forma abbreviata che
“se succede P allora capita anche Q”
Scriveremo
P⇒Q
e si legge
“P implica Q”
Esempio
Consideriamo la frase
“Se Ugo è uno studente italiano allora è uno
studente europeo”
Esempio
Consideriamo la frase
“Se Ugo è uno studente italiano allora è uno
studente europeo”
Questo si può abbreviare scrivendo
Ugo è studente italiano ⇒ Ugo è studente europeo
Esempio
Consideriamo la frase
“Se Ugo è uno studente italiano allora è uno
studente europeo”
Questo si può abbreviare scrivendo
Ugo è studente italiano ⇒ Ugo è studente europeo
P
Q
Esempio
Consideriamo la frase
“Se Ugo è uno studente italiano allora è uno
studente europeo”
Questo si può abbreviare scrivendo
Ugo è studente italiano ⇒ Ugo è studente europeo
P
Q
Se P ⇒ Q non è affatto detto che Q ⇒ P.
Per esempio il fatto che Ugo è un alunno europeo
non implica che egli sia necessariamente italiano.
Quando accade che si abbia
P ⇒ Q e nello stesso tempo anche che Q ⇒ P
diremo che P e Q sono equivalenti e useremo il
simbolo
P⇔Q
Che si legge “P equivale a Q” oppure “P se e
solo se Q”.
Esempio
Consideriamo le affermazioni
P = “Andrea ha superato l’esame di Matematica”
Q = “Andrea ha ottenuto un voto almeno pari a
18/30 all’esame di Matematica”
Esempio
Consideriamo le affermazioni
P = “Andrea ha superato l’esame di Matematica”
Q = “Andrea ha ottenuto un voto almeno pari a
18/30 all’esame di Matematica”
Chiaramente
P⇒Q
Esempio
Consideriamo le affermazioni
P = “Andrea ha superato l’esame di Matematica”
Q = “Andrea ha ottenuto un voto almeno pari a
18/30 all’esame di Matematica”
Chiaramente
P⇒Q
Ma anche
Q⇒P
Esempio
Consideriamo le affermazioni
P = “Andrea ha superato l’esame di Matematica”
Q = “Andrea ha ottenuto un voto almeno pari a
18/30 all’esame di Matematica”
Chiaramente
P⇒Q
Ma anche
Q⇒P
Quindi
P⇔Q