PROBLEMA 1
1. Dal teorema fondamentale del calcolo integrale si deduce che nell’intervallo assegnato,
pertanto, tenendo conto anche delle proprietà del grafico si ha: e . La funzione , essendo
continua in un intervallo chiuso e limitato, ammette, per il teorema di Weierstrass, massimo
e minimo.
Per delineare l’andamento della funzione si tenga presente che:
a.
è la funzione che rappresenta, nell’intervallo chiuso , l’area racchiusa tra il grafico
di e l’asse e, nell’intervallo chiusoè sempre non negativa. Pertanto la nell’intorno
destro di 0 deve assumere valori positivi ;
b. poiché la nell’intervallo chiuso deve assumere valori di segno opposto, in modo tale
che le aree delimitate dalla e dall’asse delle ascisse devono dare contributi opposti;
c. dall’andamento di si deduce anche che la funzione è non negativa nell’intervallo
chiuso e non positiva nell’intervallo chiuso.
Un possibile andamento della funzione è il seguente:
2. Poiché la funzione ha un minimo relativo in ed è un polinomio di 3° grado, la sua
equazione sarà del tipo . Pertanto si ha: e . Dal grafico di si evince che:
(essendo e sono discordi)
Si ha pertanto e .
3. Le condizioni poste danno un sistema. la soluzione è .
La cubica richiesta è: .
I punti della curva di ordinata 2/3 si ottengono risolvendo il sistema , eliminando quella di
ascissa negativa. Essi sono: e .
Le equazioni delle normali sono, rispettivamente:
e .
I coefficienti angolari delle normali sono gli antireciproci delle derivate prime calcolate nei
rispettivi punti.
4. Il volume generato dalla rotazione di R si può considerare come somma di infinite corone
cilindriche infinitesime di altezza e raggi di base e il cui volume è , trascurando gli
infinitesimi del secondo ordine.
Pertanto il volume richiesto è .
La capacità del solido W è .
PROBLEMA 2
1. Si ha: . Lo studio del segno della derivata prima fornisce quanto segue:
tutto su un grafico si ha:
. Riportando il
Si ha pertanto il seguente punto di minimo relativo che è anche minimo assoluto in
quanto , e il seguente punto di massimo relativo che è anche massimo assoluto in quanto .
2. L’origine O è centro di simmetria per la curva in quanto risulta .
Indicato con l’angolo richiesto, si ha . Ne segue .
3. Il grafico richiesto è l’unione del grafico di e del suo simmetrico rispetto all’asse ,.
L’area richiesta, essendo il grafico simmetrico rispetto a entrambi gli assi coordinati, risulta
il quadruplo della seguente .
L’area richiesta misura pertanto .
4. Il secondo grafico della figura che segue, cioè il grafico di , è dedotto da quello di , tenendo
conto delle seguenti relazioni:
cresce da fino a ;
decresce da fino a ;
cresce da fino a ;
decresce da fino a .
Da quanto detto si evince che i punti del grafico di che hanno ordinata sono due:
e , essendo e definiti da, ovvero come soluzioni positive dell’equazione biquadratica . I
valori approssimati di e sono, rispettivamente
0,8 e 1,8.
Si evince inoltre che il grafico di presenta due punti di minimo assoluto, e , e un punto di
minimo relativo, . La funzione presenta inoltre due punti di massimo assoluto che sono
anche massimi relativi, e .
Dal grafico si deduce anche che l’equazione ammette quattro soluzioni distinte per .
QUESTIONARIO
1. Dal teorema dei seni si ottiene da cui .
2. Gli esagoni regolari hanno angoli di 120°. Il minimo numero di facce che concorrono in un
vertice di un poliedro è tre. Poiché le tre facce risulterebbero complanari con un angoloide
degenere.
3. Risulta infatti il termine si può scrivere come elemento dello sviluppo del binomio solo
nella forma che corrisponde al terzo termine dello sviluppo del binomio di Newton.
4. L’area della generica sezione del solido, con un piano perpendicolare all’asse , è un
rettangolo di area pertanto il suo volume è .
5. Non divisibile né per 2, né per 3, né per 5 vuol dire non divisibile per 30. I numeri compresi
tra 1 e 6000 divisibili per 30 sono 200 (tutti i multipli di 30), pertanto i non divisibili per 30
sono 5800.
6. Indicati rispettivamente con e il lato della base e l’altezza del parallelepipedo, si ha , da
cui
e . Ne segue .
Il minimo della superficie totale si ha pertanto in
corrispondenza al valore
7. Dalla relazione si ha da cui
8. Dal grado del polinomio e dalle informazioni sui due punti di massimo si deduce che
intersecando il grafico della funzione con la retta si ottengono come soluzioni doppie e ,
pertanto il polinomio è del tipo . Imponendo la condizione si ottiene . Il polinomio richiesto
èe risulta
9. Le condizioni da porre sono le seguenti:
da cui
10. Una potenza ha valore zero se la base è diversa da zero e l’esponente è zero, oppure se la
base è 1 e l’esponente è 1 o -1. Si vede che nessun valore di soddisfa il secondo e terzo
caso. L’equazione data è pertanto equivalente a , le cui soluzioni sono
GIANFRANCO PISTONI
FERRUCCIO ROHR
