ESERCIZI VARI
ARGOMENTO: FUNZIONI LINEARI, QUADRATICHE, POLINOMIALI,
POTENZA, RAZIONALI
ESERCIZI SVOLTI
1- In ciascuno dei seguenti casi determina l’espressione esplicita di una funzione
lineare f:R→ R che soddisfa le condizioni indicate:
a) il grafico di f interseca l’asse x in (3,0) e l’asse y in (0,-2);
b) f è una funzione dispari ed f(1)= -1/3;
c) il grafico di f interseca l’asse y in (0,-2) e non interseca l’asse x;
d) l’inversa di f è la funzione f –1(y) = 2y –3.
SOLUZIONI: a) si cerca f(x)=ax+b, le condizioni f(3)=0 ed f(0)=-2 impongono che
3a+b=0 e b= -2, dunque a=2/3, per cui f(x)=2/3x –2;
b) f(x)=ax+b tale che f(-x)= -f(x), da cui –ax + b= -ax-b da cui b=0, inoltre f(1)= a =
-1/3, quindi f(x)=-1/3x;
c) per non intersecare l’asse x il grafico di f deve essere una retta parallela all’asse x,
dunque f(x)=k, k costante, dovendo inoltre essere f(0)=-2 si ha k=-2 per cui f(x)=-2;
d)poiché f –1(y)=x si ha x= 2y-3, da cui y=(x+3)/2, dunque f(x) =(x+3)/2
2- Risolvi la seguente disequazione per tutte le funzioni dell’esercizio
precedente: f(x) ≥ 1
SOLUZIONI:
a) 2/3x-2 ≥ 1, da cui x ≥ 9/2; b) -1/3x≥ 1 da cui x≤ - 3; c) non ci sono soluzioni;
d) (x+3)/2 ≥ 1, da cui x≥ -1
3- In un laboratorio si devono acquistare due reagenti A e B. Un grammo del
reagente A costa 8 euro, un grammo del reagente B costa 4 euro. Servono
almeno 15 g del reagente A e 25 g del reagente B. Si dispone di uno spazio di
150 cm3 per riporre i due reagenti. Sapendo che 1 g di A occupa 1 cm3 ed 1 g
di B occupa 3 cm3, che ordine si deve effettuare per riempire totalmente i 150
cm3 a disposizione e spendere il meno possibile? Quanto si spende?
SOLUZIONE: Indichiamo con x i grammi del reagente A e con y quelli di B; le
condizioni sono x≥ 15, y≥ 25 , x+3y=150 la funzione costo è C(x.y)= 8x+4y e deve
essere resa minima; nel piano cartesiano osserviamo che la retta x+3y=150 interseca
la retta x=15 per y=45 e la retta y=25 per x=75, possiamo osservare graficamente che
la funzione costo avrà un minimo valore, dati i vincoli, nel punto (15,45); oppure con
il calcolo, sostituendo ad esempio ad x, nella funzione costo, 150-3y, otteniamo
C(y)= 1200-20y che ha valore minimo quando y è massimo, vale a dire y=45. Si
spendono 300 euro.
4- In ciascuno dei seguenti casi determina l’espressione esplicita di una funzione
quadratica f:R→ R che soddisfa le condizioni indicate:
a) il grafico di f interseca l’asse y in (0,2) e l’asse x in (-2,0) e (1,0);
b) f(1) = 2 e il grafico di f interseca l’asse x in (0,0) e (10,0);
c) f(1)=1, f(2)=4, e f è una funzione pari.
SOLUZIONE: a) cerchiamo una funzione del tipo f(x)=ax2 + bx+c, dovendo essere
f(0)=2 si ha c=2, inoltre si deve avere 4a-2b+2=0 e a+b+2=0, da cui otteniamo a = b =
-1, per cui f(x)= -x2 –x +2;
b) le condizioni sono, rispettivamente, a+b+c=2, c=0, 100 a+10 b+c=0, da cui a=-2/9,
b= 20/9, per cui f(x)= -2/9 x2 +(20/9)x;
c)le condizioni sono, rispettivamente, a+b+c=1, 4a+2b+c=4, f(-x)=f(x) per cui ax
–bx+c=ax2 +bx+c, da cui b=0, quindi a=1, c=0, per cui f(x)=x2
2
5- Risolvi la seguente disequazione per tutte le funzioni dell’esercizio
precedente: f(x) ≤ 1.
SOLUZIONE:a) -x2 –x +2≤ 1 per x≤ (-1-√5)/2 oppure x≥ (-1+√5)/2;
b) -2/9 x2 +(20/9)x ≤ 1 per x≤ (10-√(82))/2 oppure x≥ (10+√(82))/2;
c) x2 ≤ 1 per -1≤ x ≤ 1.
6- Determina una funzione quadratica che si annulli in x1 = -t2 e x 2 = t/3.
SOLUZIONI: ricordando la fattorizzazione di un polinomio…possiamo scrivere
f(x)=(x+t2)(x-t/3)= x2+(t2-t/3)x – t3/3.
7- Per quale sottoinsieme I⊂ R, la funzione f:R→I tale che f(x)=2x2 –1 ha
codominio I ed è surgettiva?
SOLUZIONE: la funzione ha per grafico una parabola con la concavità rivolta verso
l’alto e vertice nel punto (1/4, -7/8), dunque il valore minimo assunto dalla funzione è
–7/8, dobbiamo prendere I={x∈R: x≥-7/8} affinchè la funzione risulti surgettiva su I.
8- Tre misure sperimentali della temperatura T, misurata in gradi centigradi, in
funzione del tempo t, misurato in minuti, relative ad un fenomeno di
raffreddamento, hanno fornito i seguenti dati: (5, 125), (10, 105), (15, 55),
dove, ad esempio, la coppia (5, 125) indica che per t=5 T(5)= 125.
Supponendo che la funzione che lega le due quantità sia quadratica:
a) Trova l’espressione esplicita della funzione quadratica il cui grafico
passa per i dati
b) Per quale intervallo di valori tale funzione può effettivamente
rispecchiare il fenomeno di raffreddamento?
SOLUZIONE: a) si impone il passaggio per i punti assegnati della generica funzione
quadratica T(t)=at2 +bt+c, si ha
125=25a+5b+c
105=100a+10b+c
55=225a+15b+c
Risolviamo il sistema con il metodo di eliminazione di Gauss:
Moltiplichiamo la prima equazione per 4 e ci sottraiamo la seconda e sostituiamo con
l’equazione risultante la seconda equazione:
125=25a+5b+c
395= 10b + 3c
55=225a+15b+c
Moltiplichiamo la prima equazione per 9 e ci sottraiamo la terza equazione e
sostituiamo con l’equazione risultante la terza equazione:
125=25a + 5b + c
395= 10b + 3c
1070= 30b + 8c
Moltiplichiamo la seconda equazione per 3 e ci sottraiamo la terza, sostituendo con
l’equazione risultante la terza equazione:
125=25a + 5b + c
395= 10b + 3c
115= c
da cui a= -0.6, b=5, c=115, dunque T(t)=-0.6t2 +5t+115
b) Poichè vogliamo descrivere un fenomeno di raffreddamento, la temperatura deve
essere decrescente nel tempo. La funzione T(t) ha per grafico una parabola con la
concavità rivolta verso il basso, il vertice ha ascissa t=25/6 ≈ 4.17, inoltre si ha T(t)=0
per t=(5±sqr(301))/1.2, la radice positiva si ha per t≈18.62; quindi l’intervallo in cui
T(t) descrive il fenomeno di raffreddamento è ragionevolmente dato
approssimativamente da [4.17, 18.62], questo se il fenomeno di raffreddamento
comporta il portare a 0 la temperatura, se invece raffreddando si raggiunge la
temperatura ambiente, ad esempio 20 gradi, dovremmo determinare t tale che T(t)=20
e questo avviene per t ≈ 17.42, quindi l’intervallo sarebbe approssimativamente
[4.17, 17.42].
9- Determina la molteplicità di x0 = 1 come radice dei seguenti polinomi:
c) 3x 4 + x3 – 5x2 + x;
d) x5 – 6x4 + 13x3 – 13x2 + 6x – 1;
e) x3 –3x2 + x + 1
SOLUZIONE: a) si osserva che x=1 è radice del polinomio p(x)= 3x 4 + x3 – 5x2 + x
in quanto si ha p(1)=0; dividiamo il polinomio per x-1, otteniamo p(x)= 3x 4 + x3 –
5x2 + x = (x-1)(3x3 + 4 x2 –x), poiché il polinomio quoziente 3x3 + 4 x2 –x non è più
divisibile per x=1, la molteplicità della radice è 1;
b) si osserva che x=1 è radice del polinomio p(x)= x5 – 6x4 + 13x3 – 13x2 + 6x – 1,
dividiamo il polinomio per x-1, otteniamo p(x)=(x-1)( x4 – 5x3 + 8x2 – 5x +1), poiché
il polinomio quoziente è ancora divisibile per x-1, in quanto x=1 è radice del
polinomio quoziente, , dividiamo x4 – 5x3 + 8x2 – 5x +1 per x-1, otteniamo p(x)=(x1)2(x3 – 4x2 + 4x –1), il polinomio quoziente x3 – 4x2 + 4x –1 è ancora divisibile per x1, quindi dividiamo ancora per x-1 , si ottiene p(x)=(x-1)3(x2 -3x +1); il polinomio
quoziente x2 -3x +1 non è divisibile per x-1, dunque la molteplicità della radice x0 = 1
per il polinomio p(x)= x5 – 6x4 + 13x3 – 13x2 + 6x – 1 è 3;
c)procedendo come in a) e b) si ottiene p(x)= x3 –3x2 + x + 1=(x-1)( x2 -2x –1), la
radice x0 = 1 ha molteplicità 1.
10- Se le dimensioni lineari di un animale aumentano del 15%, di quanto
aumentano percentualmente superficie e volume?
SOLUZIONE: poiché sappiamo che la superficie è proporzionale alle dimensioni
lineari al quadrato, la superficie subirà un aumento del (0.15)2 + 2(0.15)=0.3225
vale a dire un aumento percentuale del 32.25%; poiché sappiamo che il volume è
proporzionale alle dimensioni lineari al cubo, il volume subirà un aumento del
(0.15)3 + 3(0.15)2 + 3(0.15)≈ 0.52, quindi un aumento percentuale del 52% circa.
11- Le dimensioni lineari di un animale sono aumentate del p% in modo che il
volume sia aumentato del 50%. Determina p, e trova l’aumento percentuale
della superficie.
SOLUZIONE: (p/10)3 + 3(p/10)2 + 3(p/10)=0.50 valida per p ≈ 14.5, l’aumento
percentuale della superficie sarà dunque circa il 31%.
12- Determina il dominio e l’immagine delle seguenti funzioni:
a. f(x)=2x –3;
b. f(x)= π x –4/5;
c. f(x)= (x 2 + 1)-1
SOLUZIONI: a) Dominio: per ogni x reale con x≠0. Immagine: per ogni y reale con
y≠0, infatti posto y= 2x –3 per ogni y≠0 è possibile ottenere x=(2/y)1/3 come
controimmagine nel dominio; b) Dominio: per ogni x reale con x≠0. Immagine: ogni
y reale positivo, infatti solo per y>0 è possibile trovare una controimmagine nel
dominio x=(π/y)3/4; c) Dominio: per ogni x reale. Immagine:l’intervallo semiapert
0<y≤1, infatti solo per tali valori di y è possibile trovare una controimmagine nel
dominio |x|=((1-y)/y)1/2.
13- Determina la funzione lineare fratta il cui grafico è ottenuto partendo dal
grafico di f(x)= x/(x-2) e poi:
a. traslando il grafico di 1 unità verso l’alto e poi moltiplicando la
funzione per 5;
b. moltiplicando la funzione per 5 e poi traslando il grafico di 1 unità
verso l’alto;
c. moltiplicando le ascisse per 3 e poi traslando il grafico di 2 unità verso
sinistra;
d. traslando il grafico di 2 unità verso sinistra e poi moltiplicando le
ascisse per 3.
SOLUZIONI: a) corrisponde a g(x)= 5(f(x)+1)= 10(x-1)/(x-2); b) corrisponde a
g(x)=5f(x) + 1= (6x-2)/(x-2); c) corrisponde a h(x)=g(x+2), dove g(x)= f(3x), dunque
h(x)=3(x+2)/(3(x+2)-2) =(3x+6)/(3x+4); d) corrisponde ad h(x)= g(3x), dove g(x)=
f(x+2), dunque h(x)=(3x+2)/3x
14- Traccia il grafico di f(x)= (2x+1)/(2x-2) e determina per quali x f(x)>0
SOLUZIONI: Dominio: per ogni x reale con x≠1; si ha f(x)=0 per x=-1/2; si ha
f(0) =-1/2; determinare per quali x si ha f(x)>0, corrisponde a trovare le soluzioni
della disequazione (2x+1)/(2x-2) >0, che valida per x<-1/2 oppure x>1;i limiti di
f(x) per x→±∞ sono uguali ad 1, essendo i polinomi a numeratore e a
denominatore di uguale grado ed i coefficienti del monomio di grado più alto
uguali (in questo caso 2x e 2x); il limite destro per x che tende ad 1 (con x>1) è
+∞, mentre il limite sinistro (x<1) è -∞.
